WikiDer > Drehung (Vektorfeld)

Das Drehung (Niederlande) oder Rotor (Flandern) (englisch: curl) ist eine Eigenschaft von Funktion von a dreidimensionalVektorfeld. Die Drehung in a Punkt des Feldes gibt an, wie stark sich die Richtung des Feldes ändert. Nehmen wir das Feld als fließen, dann gibt die Drehung in jedem Punkt an, wie schnell und mit was Asche ein Gleichstromteilchen würde sich drehen. Die Drehung kann formal ausgedrückt werden als Differentialoperator interpretieren und gehören mit den anderen Differentialoperatoren zusammen Gradient und Abweichungen bis zum Vektoranalyse, eine Unterregion der multivariable Analyse.

Beispiele

• EIN Wirbelwind um das sogenannte Auge rotiert, und das die Windgeschwindigkeiten beschreibende Vektorfeld hat im Auge und möglicherweise auch anderswo eine von 0 verschiedenen Drehungen.
• Das Vektorfeld, das die Geschwindigkeit der Punkte einer sich drehenden Scheibe darstellt, hat an jedem Punkt der Scheibe eine von 0 verschiedenen Drehungen.
• Das Vektorfeld der Geschwindigkeiten auf a Autobahn deren Fahrspuren von rechts nach links zunehmende Fahrgeschwindigkeiten aufweisen, hat an den Grenzen zwischen den Fahrspuren eine von 0 unterschiedlichen Drehungen.

Definition

In dem Mathematik ist der Drehung (Niederlande) oder Rotor (Flandern) eines dreidimensionalen Vektorfeld${displaystyle {vec {V}}}$ ein neues dreidimensionales Vektorfeld definiert als externes Produkt oder auch vektorielles Produkt des nabla-Operator ${displaystyle abla}$ mit dem Vektorfeld ${displaystyle {vec {V}}}$:

${displaystyle operatorname {rot} {vec {V}}=abla imes {vec {V}}={ egin{pmatrix}{frac {partial }{partial x}}/{frac {partial }{partial y}}/{ frac {partial }{partial z}}/end{pmatrix}} imes { egin{pmatrix}V_{x}/V_{y}/V_{z}/end{pmatrix}}={ egin{pmatrix}{frac { partielles V_{z}}{partielles y}}-{frac {partielles V_{y}}{partielles z}}/{frac {partielles V_{x}}{partielles z}}-{frac {partielles V_{z} }{teilweise x}}/{frac {teilweise V_{y}}{teilweise x}}-{frac {teilweise V_{x}}{teilweise y}}/end{pmatrix}}}$

Man schreibt die Rotation von ${displaystyle {vec {V}}}$ auch als Determinante bekannt:

${displaystyle operatorname {rot} {vec {V}}={ egin{vmatrix}mathbf {i} &mathbf {j} &mathbf {k} /{frac {partial }{partial x}}&{frac {partial }{partial y }}&{frac {partial }{partial z}}/V_{x}&V_{y}&V_{z}end{vmatrix}}}$,

in welchem ${displaystyle mathbf {i} ,,mathbf {j} }$ und ${displaystyle mathbf {k} }$ das Einheitsvektoren entlang der x-, y- bzw. z-Achse.

Betrachten Sie zur Vereinfachung der Formeln einen Zylinder, der sich um die z-Achse dreht, und nicht eine rotierende Scheibe. Die Bewegung wird durch das Vektorfeld beschrieben:

${displaystyle v_{x}(x,y,z)=-omega y}$

${displaystyle v_{y}(x,y,z)=omega x}$

${Anzeigestil v_{z}(x,y,z)=0}$

Die Drehung ist:

${displaystyle operatorname {rot} v={ egin{pmatrix}{frac {partial v_{z}}{partial y}}-{frac {partial v_{y}}{partial z}}/{frac {partial v_{x }}{partial z}}-{frac {partial v_{z}}{partial x}}/{frac {partial v_{y}}{partial x}}-{frac {partial v_{x}}{partial y }}/end{pmatrix}}={ egin{pmatrix}0-0/0-0/omega -(-omega)/end{pmatrix}}={ egin{pmatrix}0/0/2omega /end{pmatrix} }}$.

Dies ist eine Drehung um die z-Achse.

Siehe auch

• Drehung (Geometrie)
• Kartesisches Koordinatensystem