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Samenhang

In dem Topologie, eine Unterregion der Mathematik, wird a topologischer Raumkohärent erwähnt, wenn es nicht möglich ist, den Raum in zwei zu teilen zusammenhangslos, nicht leer, Öffnen Teilmengen. Ein Unterraum eines topologischen Raums kann auch sein kohärent sind, wenn der Unterraum unter dem induzierte Topologie.

In der gewöhnlichen Topologie eines Teils der Ebene oder des dreidimensionalen Raums bedeutet Kohäsion, was gewöhnlich verstanden wird, nämlich dass die Menge ein Ganzes ist und sich nicht in zwei oder mehr Teile aufspaltet, zwischen denen "Raum" ist.

Definition

Ein topologischer Raum ${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$ heiß kohärent wenn es keine zwei offenen, nicht leeren Teilmengen gibt ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ sind, für die gilt das ${Displaystil Acup B=X}$ und ${displaystyle Acap B=leermenge }$ .

In dieser Definition „Öffnen" auch ersetzt werden durch "GeschlossenEine äquivalente Definition lautet: Ein topologischer Raum ${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$ heiß kohärent wenn ${Anzeigestil X}$ und der leere Sammlung das einzige klopfen (beide Öffnen wenn Geschlossen) Teilmengen sein. Um festzustellen, ob a Teilmenge von ${Anzeigestil X}$ ist offen, wir beschränken uns auf die Unterraumtopologie.

Beispiele

${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ mit dem gemeinsame Metrik ist für jeden stimmig ${displaystyle nin mathbb {N} }$ .
Jeder Intervall im ${displaystyle mathbb {R} }$ $Mathbb {R}$ mit dem gemeinsame Metrik ist stimmig. Abgesehen vom Homöomorphismus gibt es fünf verwandte Nebenräume von ${displaystyle mathbb {R} }$ $Mathbb {R}$ :
- die offenen Intervalle, einschließlich der offenen Halbrechte und des Ganzen ${displaystyle mathbb {R} }$ (kein Punkt kann unter Beibehaltung der Konsistenz entfernt werden)
- die halboffenen Intervalle, einschließlich der geschlossenen Halbrechte (es gibt einen Punkt, der unter Wahrung der Konsistenz entfernt werden kann)
- die geschlossenen Intervalle (es gibt zwei Punkte, die unter Beibehaltung der Konsistenz entfernt werden können)
- das Singletons
- die leere Sammlung
Die Untermenge ${displaystyle(0.1)cup(2.3)}$ von ${displaystyle mathbb {R} }$ mit dem gemeinsame Metrik ist nicht stimmig. Wählen Sie zum Beispiel ${Anzeigestil A=(0,1)}$ und ${Anzeigestil B=(2,3)}$ . Es ist klar, dass ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ sind beide offen und nicht leer, und es gilt das ${Displaystil Acup B=X}$ und ${displaystyle Acap B=leermenge }$ .

Straßenzusammenhalt

Es ist ziemlich schwierig zu zeigen, ob eine Sammlung kohärent ist oder nicht. Daher ist das Konzept Straßenzusammenhalt oder Pfadkohärenz umgesetzt. Dies definiert eine Beziehung, die bedeutet, dass zwei beliebige Punkte im topologischen Raum durch einen Pfad (oder eine Straße) verbunden sind.

Zunächst muss definiert werden, was a Pfad ist verstanden.

EIN Funktion ${displaystyle p:[0,1] oder X}$ heißt a Pfad zwischen den Punkten ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ von einem topologischer Raum ${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$ wenn ${displaystyle p}$ kontinuierlich ist, ${Anzeigestil p(0)=a}$ und ${Anzeigestil p(1)=b}$ .

EIN topologischer Raum ${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$ heiß dann straßenbezogen oder pfadbezogen wenn für alle zwei elke Punkte ${displaystyle a,bin X}$ ein Pfad existiert.

Straßenzusammenhalt und Zusammenhalt

Die Kohärenz von Straßen ist im Allgemeinen etwas leichter zu demonstrieren als Kohärenz. Die Konzepte sind jedoch nicht Äquivalent. Straßenkohärenz scheint Kohärenz zu implizieren, aber umgekehrt muss Kohärenz nicht unbedingt Straßenkohärenz implizieren.

Ein Beispiel ist das topologische Sinuskurve,

{displaystyle left{left(x,sin { frac {1}{x}}ight):xin (0,1]ight}cup {(0,0)}}

,

was zusammenhängend, aber nicht zusammenhängend ist.

Der Raum ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ ist ein einfaches Beispiel für einen zusammenhängenden Raum.

Konsistenz und Straßenzusammenhalt sind stetig-invariant Eigenschaften. Dies bedeutet, dass es kontinuierlich Statue einer Menge mit einer stetig invarianten Eigenschaft hat diese Eigenschaft auch.

Zugehörige Untergruppen

Aus der Definition folgt, dass die leere Sammlung, sowie alle Singletons kohärent sein. Ein topologischer Raum, von dem alle Nebenräume, mit Ausnahme der leeren Menge und der Singletons, inkohärent sind, heißt total zusammenhanglos.

EIN diskrete Topologie ist total inkohärent. Ein weiteres Beispiel sind die Rationale Zahlen mit der regulären Topologie.

Beispiele für Straßenzusammenhalt

Im ${displaystyle mathbb {R} }$ mit dem gemeinsame Metrik jeder kohäsive Unterraum ist auch wegkohäsiv.
Beispiele in ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ $mathbb{R} ^{2}$ topologisch unterschiedlicher straßenbezogener Teilräume:
- Wie in ${displaystyle mathbb {R} }$ , aber statt eines Intervalls ein sich nicht selbst schneidendes Kurve (neben dem Singleton und der leeren Menge drei weitere topologisch unterschiedliche Varianten; die fünf sind topologisch gleich denen in ${displaystyle mathbb {R} }$ ).
- Kurven mit Verzweigungen (viele topologisch unterschiedliche Varianten).
- Eine Kreisscheibe mit Rand und allem, was homöomorph ist, also durch kontinuierliches Dehnen, Biegen, Dehnen und Falten zu formen, ohne zu schneiden oder zu kleben.
- Gleiches ohne Rand.
- Dito mit partiellem, durchgehendem Rand.
- Eine Kreisscheibe mit einer Kante, mit einer sich nicht selbst schneidenden Startkurve (topologisch unterschiedliche Varianten, je nachdem, ob die Kurve einen Endpunkt hat).
- Zwei Kreisscheiben mit einer Kante, mit einem gemeinsamen Punkt.
- Zwei kreisförmige Scheiben mit einer Kante, verbunden durch eine sich nicht selbst schneidende Kurve.
- Eine Kreisscheibe mit Löchern (topologisch unterschiedliche Varianten bezüglich Außenrand und Anzahl der Löcher, und bei versenkter Kreisscheibe: bezüglich Lochkanten).
- Ein Kreis (und topologisch äquivalent: jede sich nicht selbst schneidende geschlossene Kurve).

Siehe auch

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