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In dem Lineare Algebra, eine Unterregion der Mathematik, ist ein Matrix (Plural: Matrizen) ein rechteckiges Zahlenschema. Die übliche Darstellung eines solchen rechteckigen Diagramms ist mit einer Seite in Schreibrichtung und der anderen senkrecht dazu, so dass die Zahlen in Zeilen und Spalten angeordnet sind. Die Matrix ist ein Mittel, um verwandte Daten und ihre Operationen systematisch und geordnet darzustellen. Der Begriff Matrix wurde 1848 vom britischen Mathematiker eingeführt introduced J. J. Sylvester.

Wenn da ${displaystyle m}$ Reihen und ${displaystyle n}$ Spalten, man spricht von a ${displaystyle mimen n}$-Matrix. So ist es üblich, dass die erste Zahl die Höhe und die zweite die Breite angibt (siehe auch diskrete Koordinaten). wenn ${Anzeigestil n=m}$ ist es ein quadratische Matrix. Die Zahlen heißen die Elemente der Matrix. EIN ${displaystyle mimen n}$-Matrix ${Anzeigestil A}$ hat es auch ${displaystyle mimen n}$ Elemente. Das Element am Scheideweg der ${displaystyle r}$-die Reihe und die ${displaystyle k}$-die Spalte wird als . bezeichnet ${displaystyle rk}$-das Element und notiert als ${displaystyle A_{rk}}$. Für die Matrix selbst gilt: ${Anzeigestil (A_{rk})}$. Es werden auch andere Notationen verwendet, unter anderem, in denen die ${displaystyle rk}$-das Element einer Matrix ${Anzeigestil A}$ wird geschrieben als ${displaystyle a_{rk}}$. Das folgende Beispiel zeigt eine 2×3-Matrix ${Anzeigestil A}$ mit ganze Zahlen als Elemente:

${displaystyle A={ egin{bmatrix}4&-1&0/2&1&5end{bmatrix}}}$

Das sehen wir zum Beispiel ${Displaystil A_{12}=-1}$ und ${Displaystil A_{23}=5}$.

Matrizen sind wichtige Werkzeuge in der Lineare Algebra. Sie dienen unter anderem zur Anzeige lineare Bilder. Matrix-Multiplikation entspricht Komposition von linearen Bildern. Matrizen können auch verwendet werden, um einen Überblick über die Koeffizienten in einem lineares Gleichungssystem. Für ein quadratische Matrix regulieren die bestimmend und inverse Matrix (falls vorhanden) das Verhalten von Lösungen des entsprechenden linearen Gleichungssystems und Eigenwerte und Eigenvektoren geben Einblick in die Geometrie der zugehörigen linearen Transformation

Matrizen haben viele Anwendungen. In dem Physik Matrizen werden in mehreren Bereichen verwendet, z geometrische Optik und der Matrixmechanik. Die letztgenannte Anwendung hat zu einer detaillierteren Untersuchung von Matrizen mit a . geführt unendlich Anzahl der Zeilen und Spalten. Das Graphentheorie verwendet Matrizen, um Abstände zwischen Knotenpaaren (Scheitelpunkten) in a . zu messen Anzahl aufbewahren. Computergrafik verwendet Matrizen, um den dreidimensionalen Raum auf eine zweidimensionale Ebene zu projizieren. Der Matrixkalkül verallgemeinert klassische analytisch Konzepte wie Derivate von Funktionen und Exponentialfunktionen zu Matrizen, die bei der Lösung gewöhnlicher . Anwendung finden Differentialgleichung. Es Serialität und der Dodekaphonie sind musikalische Bewegungen des 20. Jahrhunderts, die eine quadratische Matrix verwenden, um das Muster der Intervalle zu entscheiden.

Ein wichtiger Zweig der numerische Analyse widmet sich der Entwicklung effizienter Algorithmen für Matrixrechnungen, ein Thema, das zwar Jahrhunderte alt ist, aber immer noch ein aktives Feld der mathematischen Forschung ist. Methoden der Matrixzerlegung vereinfachen sowohl theoretische als auch praktische Berechnungen. Vor dem dünne Matrizen, d.h. Matrizen mit relativ vielen Nullen, können gezielt entworfen werden Algorithmen zu beschleunigten Berechnungen führen; solche Matrizen spielen zum Beispiel eine Rolle bei der Finite-Elemente-Methode.

Formale Definition

EIN ${displaystyle mimen n}$-Matrix${Anzeigestil A}$ über einen Körper oder Feld${Anzeigestil K}$ ist ein Element von ${Anzeigestil (K^{n})^{m}}$, also eine reihe von ${displaystyle m}$ Reihen von ${displaystyle n}$ Elemente von ${Anzeigestil K}$:

${displaystyle A=(A_{1},ldots ,A_{m})=((a_{11},ldots ,a_{1n}),ldots ,(a_{m1},ldots ,a_{mn}))}$

A 1-Tupel von dem betreffenden Artikel zu unterscheiden:^[1]

• EIN ${displaystyle mimen 1}$-Matrix ist ein Element von ${Anzeigestil (K^{1})^{m}}$, zu unterscheiden von ${displaystyle K^{m}}$, also eine reihe von ${displaystyle m}$ 1 Tupel mit einem Element von in jedem ${Anzeigestil K}$:

${displaystyle A=(A_{1},ldots ,A_{m})=((a_{11}),ldots ,(a_{m1}))}$

• EIN ${Anzeigestil 1 imes n}$-Matrix ist ein Element von ${Anzeigestil (K^{n})^{1}}$, zu unterscheiden von ${Anzeigestil K^{n}}$, also ein 1-Tupel mit dem einzigen Element eine Reihe von ${displaystyle n}$ Elemente von ${Anzeigestil K}$:

${Anzeigestil A=(A_{1})=((a_{11},ldots ,a_{1n}))}$

Die Zahlen ${Anzeigestil (a_{rk}=(A_{r})_{k})}$ heißen die Elemente der Matrix ${Anzeigestil A}$.

Es ist üblich, dass ${displaystyle m}$ Komponenten der Matrix als Spalte von ${displaystyle m}$ Zeilen zu schreiben:

${displaystyle A={ egin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&cdots &a_{1n}/a_{21}&a_{22}&cdots &a_{2n}/vdots &vdots &ddots &vdots /a_{m1}&a_{m2} &cdots &a_{mn}end{bmatrix}}}$,

führt zur Matrix als rechteckiges Zahlenschema.

Alternative

Eine alternative Definition betrachtet eine Matrix als doppelt angezeigte Menge. spät ${displaystyle m,nin mathbb {N}}$ sind zwei natürliche Zahlen und ${Anzeigestil K}$ Ein Körper. EIN ${displaystyle mimen n}$-Matrix Über ${Anzeigestil K}$ ist ein Bild

${displaystyle Acolon {1,ldots ,m} imes {1,dots ,n} o K,quad (i,j)mapto a_{ij}}$,

die zu jedem Indexpaar passen ${Anzeigestil (i, j)}$ das Element ${displaystyle a_{ij}}$ fügt hinzu. Die Nummer ${displaystyle m}$ heißt die Anzahl der Zeilen und die Zahl ${displaystyle n}$ die Anzahl der Spalten der Matrix ${Anzeigestil A}$.

Zahlenfeld

Das Zahlenfeld ${Anzeigestil K}$ ist gewöhnlich ${displaystyle mathbb {R} }$ (reelle Matrix) oder ${displaystyle mathbb {C} }$ (komplexe Matrix).

Summe

sehen Matrixaddition für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Zwei Matrizen mit den gleichen Abmessungen können zusammenpassen aufaddiert einbiegen in. Das passiert Element für Schritt. Die Summe ${Anzeigestil C=A B}$ von zwei ${displaystyle mimen n}$-Matrizen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ hat als Elemente

${displaystyle c_{ij}=a_{ij} b_{ij}}$,

So

${displaystyle C=AB={ egin{bmatrix}a_{11} b_{11}&a_{12} b_{12}&ldots &a_{1n} b_{1n}/a_{21} b_{21}&a_{22} b_ {22}&ldots &a_{2n} b_{2n}/vdots &vdots &ddots &vdots /a_{m1} b_{m1}&a_{m2} b_{m2}&ldots &a_{mn} b_{mn}end{bmatrix}}}$

Beispiel

${displaystyle { egin{bmatrix}1&3&1/1&0&0end{bmatrix}} { egin{bmatrix}0&0&5/7&5&0end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}1 0&3 0&1 5/1 7&0 5&0 0end{bmatrix}}={ }1&3&6/ 8&5&0Ende{bmatrix}}}$

Produkt

sehen Matrix-Multiplikation für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Produkt von Matrizen

Schematische Darstellung der Matrixmultiplikation ${Anzeigestil AB}$ aus zwei Matrizen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$.

EIN ${displaystyle m imes p}$-Matrix ${Anzeigestil A}$ und ein ${displaystyle pimes n}$-Matrix ${Anzeigestil B}$ kann sich vertragen multipliziert einbiegen in. Ihr Produkt ist ein ${displaystyle mimen n}$-Matrix ${Anzeigestil C=AB}$, mit den Elementen:

${displaystyle c_{rk}=Summe _{i=1}^{p}a_{ri}b_{i}}$.

Beispiel

${displaystyle { egin{bmatrix}1&0&2/-1&3&1end{bmatrix}}cdot { egin{bmatrix}3&1/2&1/1&0end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}1 imes 3 0 imes 2 2 imes 1&1 imes 1 0 imes 1 2 imes 0/-1 imes 3 3 imes 2 1 imes 1&-1 imes 1 3 imes 1 1 imes 0end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}5&1/4&2end{bmatrix}}}$

Die Matrixmultiplikation ist nur für zwei Matrizen definiert, deren Spaltenanzahl der ersten gleich der Zeilenanzahl der zweiten ist.

Produkt aus Matrix und Vektor

Auch von a ${displaystyle mimen n}$-Matrix ${Anzeigestil A}$ und ein ${displaystyle n}$-Vektor ${Anzeigestil x}$ das Produkt kann geformt werden. Es ist der ${displaystyle m}$-Vektor ${displaystyle Axt}$ mit Koordinaten:

${displaystyle (Ax)_{r}=Summe _{k=1}^{n}a_{rk}x_{k}}$

Die Multiplikation ist äquivalent zur Matrixmultiplikation ${displaystyle Amathbf {x} }$ der Matrix ${Anzeigestil A}$ und der Spaltenvektor (Matrix) ${displaystyle mathbf {x} =[x_{1},ldots ,x_{n}]^{ ext{T}}}$ dessen Elemente die Koordinaten des Vektors sind ${Anzeigestil x}$. Das Ergebnis ist der Spaltenvektor

${displaystyle [(Ax)_{1},ldots ,(Ax)_{m}]^{ext{T}}}$

dessen Elemente die Koordinaten des Vektors sind ${displaystyle Axt}$.

Zeilenvektor

sehen Zeilenvektor für den Hauptartikel zu diesem Thema.

EIN ${Anzeigestil 1 imes n}$-Matrix ${Anzeigestil A}$ ist formal definiert als:

${displaystyle A=((a_{11},ldots ,a_{1n}))}$,

also mit der einzigen Komponente der Vektor

${displaystyle A_{1}=(a_{11},ldots ,a_{1n})}$

Eine solche Matrix, die als Zahlenreihe geschrieben wird, ist einem Vektor sehr ähnlich und unterscheidet sich von diesem nur formal. Sie rufen a ${Anzeigestil 1 imes n}$Matrix ist also a Zeilenvektor.

Spaltenvektor

sehen Spaltenvektor für den Hauptartikel zu diesem Thema.

EIN ${displaystyle mimen 1}$-Matrix ${Anzeigestil A}$ ist formal definiert als:

${Anzeigestil A=((a_{11}),ldots ,(a_{m1}))}$,

also mit wenn ${displaystyle r}$-die Komponente

${Anzeigestil A_{r}=(a_{r1})}$

Eine solche Matrix, die als Zahlenspalte geschrieben wird, ist einem Vektor sehr ähnlich und unterscheidet sich nur formal von diesem. Sie rufen a ${displaystyle mimen 1}$Matrix ist also a Spaltenvektor.

bekommen wir das? ${displaystyle n}$-Vektor ${Anzeigestil x}$ on als Spaltenvektor ${Anzeigestil X}$, mit Elementen:

${Displaystil X_{r1}=x_{r}}$,

dann das produkt ${displaystyle Axt}$, verstanden als Spaltenvektor, genauso wie Matrixprodukt ${Anzeigestil AX}$.

Grundoperationen

sehen Skalarmultiplikation, transponierte Matrix und Fahrbetrieb für die wichtigsten Artikel zu diesem Thema.

Es gibt noch einige weitere Operationen, die auf Matrizen angewendet werden können, die die grundlegenden Techniken zum Rechnen mit Matrizen darstellen. Es geht um Skalarmultiplikation und Umsetzung. Für die (eventuell manuell) lineare Gleichungen lösen und finden invers komm dort so genannt Fahrbetrieb Biene.

Skalarmultiplikation

Das Produkt ${Anzeigestil cA}$ des Skalarmultiplikation einer Matrix ${Anzeigestil A}$ mit der nummer ${Anzeigestil c}$ (im Sprachgebrauch der abstrakte Algebra ein Skalar genannt) wird berechnet, indem jedes Element von geteilt wird ${Anzeigestil A}$ mit ${Anzeigestil c}$ multiplizieren:

${Anzeigestil (cA)_{i,j}=ccdot A_{i,j}}$

Beispiel

${displaystyle 2cdot { egin{bmatrix}1&8&-3/4&-2&5end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}2cdot 1&2cdot 8&2cdot -3/2cdot 4&2cdot -2&2cdot 5end{bmatrix}}={ egin{bmatrix6/}2&16 8&- 4&10ende{bmatrix}}}$

transponierte Matrix

Das transponiert von a ${displaystyle mimen n}$-Matrix ${Anzeigestil A}$ ist der ${Anzeigestil n imes m}$-Matrix ${Displaystil A^{ auf }}$ (auch bezeichnet mit ${displaystyle A^{ ext{tr}}}$ oder ${displaystyle ^{t}A}$) durch Vertauschen von Zeilen und Spalten erhalten:

${displaystyle A_{i,j}^{ on }=A_{j,i}}$

Die Transponierung einer transponierten Matrix ist wieder die ursprüngliche Matrix:

${Anzeigestil (A^{ am })^{ am }=A}$

Beispiel

${displaystyle { egin{bmatrix}1&2&3/0&-6&0/3&0&7/6&-2&3end{bmatrix}}^{ op }={ egin{bmatrix}1&0&3&6/2&-6&0&-2/3&0&7&3end{bmatrix}}}$

Fahrbetrieb

Vertauschen von zwei Reihen. Als Beispiel werden die Zeilen 1 und 2 vertauscht.

${displaystyle { egin{bmatrix}1&2&3/0&-6&0/3&0&7/6&-2&3end{bmatrix}}quad { extrm {becomes}}quad { egin{bmatrix}0&-6&0/1&2&3/3&0&7/6&-2&3end{bmatrix}} }$

Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. Als Beispiel wird Zeile 1 mit 3 multipliziert.

${displaystyle { egin{bmatrix}1&2&3/0&-6&0/3&0&7/6&-2&3end{bmatrix}}quad { extrm {becomes}}quad { egin{bmatrix}3&6&9/0&-6&0/3&0&7/6&-2&3end{bmatrix}} }$

Hinzufügen eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. Als Beispiel: Zeile 1 mit 3 multipliziert und zu Zeile 2 addiert.

${displaystyle { egin{bmatrix}1&2&3/0&-6&0/3&0&7/6&-2&3end{bmatrix}}quad { extrm {becomes}}quad { egin{bmatrix}1&2&3/3&0&9/3&0&7/6&-2&3end{bmatrix}}}$

Bekannte Eigenschaften von Zahlen erstrecken sich auch auf diese Operationen auf Matrizen: zum Beispiel ist die Addition kommutativ, d. h. die Matrixaddition hängt nicht von der Reihenfolge der Matrizen ab:

${Anzeigestil A B=B A}$^[2]

Die Transposition einer Matrix ist mit Addition und Skalarmultiplikation kompatibel:

${Displaystil (A B)^{ auf }=A^{ auf } B^{ auf }}$

und

${displaystyle (cA)^{ on }=ccdot A^{ on }}$

Anwendung von Matrixoperationen

Ein Unternehmen liefert Zement, Kalk, Gips in Säcken von bzw. 25, 10 und 5 kg. Das Unternehmen hat 4 Kunden: Bik, Mets, Timp und Voeg. Die Anzahl der von diesen Kunden in einem bestimmten Jahr gekauften Taschen ist in einer 4×3-Matrix deutlich zu sehen ${Anzeigestil A}$ organisieren:

${displaystyle A={ egin{bmatrix}14&9&3/2&11&15/0&12&17/5&2&3end{bmatrix}}}$

Das zeigt zum Beispiel, dass ${Displaystil A_{32}=12}$, also kaufte Timp in diesem Jahr 12 Säcke mit 10 kg Limette.

Die für das Folgejahr abgenommenen Zahlen sind in der Matrix dargestellt ${Anzeigestil B}$:

${displaystyle B={ egin{bmatrix}17&10&4/3&7&8/0&14&15/4&3&3end{bmatrix}}}$

In diesem Jahr kaufte Timp 14 Säcke Kalk à 10 Kg. Um den Gesamteinkauf jedes Produkts für jeden Kunden in diesen zwei Jahren zu ermitteln, müssen wir die Matrizen Element für Element addieren. Die resultierende Matrix wird als Summe A B der beiden Matrizen bezeichnet:

${displaystyle A B={ egin{bmatrix}31&19&7/5&18&23/0&26&32/9&5&6end{bmatrix}}}$

Ein Sack Zement kostet 12 €, ein Sack Kalk 9 € und ein Sack Gips 8 €. In der 3×2-Matrix ${Anzeigestil W}$ sind die Preise und Gewichte der drei Produkte:

${displaystyle W={ egin{bmatrix}12&25/9&10/8&5end{bmatrix}}}$

Der Gesamtbetrag, den Bik im ersten Jahr ausgegeben hat, ist wie folgt:

${displaystyle 14 imes 12 9 imes 9 3 imes 8}$,

in der die Zahlen der ersten Reihe von A (Bik) und der ersten Spalte von W (Preise) zu sehen sind.

Das Gesamtgewicht der von Bik gekauften Produkte wird auf ähnliche Weise berechnet:

${displaystyle 14 imes 25 9 imes 10 3 imes 5}$,

die nun die Zahlen der ersten Reihe von A (Bik) und der zweiten Spalte von W (Gewichte) enthält.

Solche Berechnungen können auch für andere Kunden durchgeführt werden. Zusammen werden sie als Matrixmultiplikation bezeichnet und ergeben eine Matrix, die das Produkt ist ${displaystyle AW}$ von ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil W}$ heiß:

${displaystyle AW={ egin{bmatrix}14&9&3/2&11&15/0&12&17/5&2&3end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}12&25/9&10/8&5end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}273&455/243&102235/244&205 }}$

Lineare Gleichungen und Transformationen

Lineare Gleichungen

sehen Lineargleichung und Lineares Gleichungssystem für die wichtigsten Artikel zu diesem Thema.

Ein Spezialfall der Matrixmultiplikation steht in engem Zusammenhang mit lineare Gleichungen: wenn ${Anzeigestil x}$ ein Spaltenvektor (d. h. a ${Anzeigestil n imes 1}$-Matrix) von ${displaystyle n}$ Variablen ${displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}}$ schlägt vor und ${Anzeigestil A}$ ein ${displaystyle mimen n}$-Matrix, dann die Matrixgleichung

${displaystyle Ax=b}$

in welchem ${displaystyle b}$ eine zufällige ${displaystyle mimen 1}$-Spaltenvektor, äquivalent zum linearen Gleichungssystem

${displaystyle a_{11}x_{1} a_{12}x_{2} ldots a_{1n}x_{n}=b_{1}}$

${displaystyle a_{21}x_{1} a_{22}x_{2} ldots a_{2n}x_{n}=b_{2}}$

${displaystyle ldots }$

${displaystyle a_{m1}x_{1} a_{m2}x_{2} ldots a_{mn}x_{n}=b_{m}}$^[3]

Auf diese Weise können Matrizen auf kompakte Weise zum Schreiben, Manipulieren und Lösen von linearen Gleichungssystemen verwendet werden.

Lineare Bilder

sehen Lineares Bild für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Matrizen und Matrixmultiplikation stehen in direktem Zusammenhang mit linearen Abbildungen und Kompositionen davon. Bei Verwendung von Spaltenvektoren repräsentiert eine echte ${displaystyle mimen n}$-Matrix ${Anzeigestil A}$ ein lineares Bild

${displaystyle fcolon mathbb {R} ^{n} oder mathbb {R} ^{m};xmapsto Ax}$

dass jeder Vektor ${displaystyle xin mathbb {R} ^{n}}$ Bilder auf dem (Matrix-)Produkt ${displaystyle Axt}$, ein Vektor in ${displaystyle mathbb {R} ^{m}}$.

Umgekehrt bestimmt die lineare Abbildung ${displaystyle fcolon mathbb {R} ^{n} oder R^{m}}$ das ${displaystyle mimen n}$-Matrix ${Anzeigestil A}$ Mit als ${Anzeigestil i}$-die als Vektor gedachte Säule, das Bild ${displaystyle f(e_{i})}$ des ${Anzeigestil i}$-das Einheitsvektor${displaystyle e_{i}}$. Dies kann festgehalten werden als:

${displaystyle A=(f(e_{1}),ldots,f(e_{n}))}$

Die Matrix ${Anzeigestil A}$ bestimmt wiederum das Bild ${displaystyle f}$, Letztendlich:

${displaystyle f(x)=f(x_{1}e_{1} ldots x_{n}e_{n})=x_{1}f(e_{1}) ldots x_{n}f(e_{n} )=Axt}$

Aus der Matrix ${Anzeigestil A}$ hat die lineare Abbildung ${displaystyle f}$ repräsentiert. ${Anzeigestil A}$ heißt die Matrix von ${displaystyle f}$.

Die folgende Tabelle zeigt eine Reihe von reellen 2×2-Matrizen mit den entsprechenden linearen Transformationen von ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$. Das blaue Original wird auf das grüne Gitter und die grünen Formen abgebildet, der Ursprung (0,0) ist mit einem schwarzen Punkt markiert.

Horizontal scheren mit m=1,25.	Horizontal Reflexion	Kompression mit r=3/2	Vergrößern um Faktor 3/2	Drehung ca. π/6 = 30°
${displaystyle { start{bmatrix}1&1.25/0&1end{bmatrix}}}$	${displaystyle { start{bmatrix}-1&0/0&1end{bmatrix}}}$	${displaystyle { start{bmatrix}3/2&0/0&2/3end{bmatrix}}}$	${displaystyle { start{bmatrix}3/2&0/0&3/2end{bmatrix}}}$	${displaystyle { egin{bmatrix}cos(pi /6)&-sin(pi /6)/sin(pi /6)&cos(pi /6)end{bmatrix}}}$

In der Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen entspricht die Matrixmultiplikation Komposition von Bildern^[4]. Als die ${displaystyle mimen n}$-Matrix ${Anzeigestil A}$ gehört zur linearen Karte ${displaystyle fcolon mathbb {R} ^{n} oder mathbb {R} ^{m}}$ und der ${Displaystil Kimes m}$-Matrix ${Anzeigestil B}$ auf der linearen Karte ${displaystyle gcolon mathbb {R} ^{m} oder mathbb {R} ^{k}}$, gehört dann zur Komposition ${displaystyle gcirc f}$ das Produkt ${displaystyle BA}$ der Matrizen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$. Letztendlich:

${Anzeigestil (gcirc f)(x)=g(f(x))=g(Ax)=B(Ax)=(BA)x}$

Die letzte Gleichheit folgt aus der oben erwähnten Assoziativität der Matrixmultiplikation.

Quadratische Matrizen

sehen quadratische Matrix für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Eine besondere Art von Matrix ist die quadratische Matrix, eine Matrix mit so vielen Zeilen wie Spalten. Wenn die Anzahl der Zeilen und Spalten ${displaystyle n}$ ist, wird der ${Anzeigestil n imes n}$-matrix ist eine quadratische Matrix der Auftrag${displaystyle n}$ erwähnt. Eine quadratische Matrix der Ordnung ${displaystyle n}$ stellt eine Transformation von a . dar ${displaystyle n}$-dimensionaler Raum, der Grund, warum quadratische Matrizen eine wichtige Rolle in der linearen Algebra spielen.

Für quadratische Matrizen lauten die Konzepte Hauptdiagonale, Spur und bestimmend definiert.

Hauptdiagonale

sehen Hauptdiagonale für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Die Elemente ${displaystyle a_{ii}}$ der quadratischen Matrix ${Anzeigestil A=(a_{ij})}$ bilde die Hauptdiagonale von ${Anzeigestil A}$.

Bezogen auf die Hauptdiagonalen werden spezielle Typen von quadratischen Matrizen unterschieden.

Diagonalmatrix, Dreiecksmatrizen

Wenn alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale der quadratischen Matrix ${Anzeigestil A}$ gleich Null wird , ${Anzeigestil A}$ ein diagonale Matrix erwähnt. Wenn nur alle Elemente über (unter) der Hauptdiagonale Null sind, dann wird ${Anzeigestil A}$ ein Nieder- bzw. a obere Dreiecksmatrix erwähnt.

wenn ${displaystyle n}$ zum Beispiel gleich 3, diese Matrizen sehen so aus

${displaystyle { egin{bmatrix}d_{11}&0&0/0&d_{22}&0/0&0&d_{33}/end{bmatrix}}}$ (Diagonale), ${displaystyle { egin{bmatrix}l_{11}&0&0/l_{21}&l_{22}&0/l_{31}&l_{32}&l_{33}/end{bmatrix}}}$ (unten-) und ${displaystyle { egin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}/0&u_{22}&u_{23}/0&0&u_{33}/end{bmatrix}}}$ (obere Dreiecksmatrix).

Spur

sehen Spur (lineare Algebra) für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Es Spur einer quadratischen Matrix ${Anzeigestil A}$, notiert als ${displaystyle mathrm {sp} (A)}$, ist die Summe seiner diagonalen Elemente. Während die Matrixmultiplikation, wie oben erwähnt, nicht kommutativ h., die Spur des Produkts zweier Matrizen ist unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren: ${Anzeigestil Mathematik {sp} (AB) = Mathematik {sp} (BA)}$.^[5]

Bestimmend

sehen Bestimmend für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Das bestimmend${displaystyle det(A)}$, oder ${Anzeigestil |A|}$, einer quadratischen Matrix ${Anzeigestil A}$ ist eine Funktion der Elemente dieser Matrix. Aus der Determinante lassen sich bestimmte Eigenschaften der Matrix ablesen. So ist eine Matrix dann und nur dann invertierbar, wenn seine Determinante ungleich ist Null, und ist die Absolutwert der Determinante gleich der Fläche (im ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$) oder die Lautstärke (im ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$) des Bildes des Einheitsquadrats (oder Einheitswürfels), während das Vorzeichen der Orientierung des entsprechenden linearen Bildes entspricht: die Determinante ist genau dann positiv, wenn Orientierung wird bewahrt.

Eigenwerte und Eigenvektoren

sehen Eigenwert (Mathematik) und Eigenvektor für die wichtigsten Artikel zu diesem Thema.

Eine quadratische Matrix entspricht einer linearen Transformation eines linearen Raums. Manchmal bildet diese Transformation eine Linie durch den Ursprung auf sich selbst ab. Das Bild eines Punktes auf der Linie ist jedoch normalerweise nicht der Punkt selbst, sondern ein Vielfaches dieses Punktes. Die Vektoren auf der Geraden heißen Eigenvektoren der Matrix (und der Transformation) und die das Vielfache bestimmende Zahl heißt Selbstachtung der Matrix (und der Transformation). Um genau zu sein: eine Zahl λ und ein Vektor ${displaystyle veq 0}$ werden bzw Selbstachtung und Eigenvektor der quadratischen Matrix ${Anzeigestil A}$ erwähnt^{[Anm. 1][6]} wenn:

${displaystyle Av=lambda v}$

Diese Beziehung kann auch geschrieben werden als:

${displaystyle (A-lambda mathrm {I} )v=0}$,

was bedeutet, dass für einen Eigenwert λ gilt:

${displaystyle det(A-lambda mathrm {I} )=0}$

Die Eigenwerte sind also die Möhren des Polynoms

${displaystyle P_{A}(lambda)=det(A-lambda mathrm {I})}$,

dass die charakteristisches Polynom von ${Anzeigestil A}$ wird genannt.

Symmetrie

sehen symmetrische Matrix für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Eine quadratische Matrix ${Anzeigestil A}$, was ihr gleich ist transponierte Matrix, was bedeutet, dass

${Displaystil A=A^{ auf }}$,

ist ein symmetrische Matrix.

Wenn es gleich dem Negativen seiner Transponierten ist, d.h.

${Displaystil A=-A^{ on }}$,

ist es ein verzerrte Matrix.

In komplexen Matrizen wird der Symmetriebegriff oft durch den Begriff Hermitesche Matrizen, die entsprechen

${Anzeigestil A=A^{*}}$,

in dem der Stern de komplexes Adjuvans der Matrix, d. h. die Transponierte von komplex konjugiert von ${Anzeigestil A}$.

Bis zum Spektralsatz haben reelle symmetrische Matrizen und komplexe hermitesche Matrizen a Base von Eigenvektoren. In beiden Fällen sind alle Eigenwerte reell^[7] Dieser Satz kann auf unendlichdimensionale Situationen für Matrizen mit unendlich vielen Zeilen und Spalten verallgemeinert werden. sehen Unten.

Definition

sehen Definition für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Eine echte Symmetrie ${Anzeigestil n imes n}$-Matrix ${Anzeigestil A}$ heißt definitiv, wenn die reelle quadratische Form

${displaystyle Q_{A}(x)=x^{ auf }Ax}$

von der Matrix erzeugt, für jeden Vektor ${displaystyle xeq 0}$ hat das gleiche Vorzeichen. Wenn dieses Vorzeichen positiv ist, heißt die Form positiv-definitiv, wenn es negativ ist, dann negativ-definit.^[8]

Orthogonale Matrix

sehen orthogonale Matrix für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Eine reelle quadratische Matrix ${Anzeigestil A}$ heißt orthogonal, wenn die Zeilen und auch die Spalten a . haben orthonormal ein System bilden. Dies impliziert:

${displaystyle AA^{mathrm {T} }=mathrm {I} }$,

in welchem ${displaystyle mathrm {I} }$ das Einheitenmatrix ist. Dies zeigt, dass ${Anzeigestil A}$ ist invertierbar mit inverse Matrix

${displaystyle A^{-1}=A^{mathrm {T}}}$.

Die Determinante einer orthogonalen Matrix ist 1 oder -1. Der Wert 1 gehört zu einer Matrix mit a Drehung repräsentiert und der Wert −1 für eine Matrix mit a Rotationsreflexion repräsentiert.

Berechenbarkeitsaspekte

Neben theoretischen Kenntnissen über die Eigenschaften von Matrizen und deren Beziehungen zu anderen Gebieten der Mathematik ist es für die Praxis wichtig, Matrixrechnungen effektiv und genau durchzuführen. Der Bereich der Mathematik, der sich mit diesen Fragen befasst, heißt der Numerische Lineare Algebra^[9] erwähnt. Wie in anderen numerischen Forschungsgebieten sind die beiden wichtigsten Aspekte die Komplexität von Algorithmen und der numerische Stabilität. Viele Probleme können sowohl durch direkte Algorithmen als auch durch iterative Ansätze gelöst werden. Zum Beispiel können Eigenvektoren berechnet werden, indem man a Warteschlange Vektoren ${displaystyle(x_{n})}$ Das konvergiert zu einer Eigenvektor, wenn ${displaystyle n}$ zu unendlich geht.^[10]

Methoden zur Matrixzerlegung

sehen Matrixzerlegung, Diagonale Matrix und Gauss-Eliminierung für die wichtigsten Artikel zu diesem Thema.

Es gibt mehrere Methoden, um Matrizen in eine für Berechnungen leichter zugängliche Form umzuwandeln. Diese Methoden werden allgemein als Matrixtransformation oder Matrixzerlegung Techniken. Die Bedeutung all dieser Zerlegungstechniken besteht darin, dass sie bestimmte Eigenschaften der fraglichen Matrizen erhalten, wie z bestimmend, den Rang oder das Inverse, damit diese Größen nach Anwendung der Transformation berechnet werden können oder bestimmte Matrizenoperationen für einige Arten von Matrizen algorithmisch einfacher durchgeführt werden können.

Abstrakte algebraische Aspekte

Matrizen können auf verschiedene Weise verallgemeinert werden. Das abstrakte Algebra verwendet Matrizen mit Elementen, die keine Zahlen sind, sondern aus dem allgemeineren Felder oder auch Ringe existieren, während die Lineare Algebra Eigenschaften von Matrizen im Begriff von lineare Bilder kodifiziert. Es ist auch möglich, Matrizen zu erstellen mit unendlich viele Spalten und Zeilen zu berücksichtigen. Eine weitere Erweiterung sind die sogenannten Tensoren, die als höherdimensionale Zahlenfelder angesehen werden können, im Gegensatz zu Vektoren, die oft als Zahlenreihen (eindimensionale Vektoren) realisiert werden können, während Matrizen rechteckige oder zweidimensionale Zahlenfelder sind.^[11] Unter bestimmten Bedingungen können Matrizen a Gruppe Formen. Diese sind bekannt als Matrixgruppen.

Beziehungen zu linearen Bildern

Lineare Bilder ${displaystyle mathbb {R} ^{n} oder mathbb {R} ^{m}}$ sind äquivalent zu ${displaystyle mimen n}$Matrizen, wie z hier oben beschrieben. Allgemeiner gesagt, jedes lineare Bild ${displaystyle fcolon V o W}$ zwischen endlich dimensionalVektorräume, nach der Wahl des Basen${displaystyle {v_{1},ldots ,v_{n}}}$ von ${Anzeigestil V}$, und ${displaystyle {w_{1},ldots ,w_{m}}}$ von ${Anzeigestil W}$, werden beschrieben durch die Matrix ${Anzeigestil A=(a_{ij})}$, was so ist, dass

${displaystyle f(v_{j})=sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}qquad {mbox{for }}j=1,ldots,n}$.

Mit anderen Worten die ${Anzeigestil j}$-die Spalte von ${Anzeigestil A}$ druckt das Bild des ${Anzeigestil j}$-der Basisvektor ${displaystyle v_{j}}$ aus den Basisvektoren ${displaystyle(w_{i})}$ von ${Anzeigestil W}$. Diese Beziehung bestimmt somit eindeutig die Elemente ${displaystyle (a_{ij})}$ der Matrix ${Anzeigestil A}$. Beachten Sie, dass die Matrix von der Wahl der Basen abhängt: unterschiedliche Basenwahlen führen zu unterschiedlichen, aber äquivalente Matrizen.^[12] Viele der oben genannten Konzepte können in diesem Licht neu interpretiert werden; das transponierte Matrix${Displaystil A^{T}}$ beschreibt zum Beispiel die aus einem linearen Bild transponiert gegeben von ${Anzeigestil A}$, in Bezug auf die Doppelbasen.^[13]

Domäne der Elemente

Beim Rechnen mit Matrizen muss ermittelt werden, aus welchem Sammlung die Elemente gehen in die Matrix ein. Das kann der Real (${displaystyle mathbb {R} }$), das Komplex (${displaystyle mathbb {C} }$) oder der Rationale Zahlen (${displaystyle mathbb {Q} }$) sein. Es kann auch ein endlicher Körper/Körper gewählt werden, in der Codierungstheorie das passiert. Der Körper, aus dem die Elemente ausgewählt werden, muss Geschlossen sein.

Wenn nur zwei Matrizen addiert oder multipliziert werden müssen, genügt es, dass die Elemente von a Ring Kommen Sie. Ein Sofa quadratische Matrix auch der invers müssen bestimmbar sein, die Matrizen müssen über einen Körper definiert werden.

Matrixgruppen

sehen Matrixgruppe für den Hauptartikel zu diesem Thema.

EIN Gruppe ist ein mathematische Struktur der von a Sammlung von Objekte existiert zusammen mit a binäre Operation, also eine Operation, die unter bestimmten Voraussetzungen zwei beliebige Objekte zu einem dritten zusammenfügt.^[14] Eine Gruppe, in der die Objekte Matrizen sind und die Gruppenoperation Matrix-Multiplikation, heißt a Matrixgruppe.^{[Anm. 2][15]} Da in einer Gruppe jedes Element invertierbar ist, sind die allgemeinsten Matrixgruppen die Gruppen aller invertierbaren Matrizen einer bestimmten Ordnung, die sogenannten allgemeine lineare Gruppen.

Jede Eigenschaft von Matrizen, die unter Matrixprodukten und Inversen gespeichert sind, kann verwendet werden, um weitere Matrixgruppen zu definieren. Zum Beispiel bilden Matrizen mit einer bestimmten Größe und mit einer Determinante 1 a Untergruppe ihrer allgemeinen linearen Gruppe. Diese kleinere Untergruppe einer allgemeinen linearen Gruppe wird zu a spezielle lineare Gruppe^[16] erwähnt. Orthogonale Matrizen, bestimmt durch die Bedingung

${displaystyle M^{ on }M=I}$

bilde die orthogonale Gruppe.^[17] Sie nennen sie senkrecht, da die zugehörigen lineare Transformationen von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ Ecken sparen in dem Sinne, dass es Skalarprodukt von zwei Vektoren bleibt unverändert mit ${Anzeigestil M}$ auf sie:

${displaystyle (Mv)cdot (Mw)=vcdot w}$.^[18]

Elke eindige groep is isomorf met een matrixgroep, zoals men kan zien door de regelmatige voorstelling van de symmetrische groep^[19] te beschouwen. Algemene groepen kunnen worden bestudeerd door gebruik te maken van matrixgroepen, die relatief goed worden begrepen door middel van de representatietheorie.^[20]

Oneindige matrices

Het is ook mogelijk om matrices met oneindig veel rijen en/of kolommen te beschouwen^[21] ook al kan men een oneindig aantal objecten, uit de aard van de zaak, niet expliciet als een matrix opschrijven. Het enige dat telt, is dat voor elk element uit de verzameling die de rijen indiceert, en elk element uit de verzameling die de kolommen indiceert, er een goed gedefinieerd element bestaat (de indexverzamelingen hoeven geen deelverzamelingen van de natuurlijke getallen te zijn). De belangrijkste operaties van optellen, aftrekken, scalaire vermenigvuldiging en transpositie kunnen probleemloos gedefinieerd worden, maar matrixvermenigvuldiging kan oneindige sommaties vereisen om de resulterende elementen te definiëren, en deze zijn in het algemeen niet gedefinieerd.

Als oneindige matrices worden gebruikt om lineaire afbeeldingen te beschrijven, kunnen alleen die matrices worden gebruikt waarvan alle kolommen een eindig aantal elementen ongelijk aan 0 hebben. Wil een matrix ${displaystyle A}$ een lineaire afbeelding ${displaystyle fcolon V o W}$ beschrijven, dan moeten er in beide ruimten een basis worden gekozen. Dit betekent dat elke vector in de ruimte uniek geschreven kan worden als een eindige lineaire combinatie van basisvectoren. Nu beschrijven de kolommen van ${displaystyle A}$ de beelden onder ${displaystyle f}$' van individuele basisvectoren van ${displaystyle V}$ uitgedrukt in de basis van ${displaystyle W,}$ wat alleen zinvol is als deze kolommen slechts een eindig aantal elementen ongelijk aan 0 hebben. Er bestaat echter geen beperking op de rijen van ${displaystyle A:}$ in het product ${displaystyle Av}$ zijn er slechts een eindig aantal niet-nulzijnde coëfficiënten van ${displaystyle v}$ betrokken, zodat elk van zijn elementen, zelfs als deze worden gegeven als een oneindige som van de producten, slechts eindig veel termen ongelijk aan 0 betreffen en daarom goed zijn gedefinieerd. Bovendien komt dit neer op de vorming van een lineaire combinatie van de kolommen van ${displaystyle A}$ die effectief slechts een eindig aantal van hen betreft, vandaar dat het resultaat slechts een eindig aantal elementen ongelijk aan 0 heeft, omdat elk van deze kolommen slechts een eindig aantal elementen ongelijk aan 0 heeft. Men ziet ook dat producten van twee goedgedefinieerde matrices van het gegeven type weer van hetzelfde type zijn (op voorwaarde dat zoals gewoonlijk de kolom- en rij-indexverzamelingen overeenkomen) en overeenkomen met de samenstelling van lineaire afbeeldingen.

Oneindige matrices kunnen ook worden gebruikt om operatoren op Hilbert-ruimten te beschrijven. Hier komen convergentie- en continuïteitsvragen naar voren, die opnieuw resulteren in een aantal beperkingen, die moeten worden opgelegd.^{[nb 3]} en in plaats daarvan worden de abstracte en krachtiger instrumenten uit de functionaalanalyse gebruikt.

Lege matrix

Een lege matrix is een matrix, waarin het aantal rijen of het aantal kolommen (of beide) nul is.^[22][23] Een lege matrix heeft geen elementen, maar heeft wel een duidelijk omschreven aantal rijen en kolommen, die nodig zijn voor bijvoorbeeld de definitie van het matrixproduct. Dus als ${displaystyle A}$ een 3×0-matrix is en ${displaystyle B}$ een 0×3-matrix, dan is ${displaystyle AB}$ de 3×3-matrix (die overeenkomt met de nulafbeelding van een driedimensionale ruimte ${displaystyle V}$ op zichzelf die wordt verkregen als de samenstelling ${displaystyle gcirc f}$ van de unieke afbeelding ${displaystyle f}$ van ${displaystyle V}$ op een nnuldimensionale ruimte ${displaystyle Z,}$ gevolgd door de nulafbeelding ${displaystyle g}$ van ${displaystyle Z}$ terug op ${displaystyle V}$), terwijl ${displaystyle BA}$ de 0×0-matrix is (overeenkomend met de unieke afbeelding van ${displaystyle Z}$ op zichzelf die wordt verkregen als de samenstelling ${displaystyle fcirc g}$). Er is geen gemeenschappelijke notatie voor lege matrices, maar in de meeste computeralgebrasystemen kan men lege matrices definiëren en kan men ermee rekenen. Merk op dat de determinant van de 0×0-matrix 1 is (en niet 0, wat op het eerste gezicht meer voor de hand zou liggen): de Leibniz-formule geeft deze waarde als een som over de unieke permutatie van de lege verzameling, met een leeg product als de term; de Laplace-expansie voor een 1×1-matrix maakt duidelijk dat de waarde van de 0×0-minor als 1 moet worden genomen. Deze waarde is ook consistent met het feit dat de identiteitsafbeelding van enige eindigdimensionale ruimte op zichzelf determinant 1 heeft, een feit dat vaak gebruikt wordt als onderdeel van de karakterisering van determinanten.

Transformaties

Zie Lineaire transformatie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Matrices worden veel gebruikt bij berekeningen voor bijvoorbeeld het draaien, schalen en transleren van vormen in 2 of 3 dimensies. Draaien en schalen zijn lineaire operaties en kunnen dus direct door een matrix voorgesteld worden. Aangezien een translatie een affiene afbeelding is en dus niet lineair, maakt men voor een translatie gebruik van een extra dimensie door de betrokken vectoren voor te stellen met homogene coördinaten. De vormen, die bestaan uit een verzameling punten, vectoren, worden getransformeerd.

Toepassingen

Er zijn talrijke toepassingen van matrices, zowel in de wiskunde als andere wetenschappen. Sommigen daarvan maken alleen gebruik van de compacte weergave van een verzameling getallen in een matrix. In de speltheorie en de economie codeert de payoffmatrix voor de uitbetaling voor twee spelers, afhankelijk van welke alternatieven deze spelers uit een gegeven (eindige) verzameling van alternatieven hebben gekozen.^[24]Text mining en geautomatiseerde thesauruscompilatie maakt gebruik van documenttermenmatrices, zoals TF-IDF om de frequentie van bepaalde woorden in verschillende documenten bij te houden.^[25]

Complexe getallen kunnen voorgesteld worden door een specifieke reële 2×2-matrix

${displaystyle a ibleftrightarrow { egin{bmatrix}a&-b/b&aend{bmatrix}}}$,

waarbij optelling en vermenigvuldig van complexe getallen en matrices met elkaar corresponderen. 2×2-rotatiematrices bijvoorbeeld representeren de vermenigvuldiging met een complex getal van absolute waarde 1, zoals hierboven beschreven. Een soortgelijke interpretatie is mogelijk voor quaternionen.^[26]

Symmetrieën en transformaties in de natuurkunde

Zie Symmetrie (natuurkunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Lineaire transformaties en de bijbehorende symmetrieën spelen een belangrijke rol in de moderne natuurkunde. Elementaire deeltjes in de kwantumveldentheorie worden bijvoorbeeld geclassificeerd als representaties van de Lorentz-groep van de speciale relativiteitstheorie, en meer specifiek door hun gedrag onder de spingroep. Concrete representaties, waarbij de Pauli-matrices en meer in het algemene gamma-matrices een integraal onderdeel van de natuurkundige beschrijving vormen van fermionen, die zich als spinoren^[27] gedragen. Voor de drie lichtste quarks bestaat er een groepstheoretische representatie, waarbij de speciale unitaire groep SU(3); voor hun berekeningen, gebruiken natuurkundigen een handige matrixrepresentatie, die bekend als Gell-Mann-matrices, die ook voor de SU(3) ijkgroep wordt gebruikt en die de basis vormen van de moderne beschrijving van de sterke nucleaire interacties, kwantumchromodynamica. De Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-matrix drukt op zijn beurt uit dat de fundamentele quarktoestanden, die belangrijk zijn voor zwakke interacties, niet hetzelfde zijn als, maar wel lineair gerelateerd zijn aan, de fundamentele quarktoestanden die deeltjes met specifieke en verschillende massa's definiëren.^[28]

Lineaire combinaties van kwantumtoestanden

Het eerste model van de kwantummechanica ( Heisenberg, 1925) representeerde de operatoren van de theorie door oneindigdimensionale matrices die inwerkten op kwantumtoestanden.^[29] Dit eerste model staat ook bekend als de matrixmechanica. Een bijzonder voorbeeld is de dichtheidsmatrix, die de "gemengde" toestand van een kwantumsysteem als een lineaire combinatie van elementaire, "zuivere" eigentoestanden karakteriseert.^[30]

Een andere matrix dient als een belangrijk instrument voor het beschrijven van de verstrooiingsexperimenten, die de hoeksteen vormen van de experimentele deeltjesfysica: botsingreacties, zoals deze plaatsvinden in deeltjesversnellers, waar niet-interagerende deeltjes op elkaar af stormen en vervolgens in een kleine interactiezone op elkaar botsen, met als resultaat een verzameling van niet-interagerende deeltjes, kunnen worden omschreven als het scalair product van uitgaande deeltjestoestanden en een lineaire combinatie van inkomende deeltjestoestanden. De lineaire combinatie wordt gegeven door een matrix, die bekendstaat als de S-matrix. Deze S-matrix codeert voor alle informatie over de mogelijke interacties tussen deeltjes.^[31]

Meetkundige optica

De meetkundige optica kent ook matrixtoepassingen. In deze benaderingswijze wordt het golfkarakter van het licht buiten beschouwing gelaten. Het resultaat is een model waarin lichtstralen inderdaad meetkundige stralen zijn. Als de lichtstralen kleine hoeken maken met de optische as (de zgn. paraxiale benadering), kan men voor dunne lenzen volstaan met de eenvoudige lenzenformule. Is de lens dikker, of heeft men een lenzenstelsel, dan kan de werking van een brekend of reflecterend oppervlak op een gegeven lichtstraal worden beschreven met een vermenigvuldiging van een tweedimensionale vector met een 2×2-matrix: de componenten van de vector zijn de hellingshoek van de lichtstraal en de afstand tot de optische as, terwijl de matrix de breking of reflectie beschrijft. Deze matrix wordt de brekingsmatrix genoemd (reflectie is een bijzonder geval van breking, met brekingsindex = −1). Daarnaast gebruikt men een translatiematrix voor de verplaatsing van het referentievlak naar een volgend brekend of refecterend oppervlak, dat weer zijn eigen brekingsmatrix heeft. Het optische systeem, dat uit een combinatie van lenzen en/of reflecterende elementen bestaat, wordt nu simpelweg gekarakteriseerd door de productmatrix van de achtereenvolgende brekings- en translatiematrices.^[32][33]

Elektronica: vierpoolmodel

In de analyse van lineaire elektrische en elektronische netwerken wordt het gedrag van veel elektronische componenten beschreven met het zgn. vierpoolmodel (ook wel tweepoortmodel genoemd). Daarin worden de ingangsspanning en -stroom als een kolomvector ${displaystyle I=(v_{1},i_{1})}$ beschouwd, en de uitgangsspanning en -stroom als een kolomvector ${displaystyle U=(v_{2},i_{2})}$. Dit levert een matrixvergelijking ${displaystyle U=HI}$, waarin ${displaystyle H}$ een 2×2-matrix is met één impedantie-element ${displaystyle H_{12}}$, één admittantie-element ${displaystyle H_{21}}$ en twee dimensieloze elementen ${displaystyle H_{11}}$ en ${displaystyle H_{22}}$. Het doorrekenen van schakelingen komt dan neer op het vermenigvuldigen van matrices.^[34]

Berekenen van het aantal n-stapswegen

Schematische weergave van een willekeurige wegenstructuur. Een pijltje betekent dat de weg maar in een richting kan worden bereisd: er bestaan dus 2 rechtstreekse routes van A naar C, maar slechts 1 terug van C naar A

Een veelvoorkomend wiskundig vraagstuk is het berekenen op hoeveel manieren men van punt A naar punt D kan gaan, waarbij ${displaystyle n}$ opeenvolgende verbindingen worden gebruikt. Hierbij wordt vertrokken van een vierkante matrix waarin per rij, per kolom het aantal directe verbindingen opgegeven is.

Bij de figuur hoort ${displaystyle W={ egin{bmatrix}0&2&2&0&0&0/2&0&0&0&0&0/1&0&0&1&1&0/0&1&1&0&0&1/0&0&1&1&0&1/0&0&0&1&1&0end{bmatrix}}}$

Door de matrix hierna tot de macht ${displaystyle n}$ te verheffen, komen we op een nieuwe matrix uit die het aantal manieren voorstelt waarop men via ${displaystyle n}$ opvolgende verbindingen van punt A naar punt D kan gaan. Ook ${displaystyle n}$-stapswegen tussen andere punten kunnen hieruit afgelezen worden.

Voorbeeld: op hoeveel manieren kan men van A naar D gaan in 5 stappen?

${displaystyle Z=W^{5}={ egin{bmatrix}6&108&128&24&4&40/88&4&4&40&40&4/84&14&16&46&44&10/6&66&80&18&4&28/32&40&50&28&18&22/40&12&14&26&24&8end{bmatrix}}}$

Conclusie: om in 5 stappen van A naar D te gaan, zijn er 24 mogelijkheden (zie element ${displaystyle z_{14}}$).

Om in 5 stappen van B naar C te gaan, zijn er 4 mogelijkheden (zie element ${displaystyle z_{23}}$).

Geschiedenis

Men maakt bij het oplossen van lineaire vergelijkingen al heel lang gebruik van matrices. De Chinese tekst, De negen hoofdstukken van de wiskundige kunst, geschreven tussen 300 v.Chr. en 200 n.Chr., is het eerste voorbeeld van het gebruik van matrixmethoden om een stelsel van lineaire vergelijkingen op te lossen.^[35]

Ook de determinant werd bijna 100 jaar eerder in de Chinese wiskunde genoemd dan in 1683 door de Japanse wiskundige Seki en in 1693 door Leibniz. Cramer presenteerde zijn regel van Cramer in 1750.

De vroege matrixtheorie benadrukte determinanten sterker dan matrices. Een onafhankelijk matrixbegrip, dat verwant is aan de moderne notie van een matrix, ontstond pas in 1858, met het werk van Cayley'sMemoir on the theory of matrices^[36][37] De naam matrix werd door Sylvester bedacht, die een matrix als opgebouwd achtte uit minoren, determinanten van kleinere matrices die uit het origineel ontstaan door het verwijderen van rijen en kolommen. Het woord matrix is etymologisch afkomstig uit het Latijn.^[38]

De studie van determinanten kwam voort uit verschillende bronnen.^[39] Problemen in de getaltheorie brachten Gauss er toe om coëfficiënten van kwadratische vormen, dat wil zeggen, uitdrukkingen zoals ${displaystyle x^{2} xy-2y^{2}}$ en lineaire afbeeldingen in drie dimensies met matrices in verband te brengen. Eisenstein heeft deze noties verder uitgewerkt, waaronder de opmerking dat de matrixvermenigvuldiging niet commutatief is. Cauchy was de eerste om algemene uitspraken over determinanten te bewijzen. Hij maakte daarbij gebruik van de volgende definitie van de determinant van een matrix ${displaystyle A=(a_{ij})}$: vervang de machten ${displaystyle a_{j}^{k}}$ door ${displaystyle a_{jk}}$ in de polynoom

${displaystyle a_{1}a_{2}cdots a_{n}prod _{i$

Hij toonde in 1829 ook aan dat de eigenwaarden van symmetrische matrices reëel zijn.^[40]Jacobi bestudeerde functionele determinanten, later door Sylvester de Jacobiaan genoemd. Die kunnen bij integreren worden gebruikt bij het overgaan naar een ander coördinatenstelsel. Zie KroneckersVorlesungen über die Theorie der Determinanten^[41] en Weierstrass' Zur Determinantentheorie,^[42] beide in 1903 gepubliceerd. Zij waren de eersten die determinanten axiomatisch behandelden, dit in tegenstelling tot eerdere meer concrete benaderingen, zoals de genoemde stelling van Cauchy.

Veel stellingen werden aanvankelijk alleen voor kleine matrices vastgesteld, de stelling van Cayley-Hamilton werd bijvoorbeeld voor 2×2-matrices door Cayley in zijn hierboven genoemde werk bewezen, terwijl Hamilton deze stelling voor 4×4-matrices bewees. Frobenius bewees de stelling in 1898, toen hij aan bilineaire vormen werkte. Wilhelm Jordan was een van de eersten in Europa, aan het eind van de 19e eeuw, die een methode gaf om een stelsel van lineaire vergelijkingen op te lossen, nu bekend als de Gauss-eliminatie. In het begin van de 20e eeuw kregen matrices een centrale rol binnen de lineaire algebra.^[43]

Het begin van de matrixmechanica door Heisenberg, Born en Jordan heeft geleid tot het bestuderen van matrices met oneindig veel rijen en kolommen.^[44] Later heeft Von Neumann de wiskundige formulering van de kwantummechanica opgesteld door functionaalanalytische begrippen verder te ontwikkelen, zoals lineaire afbeeldingen op Hilbertruimten, die ruwweg gesproken corresponderen met de euclidische ruimte, maar met een oneindige onafhankelijke richtingen.

Historisch gebruik van het woord "matrix" in de wiskunde

Het woord matrix is door ten minste twee historisch belangrijke schrijvers op een ongewone manier gebruikt.

Bertrand Russell en Alfred North Whitehead gebruikten het woord matrix in hun Principia Mathematica (1910-1913) in de context van hun axioma van reduceerbaarheid. Zij stelden dit axioma voor als een middel om een functie successievelijk tot een van een lager type te reduceren, zodat de functie aan de "onderkant" (0e orde) identiek zal zijn aan haar uitbreiding:

"Laten we de naam matrix aan enige functie van een willekeurig aantal variabelen geven, waarbij geen sprake is van enige klaarblijkelijke variabelen. Dan wordt enige mogelijke functie anders dan een matrix door middel van veralgemening afgeleid van een matrix, dat wil zeggen door de propositie te beschouwen die beweert dat de functie in kwestie waar is voor alle mogelijke waarden of met sommige waarden van een van de argumenten, waarbij het andere argument of argumenten onbepaald blijven".^[45]

Een functie ${displaystyle Phi (x,y)}$ van twee variabelen ${displaystyle x}$ en ${displaystyle y}$ kan bijvoorbeeld worden teruggebracht tot een collectie van functies van een enkele variabele, bijvoorbeeld ${displaystyle y}$, door de functie voor alle mogelijke waarden van "individuen" te "beschouwen", waar ${displaystyle a_{i}}$ in de plaats van variabele ${displaystyle x}$ wordt gesubstitueerd. Dan kan de resulterende collectie van functies van de enkele variabele ${displaystyle y}$, dat wil zeggen ${displaystyle Phi (a_{i},y)}$ voor de verschillende ${displaystyle a_{i}}$ worden gereduceerd tot een "matrix" van waarden door de functie te "beschouwen" voor alle mogelijke waarden van "individuen" ${displaystyle b_{i}}$ gesubstitueerd in plaats van variabele ${displaystyle y}$:

${displaystyle Phi (a_{i},b_{j})}$ voor alle ${displaystyle b_{j}}$ en ${displaystyle a_{i}}$

Alfred Tarski gebruikte het woord "matrix' in 1946 in zijn Introduction to Logic als een synoniem voor zijn notie van waarheidstabel, zoals deze wordt gebruikt in de wiskundige logica^[46]

Typen matrices

Men onderscheidt de volgende typen matrices:

Op basis van de vorm

• vierkante matrix: een matrix met evenveel rijen als kolommen;
• diagonaalmatrix: een vierkante matrix waarvan de elementen buiten de hoofddiagonaal 0 zijn
• eenheidsmatrix: een diagonaalmatrix met alle elementen op de hoofdiagonaal gelijk aan 1
• benedendriehoeksmatrix: een vierkante matrix waarvan alle elementen boven de hoofddiagonaal 0 zijn
• bovendriehoeksmatrix: een vierkante matrix waarvan alle elementen onder de hoofddiagonaal 0 zijn
• Hessenbergmatrix: een vierkante matrix waarvan alle elementen onder de eerste benedendiagonaal of alle elementen boven de eerste bovendiagonaal 0 zijn
• tridiagonale matrix: een vierkante matrix waarvan alle elementen onder de eerste benedendiagonaal en alle elementen boven de eerste bovendiagonaal 0 zijn

Op basis van de opvulling van de elementen

• symmetrische matrix: een vierkante matrix waarin de elementen gespiegeld zijn rond de hoofddiagonaal
• antisymmetrische matrix: een vierkante matrix waarvan de gespiegelde elementen tegengesteld zijn aan elkaar
• hermitische matrix: een complexe matrix waarvan de getransponeerde gelijk is aan de complex toegevoegde matrix
• ijle (of schaarse of dunbezette) matrix: een matrix waarin het merendeel van de elementen de waarde 0 hebben
• nulmatrix: een matrix waarvan alle elementen 0 zijn

Op basis van eigenschappen

• orthogonale matrix: een matrix met orthonormale kolommen (en dus ook rijen)
• unitaire matrix: een complexe matrix met orthonormale kolommen (en dus ook rijen)
• normale matrix: een complexe matrix die commuteert met zijn hermitisch toegevoegde matrix
• singuliere matrix: een vierkante matrix met determinant nul

Speciale matrices

• Vandermonde-matrix
• rotatiematrix: een matrix gebruikt om functies gedefinieerd door hun parametervergelijking te roteren
• magisch vierkant: een matrix waarvan de som van de getallen in de rijen en kolommen, vaak ook de diagonalen, constant is

Noten

Referenties

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