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EIN kontinuierliche Funktion ist in der Mathematik ein Funktion davon kleine Änderungen von a Variable zu kleinen Änderungen des Funktionswertes führen. Fortsetzen Bilder sind zum Beispiel Studienfach in der Analyse und der Topologie.

Viele bekannte Funktionen auf dem reale Nummern, wie ${displaystyle xmapsto x^{t}}$ vor dem ${displaystyle tgeq 0}$ , das e-power, die Funktionen Sinus und Cosinus, sind durchgehend. Auch der Summe, es Unterschied und der Produkt von zwei stetigen Funktionen wieder stetig. Es gibt verschiedene Definitionen des Begriffs der Kontinuität. Die bekannteste ist die Epsilon-Delta-Definition, die die oben genannte beliebte Formulierung verfeinert.

Definition

Analyse

Eine Funktion ${displaystyle f:Asubseteq mathbb {R} oder mathbb {R}}$ heiß durchgehend im punkt ${Anzeigestil a}$ , wenn für jeden ${Displaystil-Varepsilon >0}$ ein ${Anzeigestil-Delta >0}$ ist so, dass für alle Punkte ${Anzeigestil xin A}$ Wofür ${Anzeigestil |x-a|$ , die daher ${Anzeigestil a}$ in dem Nachbarschaft liegen, heißt das? ${Anzeigestil |f(x)-f(a)|$ , was bedeutet, dass die Bilder auch nahe beieinander liegen.

Eine äquivalente Definition ist, dass eine Funktion ${displaystyle f}$ ist in einem Punkt stetig ${Anzeigestil a}$ wenn ${displaystyle lim _{x o a}{f(x)}=f(a)}$ .

Die Funktion ${displaystyle f}$ ist stetig, wenn sie in jedem . stetig ist ein in dem Domain von ${displaystyle f}$ .

Geometrie

Der Begriff der Kontinuität kann erweitert werden auf metrische Räume. wenn ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ metrische Räume sind mit entsprechenden Metriken ${displaystyle d_{X}}$ und ${displaystyle d_{Y}}$ , und ${displaystyle x_{0}}$ ist ein Punkt in ${Anzeigestil X}$ , dann eine Funktion ${Anzeigestil f:X oder Y}$ durchgehend im Punkt ${displaystyle x_{0}}$ wenn es für jeden da ist ${Displaystil-Varepsilon >0}$ ein ${Anzeigestil-Delta >0}$ ist so, dass für jeden Punkt ${Anzeigestil xin X}$ Wofür ${displaystyle d_{X}(x,x_{0})$ zählt das ${displaystyle d_{Y}(f(x),f(x_{0}))$ .

Eine Funktion ist ständig eingeschaltet ${Anzeigestil X}$ , oder einfach stetig, wenn die Funktion an jedem Punkt von stetig ist ${Anzeigestil X}$ .

Topologie

sehen stetige Funktion (Topologie) für den Hauptartikel zu diesem Thema.

In dem Topologie heißt ein Bild ${Anzeigestil f:X oder Y}$ des topologischen Raums ${Anzeigestil X}$ zum topologischen Raum ${Anzeigestil Y}$ durchgehend im Punkt ${Anzeigestil xin X}$ , wie für jeden Umfeld ${Anzeigestil V}$ von ${Anzeigestil f(x)}$ es gibt eine umgebung ${Displaystil U}$ von ${Anzeigestil x}$ existiert so, dass ${displaystyle f(U)subseteq V}$ . wenn ${displaystyle f}$ ist durchgehend in jedem ${Anzeigestil xin X}$ , das sagen sie einfach ${displaystyle f}$ ist kontinuierlich. Es lässt sich zeigen, dass für metrische Räume, die immer auch topologische Räume sind, die beiden Stetigkeitsbegriffe Äquivalent sein.

Beispiele

Das Blau und das Rot Kurven sind durchgehend, die grünen nicht (es gibt Sprungpunkte).

Die Abbildung unten zeigt die Derivate der obigen Kurven, wenn sie existieren. Die grüne Linie hat zwei Unterbrechungen (in der Abbildung nicht gezeigt). Die Ableitung im mittleren Teil der roten Kurve ist gleich 0.

Beachten Sie, dass, obwohl die rote Kurve stetig war, ihre erste Ableitung nicht stetig ist, es gibt zwei Sprungpunkte in der Ableitung: Punkte, an denen die Steigung in der Kurve (siehe oberes Bild).

Erklärendes Beispiel

Betrachten Sie die Funktion ${displaystyle f(x)={frac {x 1}{x^{2}-1}}}$ und berechne seinen Grenzwert in den Punkten ${Anzeigestil x=0}$ und ${Anzeigestil x=-1}$ .

Berechnen Sie die Funktionswerte in Punkten in der Nähe ${Anzeigestil x=0}$ :

${Anzeigestil f(-0{,}1)}$	${Anzeigestil f(-0{,}01)}$	${Anzeigestil f(-0{,}001)}$	${Anzeigestil f(0)}$	${Anzeigestil f(0{,}001)}$	${Anzeigestil f(0{,}01)}$	${Anzeigestil f(0{,}1)}$
${displaystyle -0{,}909}$	${displaystyle -0{,}990}$	${displaystyle -0{,}999}$	${Anzeigestil o -1linker Pfeil}$	${displaystyle -1{,}001}$	${displaystyle -1{,}010}$	${displaystyle -1{,}111}$

Experimentell stellt sich heraus, dass der Grenzwert von ${Anzeigestil f(x)}$ im ${Anzeigestil x=0}$ wahrscheinlich -1 ist:

{displaystyle lim _{x o 0}f(x)=-1}

Beachten Sie, dass die Funktion ${displaystyle f}$ vor dem ${Anzeigestil x=0}$ Wurde definiert. Was ist der Funktionswert in diesem Punkt:

{Anzeigestil f(0)=-1}

Der Funktionswert im Punkt ${Anzeigestil x=0}$ gleich dem Grenzwert der Funktion an diesem Punkt. Das ist die Definition von Kontinuität; es scheint vernünftig anzunehmen, dass ${displaystyle f}$ ist im Punkt stetig ${Anzeigestil x=0}$ .

Berechnen Sie nun die Funktionswerte in Punkten in der Nähe ${Anzeigestil x=-1}$ .

${Anzeigestil f(-1{,}1)}$	${Anzeigestil f(-1{,}01)}$	${Anzeigestil f(-1{,}001)}$	${Anzeigestil f(-1)}$	${Anzeigestil f(-0{,}999)}$	${Anzeigestil f(-0{,}99)}$	${Anzeigestil f(-0{,}9)}$
−0,476	−0,498	−0,49975	${displaystyle o -0{,}5linkspfeil }$	−0,5003	−0,503	-0,526

Die Funktion ${displaystyle f}$ scheint eine Grenze zu sein ${Anzeigestil x=-1}$ gleich −0,5 haben:

{displaystyle lim _{x o -1}f(x)=-0{,}5}

Stimmt diese Grenze mit dem Funktionswert zu diesem Zeitpunkt überein? Die Funktion ist nicht definiert für ${Anzeigestil x=-1}$ ; der Nenner wird null. Hier existiert die Grenze, der Funktionswert jedoch nicht. Die Funktion ist nicht ständig eingeschaltet ${Anzeigestil x=-1}$ .

Intuition

Intuitiv wird manchmal angenommen, dass eine Funktion nur dann stetig ist, wenn Diagramm zeigt keine Sprünge. Dies ist jedoch nicht wahr. Ein Beispiel dafür ist die Funktion ${displaystyle f:[0.2]setminus {1}mapsto mathbb {R} }$ gegeben von:

{displaystyle f(x)={ egin{cases}-1,&{mbox{ if }}x<1/1,&{mbox{ if }}x>1end{cases}}}

Diese Funktion macht offensichtlich einen Sprung in 1, ist aber stetig. Dies lässt sich dadurch erklären, dass 1 nicht im Bereich der Funktion liegt.

Gleichmäßige Kontinuität

Eine Funktion ${displaystyle f:Asubseteq mathbb {R} oder mathbb {R}}$ heißt gleichmäßig stetig wie für any ${Displaystil-Varepsilon >0}$ ein ${Anzeigestil-Delta >0}$ existiert, damit für alle ${Anzeigestil a,xin A}$ Spielt das eine Rolle ${Anzeigestil |x-a|$ folgt das ${Anzeigestil |f(x)-f(a)|$ .

Gleichmäßige Stetigkeit ist stärker als reguläre Stetigkeit, jede Funktion, die gleichmäßig stetig ist, ist auch stetig. Das Gegenteil ist jedoch nicht immer der Fall. Betrachten Sie die Funktion noch einmal ${displaystyle f:[0.2]setminus {1} oder mathbb {R} }$ gegeben von:

{displaystyle f(x)={ egin{cases}-1,&{mbox{ if }}x<1/1,&{mbox{ if }}x>1end{cases}}}

Es ist kontinuierlich, aber nicht gleichmäßig kontinuierlich.

Stückweise Kontinuität

Wenn es eine Partition des Gebietes von gibt ${displaystyle f}$ existiert für was ${displaystyle f}$ ist gleichmäßig stetig in jedem Intervall, dann ist ${displaystyle f}$ Stück für Stück kontinuierlich. Das muss nicht unbedingt heißen ${displaystyle f}$ wird in den Randpunkten der Teilintervalle definiert. Aufgrund der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit kann man schließen, dass ${displaystyle f}$ in den Randpunkten der Teilintervalle erweiterbar ist.

Eine stückweise stetige Funktion kann als Verkettung stetiger Funktionen in einem geschlossenen Intervall verstanden werden.

Im obigen Beispiel 1 ist die grüne Funktion eine stückweise stetige Funktion.

Eigenschaften stetiger Funktionen

Bei der beweisen der folgenden Eigenschaften stetiger Funktionen ist der Satz der kleinsten oberen Schranke notwendig.

Jede Funktion, die auf einem geschlossenen und beschränkten Intervall stetig ist, ist auch da there begrenzt. Nähe ist hier wichtig: die Funktion ${displaystyle xmapsto 1/x}$ ist im Intervall ]0, 1] kontinuierlich, aber nicht beschränkt.
Eine Funktion, die in einem bestimmten Intervall stetig ist und dort positive und negative Werte annimmt, hat mindestens eine . in diesem Intervall Null Punkte. Eine Folge davon ist:
Eine Funktion ${displaystyle f}$ was auf einem geschlossenen Intervall liegt ${Anzeigestil [a,b]}$ ist stetig und nimmt unterschiedliche Werte an ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ , zeichnet dieses Intervall auf jeden Wert zwischen ${Anzeigestil f(a)}$ und ${Anzeigestil f(b)}$ Auf.
Eine Dauerfunktion wird angezeigt kompakt Sammlungen zu kompakten Sammlungen.
Eine Dauerfunktion wird angezeigt verbunden Sammlungen zu verwandten Sammlungen.
Eine Funktion, die differenzierbar ist im punkt ${Anzeigestil a}$ , ist auch ständig in ${Anzeigestil a}$ ; das Gegenteil ist im Allgemeinen nicht der Fall.