WikiDer > Hessisch

Das hessisch von a Funktion von mehreren Variablen ist das Analogon der zweiten Ableitung. Der Hesse ist der Matrix zweiter Ordnung partielle Ableitungen dieser Funktion. Der Name wird auch für die verwendet bestimmend dieser Matrix.

Definition

Das hessisch${Anzeigestil H}$ oder ${displaystyle H_{f}}$ der zweimal stetig differenzierbaren Funktion ${displaystyle f(x)=f(x_{1},x_{2},ldots,x_{n})}$ ist die Matrix:

${displaystyle H(x)=H(x_{1},x_{2},ldots,x_{n})={ egin{bmatrix}{frac {teilweise ^{2}f}{teilweise x_{1}^{ 2}}}(x)&{frac {teilweise ^{2}f}{teilweise x_{1}teilweise x_{2}}}(x)&ldots &{frac {teilweise ^{2}f}{teilweise x_{ 1}partiell x_{n}}}(x)/{frac {partial ^{2}f}{partial x_{2}partial x_{1}}}(x)&{frac {partial ^{2}f} {partial x_{2}^{2}}}(x)&ldots &{frac {partial ^{2}f}{partial x_{2}partial x_{n}}}(x)/vdots &vdots &ddots &vdots /{ frac {partiell ^{2}f}{partial x_{n}partial x_{1}}}(x)&{frac {partial ^{2}f}{partial x_{n}partial x_{2}}}( x)&ldots &{frac {teilweise ^{2}f}{teilweise x_{n}^{2}}}(x)end{bmatrix}}}$

also mit Elementen

${displaystyle H_{ij}={frac {teilweise ^{2}f}{teilweise x_{i}teilweise x_{j}}}}$

Von dem Satz von Schwarz folgt, dass das hessische a symmetrische Matrix ist. Aus einer Aussage des Lineare Algebra In diesem Fall folgt, dass nur das Hessische RealEigenwerte hast.

Mit den hessischen Eigenwerten kann unter anderem bestimmt werden, ob a stationären Punkt einer Funktion a maximal, ein Minimum oder ein Sattelpunkt ist. Beachten Sie, dass das hessische mit dem verwandt ist Jacobi-Matrix des Gradient${displaystyle abla f}$ gemäß

${displaystyle H_{f}=(J(abla f))^{ext{T}}}$

Der Name Hessisch bezieht sich auf den deutschen Mathematiker Otto Hesse (1811−1874) und dieser Name soll sein^[1] vorgeschlagen von der Englisch Mathematiker James Joseph Sylvester (1814−1897).

Siehe auch

• Jacobi-Matrix