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Im algebraische Topologie, eine Unterregion der Mathematik, ist der grundlegende Gruppe oder Poincaré-Gruppe ein Gruppe das ist mit einem bestimmten verbunden spitzer topologischer Raum. Die Fundamentalgruppe bietet eine Möglichkeit zu bestimmen, wann zwei Wege, jeweils mit festem Start- und Endpunkt kontinuierlich ineinander verformt werden können. Intuitiv gesprochen enthält die Fundamentalgruppe Information über die Grundform oder die Löcher im topologischen Raum. Die Fundamentalgruppe ist die erste und einfachste der Homotopiegruppen.

Fundamentale Gruppen können mit der Theorie der Bereiche abdecken, denn eine Fundamentalgruppe entspricht der Gruppe von Abdeckungstransformationen des zugehörigen universellen Abdeckungsraums. Das Abelianisierung der Fundamentalgruppe kann mit dem ersten identifiziert werden Homologiegruppe des Platz. Wenn der topologische Raum homöomorph ist mit a einfach komplex, seine Fundamentalgruppe kann explizit beschrieben werden durch Generatoren und Beziehungen.

Historisch entstand das Verständnis der Fundamentalgruppe zuerst in der Theorie der Riemann-Oberflächen, in der Arbeit von Bernhard Riemann, Felix Klein und Henri Poincare, wobei die Fundamentalgruppe de monodrom Eigentum von komplexe Funktionen beschreibt und liefert eine vollständige topologische Klassifizierung geschlossener Oberflächen.

Definition

Die Fundamentalgruppe von a straßenbezogentopologischer Raum${Anzeigestil X}$ ist wie folgt aufgebaut. Sie ${Anzeigestil G}$ das Sammlung von allen geschlossen Wege im ${Anzeigestil X}$, das heißt ausgerechnet kontinuierlichBilder${displaystyle p:[0,1] oder X}$ mit einem gegebenen festen loslegen- und Endpunkt${Anzeigestil p(0)=p(1)}$. Zwei Wege heißen ${displaystyle p_{1}}$ und ${displaystyle p_{2}}$Homotopie-Äquivalent wenn sie "innerhalb kontinuierlich ineinander verformt werden können" ${Anzeigestil X}$", d.h. wenn ein kontinuierliches Bild vorhanden ist

${displaystyle P:[0,1] imes [0,1] oder X}$

existiert mit der Eigenschaft, dass

${Anzeigestil P(0,x)=p_{1}(x)}$ und ${Anzeigestil P(1,x)=p_{2}(x)}$ für alle ${displaystyle xin[0,1]}$.

Homotopie-Äquivalenz bestimmt a Äquivalenzrelation auf ${Anzeigestil G}$. Die Äquivalenzklassen bilden a Gruppe für die Operation "Pfade einfügen", die wir hier mit dem *-Zeichen vermerken:

${displaystyle (p*q)(x)=left{{ egin{array}{ll}p(2x)&{mbox{if }}0leq xleq {frac {1}{2}}/q(2x-1) &{mbox{if }}{frac {1}{2}}leq xleq 1end{array}}ight.}$

wenn ${Anzeigestil p(1)=q(0)}$^[1]. Implizit in dieser Notation, aber tatsächlich noch überprüfbar, ist, dass die Operation * auf einzelnen Pfaden die Äquivalenzklassen respektiert. Expliziter: if ${displaystyle p_{1}}$ homotopes Äquivalent zu ${displaystyle p_{2}}$, und ${displaystyle q_{1}}$ ist homotop äquivalent zu ${displaystyle q_{2}}$, dann ist ${displaystyle p_{1}*q_{1}}$ auch homotopes Äquivalent mit ${displaystyle p_{2}*q_{2}.}$ Die Zusammensetzung zweier Äquivalenzklassen ist also gut definiert, unabhängig von den gewählten Vertretern.

Gruppeneigenschaften

Es neutrales Element der Gruppenoperation ist die Äquivalenzklasse, die zum konstanter Weg, d.h. die konstante Abbildung des Intervalls [0,1] auf den fest gewählten Startpunkt.

Es inverses Element einer gegebenen Äquivalenzklasse erhalten wir, indem wir ihre Wege im umgekehrten Sinne durchlaufen (Zusammensetzung mit dem Parameter Inversion ${displaystyle xmapsto 1-x}$).

Die Operation * ist nicht unbedingt kommutativ.

Die so gebildete Gruppe ist bis auf Isomorphie für alle gewählten Startpunkte geschlossener Pfade gleich. (Für den Fall, dass ${Anzeigestil X}$ ist nicht pfadbezogen, die Gruppe ist für alle Ursprünge gleich, die mit einem Pfad verbunden werden können). Diese Gruppe wird als Fundamentalgruppe von bezeichnet ${Anzeigestil X}$. Die gebräuchlichste Schreibweise ist ${displaystyle pi_{1}}$ oder ${displaystyle pi_{1}(X)}$.

Bezug zur Topologie

Die Fundamentalgruppe ist eine topologische unveränderlich: topologisch äquivalente straßenverbundene Räume haben isomorphe Fundamentalgruppen. Er ist sogar ein Homotopie-Invariante:Homotop straßenverbundene Räume haben isomorphe Fundamentalgruppen.

Der topologische Raum ${Anzeigestil X}$ heiß einzigartig verbunden wenn seine Fundamentalgruppe ausschließlich aus dem neutralen Element besteht, dh wenn alle geschlossenen Pfade homotopieäquivalent zu einer Konstanten sind.

Beispiele

Die euklidische Ebene ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ ist einfach verbunden. Wenn einer ausgeht ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ ohne einen Punkt hat der verbleibende Raum Fundamentalgruppe ${displaystyle mathbb {Z} }$ (die ganzen Zahlen). Lässt man mehrere Punkte weg, ist die Fundamentalgruppe nicht mehr kommutativ: die sogenannte kostenlose Gruppe auf ${displaystyle n}$ veränderbar.

Die zweidimensionale Atmosphäre ${Displaystil S^{2}}$ (die Oberfläche einer Kugel) ist einfach verbunden.

Der Umfang hat Fundamentalgruppe ${displaystyle mathbb {Z} }$.

Das torus (Oberfläche eines Fahrradschlauchs) hat Grundgruppe ${displaystyle mathbb {Z} imes mathbb {Z} }$. Dies ist eine Folge der unten zitierten Eigenschaft über Produkträume, denn der Torus kann verstanden werden als kartesisches Produkt eines Kreises mit sich selbst.

EIN kontraktil Weg auf dem torus

Zwei nicht gleichwertige, nicht kontraktil Trails auf dem Torus

die wirkliche projektive Ebene hat eine nichttriviale endliche Fundamentalgruppe: ${displaystyle mathbb {Z} /2mathbb {Z} }$ (das zyklische Gruppe der Restklassen von ganzen Zahlen modulo 2).

Das Linsenraum${Anzeigestil L(p,q)}$ hat als Fundamentalgruppe die endliche zyklische Gruppe ${displaystyle mathbb {Z} /pmathbb {Z} }$.

Eigentum

Die Fundamentalgruppe von a Produktraum ist die Produktgruppe der einzelnen Fundamentalgruppen:

${displaystyle pi _{1}(X imes Y)=pi _{1}(X) imes pi _{1}(Y)}$

Diese Eigenschaft bleibt mutatis mutandis gelten für unendliche Produkte.

Beziehung zu anderen Invarianten

Die Grundgruppe ${displaystyle pi_{1}}$ ist die erste Homotopiegruppe. Im Gegensatz zu den höheren Homotopiegruppen ${displaystyle pi_{n}}$ es muss nicht kommutativ sein.

Der Erste Homologiegruppe des singuläre Homologie ist der Abelianisierung der Fundamentalgruppe. Genauer gesagt: mit jedem geschlossenen Weg kommt ein Dreieck und damit ein Element von ${Displaystil H^{1}}$ Spiel. Dieses Bild entpuppt sich als a surjektiv GruppeHomomorphismus sein, und sie Ader ist genau das Kommutator-Untergruppe von ${displaystyle pi_{1}}$.

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