WikiDer > Nabla

nabla, oder del, angezeigt durch das Symbol ${displaystyle abla}$, ist ein Differentialoperator in dem Vektorrechnung. Der Name stammt von einem assyrischen Namen von a Harfe das ist ungefähr die Form des verwendeten Symbols.^[1] Nabla wird als Notation für die Operatoren verwendet Gradient, Abweichungen und Drehung.

Im ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ mit Variablen${displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}}$ (Kartesischen Koordinaten) entspricht nabla mit folgendem Formal Vektor von partielle Ableitungen:

${displaystyle abla =left({frac {partial }{partial x_{1}}},{frac {partial }{partial x_{2}}},ldots ,{frac {partial }{partial x_{n}}}ight )}$

Anwendungen

Nabla wird unter anderem in den folgenden Definitionen verwendet:

• Gradient:	${Displaystyle-Operatorname {grad} f=abla f}$
• Abweichungen:	${displaystyle operatorname {div} mathbf {F} =abla cdot mathbf {F} }$
• Drehung oder Rotor:	${displaystyle operatorname {rot} mathbf {V} =abla imes mathbf {V} }$
• Laplace-Operator:	${displaystyle Delta f=operatorname {div} (operatorname {grad} f)=abla ^{2}f=abla cdot (abla f)}$
• hessisch:	${displaystyle H_{f}=abla ^{2}f}$

Der Operand ${displaystyle f}$ ist hier Skalarfeld, während die Operanden ${displaystyle mathbf {F} }$ und ${displaystyle mathbf {V} }$Vektorfelder sein. Oder mit ${displaystyle abla^{2}}$ der Laplace-Operator gemeint ist oder der Hessische kontextabhängig ist.

Beispiel

Sie ${displaystyle fcolon mathbb {R} ^{3}ightarrow mathbb {R} }$ die Funktion gegeben durch

${Anzeigestil f(x,y,z)=xyz x^{2}}$

Dann ist der Gradient von ${displaystyle f}$ im kartesisch Koordinaten:

${displaystyle abla f=left({frac {partial f}{partial x}},{frac {partial f}{partial y}},{frac {partial f}{partial z}}ight)=(yz 2x,xz ,xy)}$

Koordinatenunabhängige Definition

Es ist möglich, nabla unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem zu definieren. Zu diesem Zweck verallgemeinert man die ähnliche Definition von Divergenz.

${displaystyle abla star F=lim _{Delta V o 0}{frac {1}{Delta V}}oint ,mathrm {d} Sstar F}$

Darin ist ${Anzeigestil F}$ eine Skalarfunktion, ein Vektor oder ein Tensorfeld und ${Displaystil-Stern}$ das entsprechende Produkt.

Unicode

Die Nabla ist im Lieferumfang enthalten Unicode wenn U 2207 .

Siehe auch

• Nabla in verschiedenen Koordinatensystemen