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Complexe functie

EIN komplexe Funktion ist ein komplexwertige Funktion von a Komplex variabel, also a Funktion

{displaystyle f:D o mathbb {C}}

dessen Definitionsbereich ${Anzeigestil D}$ ein Teilmenge ist von den komplexen Zahlen ${displaystyle mathbb {C} }$ . Oft wird eine komplexe Funktion wie folgt notiert:

{Anzeigestil f(x iy)=u(x,y) icdot v(x,y)}

,

in welchem ${Anzeigestil u}$ und ${Anzeigestil v}$ reellwertige Funktionen von zwei sein Real Variablen. Die Theorie der komplexen Funktionen wird Funktionstheorie erwähnt.

Derivat

Wie für ${displaystyle cin mathbb {C} }$ das Limit

{displaystyle lim _{z o c}{frac {f(z)-f(c)}{z-c}}}

,

existiert heißt die komplexe Funktion ${displaystyle f}$ differenzierbar im ${Anzeigestil c}$ und der Grenzwert wird als Ableitung von bezeichnet ${displaystyle f}$ im ${Anzeigestil c}$ und gekennzeichnet durch:

{displaystyle f'(c)=lim _{z o c}{frac {f(z)-f(c)}{z-c}}}

Holomorphe Funktion

EIN holomorphe Funktion ist ein Funktion der auf a offene Teilmenge von dem komplexe Ebene ${displaystyle mathbb {C} }$ ist mit Werten in . definiert ${displaystyle mathbb {C} }$ und die an jedem Punkt dieser komplexen Ebene unterschieden werden können. Eine solche Funktion wird auch als analytisch bezeichnet. In dem echte Analyse dieser Begriff wird verwendet, um unendlich differenzierbare Funktionen zu bezeichnen, die als a . ausgedrückt werden können Potenzreihe. Der Name Analytik ist für komplexe differenzierbare Funktionen gerechtfertigt, denn komplexe Funktionen, die einmal differenzierbar sind, sind automatisch unendlich differenzierbar und können daher in Potenzreihen entwickelt werden. Dies ist also ein großer Unterschied zwischen der komplexen Analyse und der realen Analyse.

Meromorphe Funktion

sehen Meromorphe Funktion für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Manchmal ist eine Funktion in ihrem Bereich nicht überall differenzierbar, aber fast überall differenzierbar. Fast überall bedeutet auf eine Sammlung von isolierte Punkte nach dem. Eine solche Funktion wird als meromorphe Funktion bezeichnet. Der Begriff kommt aus dem Griechischen, von μέρος (meros) was Teil im Gegensatz zu ὅλος (holos) ganz bedeutet. Ein Punkt, an dem eine meromorphe Funktion nicht differenzierbar ist, ist, ob a löschbare Singularität oder ein Schwimmbad.

Die Cauchy-Riemann-Gleichungen

Wenn die komplexe Funktion ${displaystyle f}$ ist im Punkt differenzierbar ${Anzeigestil a bi}$ und wir verschreiben ${displaystyle f}$ :

{Anzeigestil f(x iy)=u(x,y) icdot v(x,y)}

,

gilt für die Ableitung

{displaystyle f'(a bi)={frac {partial {u}}{partial {x}}}(a,b) i{frac {partial {v}}{partial {x}}}(a,b) ={frac {teilweise {v}}{teilweise {y}}}(a,b)-i{frac {teilweise {u}}{teilweise {y}}}(a,b)}

.

Die Ableitung lässt sich also in den partiellen Ableitungen von ausdrücken ${Anzeigestil u}$ und ${Anzeigestil v}$ im punkt ${Anzeigestil (a,b)}$ . In dieser Hinsicht ${displaystyle f}$ also zu den Cauchy-Riemann-Gleichungen:

{displaystyle {frac {teilweise {u}}{teilweise {x}}}={frac {teilweise {v}}{teilweise {y}}}}

{displaystyle {frac {teilweise {v}}{teilweise {x}}}=-{frac {teilweise {u}}{teilweise {y}}}}

Umgekehrt ist eine Funktion ${displaystyle f}$ die in ihrer Gesamtheit Domain die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt und deren partielle Ableitungen stetig sind, ist holomorph.

Bekannte Theoreme aus der reellen Analysis

Die meisten Sätze aus der reellen Analysis gelten auch für die komplexe Analysis. Wir formulieren einige davon.

Kettenregel

Sie ${displaystyle g:D o mathbb {C}}$ und ${displaystyle f:G o mathbb {C}}$ beide holomorphe Funktionen. Dann die Komposition ${displaystyle fcirc g:D o mathbb {C}}$ ebenfalls holomorph und für die Ableitung gilt:

{Anzeigestil (fcirc g)'(z)=f'(g(z))g'(z)}

Umkehrfunktionen

Sie ${displaystyle f:D o mathbb {C}}$ eine komplexe Funktion und ${displaystyle f^{-1}:G o mathbb {C} }$ die Umkehrfunktion von ${displaystyle f}$ , damit für alle ${displaystyle-Satz mathbb {C} }$

{Anzeigestil f(f^{-1}(z))=z}

Wenn es das hält ${displaystyle f}$ ist differenzierbar in ${Anzeigestil w=f^{-1}(z)}$ und ${displaystyle f'(w)eq 0}$ , dann ist die Ableitung von is ${displaystyle f^{-1}}$ im punkt ${Anzeigestil z}$ und wird gegeben von:

{displaystyle (f^{-1})'(z)={frac {1}{f'(w)}}={frac {1}{f'(f^{-1}(z))}} }

Wichtige komplexe Funktionen

Die Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion wird mit dem performed Eulersche Formel gegeben:

{displaystyle e^{x iy}=e^{x}(cos {y} icdot sin {y})}

Die bekannten Eigenschaften gelten auch für die komplexe Exponentialfunktion. Vor dem ${displaystyle z,win mathbb {C}}$ ist:

{displaystyle e^{z w}=e^{z}e^{w}}

und

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}e^{z}=e^{z}}

Der Logarithmus

Die Exponentialfunktion ${displaystyle e^{x iy}}$ ist nur a Injektion wenn die Werte von ${Anzeigestil y}$ sind auf ein halboffenes Intervall der Länge begrenzt ${Displaystil 2pi }$ . Der Logarithmus kann dann definiert werden als:

{displaystyle log {z}=log {|z|} iarg {z}}

Mit der Argumentation:

{displaystyle bleq arg {z}

Der Logarithmus ist definiert bei ${displaystyle mathbb {C} setminus {0}}$ .

Wählt man den Wert ${displaystyle b=-pi }$ , dann erhält man den Hauptwert des Logarithmus, der in den meisten Fällen auch verwendet wird. Für den komplexen Logarithmus gelten die üblichen Sätze

${displaystyle e^{ln {z}}=z}$

${displaystyle ln {e^{z}}=zmod {2pi i}}$

${displaystyle log {zw}=log {z} log {w}mod {2pi i}}$

${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}ln {z}={frac {1}{z}}}$

Hier sind ${Anzeigestil z}$ und ${Anzeigestil w}$ komplexe Zahlen.

Kräfte

Potenzen können mit dem Logarithmus und der Exponentialfunktion definiert werden. wenn ${Anzeigestil z}$ und ${Anzeigestil a}$ komplexe Zahlen, definieren wir

${displaystyle z^{a}=e^{acdot ln {z}}}$

Mit dieser Definition können wir auch die Ableitung einer Potenz bestimmen:

${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}z^{a}=az^{a-1}}$

Trigonometrische und hyperbolische Funktionen

Sinus und Kosinus können auch mit komplexen Potenzen von z definiert werden. Für komplexe Zahlen ${Anzeigestil z}$ ist

${displaystyle sin z={frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}$

${displaystyle cos z={frac {e^{iz} e^{-iz}}{2}}}$

${displaystyle sinh z={frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}}$

${displaystyle cosh z={frac {e^{z} e^{-z}}{2}}}$

Daraus folgt leicht:

${displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}z}}sin z=cos z}$

${displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}z}}cos z=-sin z}$

${displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}z}}sinh z=cosh z}$

${displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}z}}cosh z=sinh z}$

und

${displaystyle e^{iz}=cos z isin z}$

${displaystyle e^{z}=cosh z sinh z}$

Auch in der komplexen Analyse gelten die üblichen Beziehungen:

${displaystyle sin(a b)=sin acos b sin bcos a}$

${displaystyle sinh(a b)=sinh acosh b sinh bcosh a}$

${displaystyle cos(a b)=cos acos b-sin asin b}$

${displaystyle cosh(a b)=cosh acosh b sinh asinh b}$

${displaystyle sin ^{2}a cos ^{2}a=1}$

${displaystyle cosh ^{2}a-sinh ^{2}a=1}$

${displaystyle sin(-a)=-sin {a}}$

${Anzeigestil cos(-a)=cos a}$

${displaystyle sinh(-a)=-sinh a}$

${displaystyle cosh(-a)=cosh a}$

Sei hier ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ komplexe Zahlen.

Darüber hinaus können die trigonometrischen Funktionen in hyperbolische Funktionen umgewandelt werden und umgekehrt.

${displaystyle sinh a=-isin(ia)}$

${displaystyle cosh a=cos(ia)}$

Leistungsserie

Höhere Ableitungen
Wie bereits erwähnt, wenn ${displaystyle f}$ eine holomorphe Funktion ist on ${Anzeigestil D}$ und ${Anzeigestil a}$ ein punkt ist drin ${Anzeigestil D}$ dann ist ${displaystyle f}$ unendlich oft differenzierbar in ${Anzeigestil a}$ . Weiterhin gilt für höhere Ableitungen folgende Gleichheit:
${displaystyle f^{(n)}(a)={frac {n!}{2pi i}}{}oint _{C}{frac {f(z)}{(za)^{n 1}}} Mathe {d} z}$
Darin ist ${Anzeigestil C}$ eine geschlossene Kurve.
Potenzreihen und Konvergenzstrahlen
wenn ${displaystyle c_{n}}$ eine Folge komplexer Zahlen ist und ${Anzeigestil a}$ ist eine komplexe Zahl, wird zu
${Anzeigestilsumme _{n=0}^{infty}c_{n}(z-a)^{n}}$
eine Potenzreihe zu called genannt ${Anzeigestil a}$ . Die Potenzreihe konvergiert in ${displaystyle b}$ wenn
${Anzeigestilsumme _{n=0}^{infty}c_{n}(b-a)^{n}}$
konvergiert.
Das Konvergenzradius ${Anzeigestil R}$ der Potenzreihe ist definiert als:
${displaystyle R=sup {{rin mathbb {R} :lim _{n o infty}|c_{n}|r^{n}=0}}}$
Hiermit kann ${Anzeigestil R}$ nehme auch den Wert unendlich an.
Für den Konvergenzradius ${Anzeigestil R}$ gilt:
${displaystyle {frac {1}{R}}=limsup _{n o infty }{ ig (}|c_{n}|^{1/n}{ ig )}}$
wenn ${Anzeigestil R}$ endlich ist, definiert man die Konvergenzkreis der Potenzreihe als Kreis mit Mittelpunkt ${Anzeigestil a}$ und strahl ${Anzeigestil R}$ .
Es stellt sich heraus, dass die Potenzreihe für jedes konvergiert ${Anzeigestil z}$ innerhalb des Konvergenzkreises und divergiert für alle ${Anzeigestil z}$ draußen. Es Konvergenzbereich enthält somit die offene Kreisscheibe und ist in der geschlossenen Kreisscheibe enthalten. Vor dem ${Anzeigestil z}$ auf dem Konvergenzkreis ist sie von Fall zu Fall unterschiedlich. wenn ${Anzeigestil R}$ unendlich ist, dann konvergiert die Potenzreihe für jedes ${Anzeigestil z}$ .
Taylor-Reihe
Jede holomorphe Funktion kann als Potenzreihe geschrieben werden. wenn
${displaystyle f(z)=sum _{n=0}^{infty}c_{n}(z-a)^{n}}$
eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ${Anzeigestil R}$ , dann sind die Koeffizienten ${displaystyle c_{n}}$ sicher und gut von:
${displaystyle c_{n}={frac {1}{2pi i}}{}oint _{C}{frac {f(z)}{(za)^{n 1}}},mathrm {d} z= {frac {f^{n}(a)}{n!}}}$
Hier ist ${Anzeigestil C}$ ein durch die Funktion parametrierter Pfad ${displaystyle re^{it}:[0.2pi] oder mathbb {C}}$ mit ${Anzeigestil 0$ .
Beispiele für Taylor-Reihen sind:
${displaystyle e^{z}=1 z {frac {z^{2}}{2!}} {frac {z^{3}}{3!}} ldots {frac {z^{n}}{n !}} ldots }$
${displaystyle sin z=z-{frac {z^{3}}{3!}} {frac {z^{5}}{5!}}-ldots (-1)^{n}{frac {z^ {2n 1}}{(2n 1)!}} ldots }$
${displaystyle cos z=1-{frac {z^{2}}{2!}} {frac {z^{4}}{4!}}-ldots (-1)^{n}{frac {z^ {2n}}{(2n)!}} ldots }$
In diesen drei Reihen ist der Konvergenzradius unendlich.
Die geometrische Reihe hat auch ein komplexes Analogon, bei dem der Konvergenzradius wie im reellen Fall gleich 1 ist.
${displaystyle {frac {1}{1-z}}=1 z z^{2} z^{3} ldots z^{n} ldots }$
Der Logarithmus hat ebenfalls eine Potenzreihe, aber entwickelt um den Punkt 1. Der Konvergenzradius beträgt 1.
${displaystyle log z=(z-1)-{frac {(z-1)^{2}}{2}} {frac {(z-1)^{3}}{3}}-ldots (-1 )^{n-1}{frac {(z-1)^{n}}{n}} ldots }$
Integrieren

Wanderwege
Ein Weg oder ein Bogen ${Anzeigestil C}$ ist eine Teilmenge der komplexen Zahlen, so dass ${Anzeigestil C={c(t):tin [a,b]}}$ , bei welchem ${Anzeigestil c(t)}$ eine komplexe Funktion ist: ${Anzeigestil c(t)=x(t) icdot y(t)}$ mit ${Anzeigestil x(t)}$ und ${Anzeigestil y(t)}$ echte Funktionen. Die Funktion ${Anzeigestil c(t)}$ wird die Parametrisierung von ${Anzeigestil C}$ erwähnt. wenn ${Anzeigestil c(t)}$ hat stetige Ableitungen in ${Anzeigestil [a,b]}$ , heiß ${Anzeigestil C}$ ein glatter Bogen oder einfach glatt.
Ein Beispiel für einen glatten Bogen ist die durch die Parametrierung erzeugte Menge produced ${displaystyle c(t)=e^{icdot t}}$ mit ${Anzeigestil [a,b]=[0,2pi]}$ Dies ist der Einheitskreis in der komplexen Ebene, der Kreis mit Radius 1 um Mittelpunkt 0. ${Anzeigestil C}$ Hier ist also ein geschlossener Pfad.
Integrieren
Sie ${displaystyle c:[a,b]o mathbb {C} }$ eine Parametrisierung eines glatten Bogens ${Anzeigestil C}$ und sie ${displaystyle f:D o mathbb {C}}$ eine komplexe Funktion, für die ${displaystyle Csubset D}$ . Das komplexe Integral ist definiert durch:
${displaystyle int _{C}f(z),mathrm {d} z=int _{a}^{b}f(c(t))c'(t),mathrm {d} t}$
Hier kannst du ${Anzeigestil f(c(t))c'(t)=u(t) icdot v(t)}$ geschrieben werden, damit wir gegangen sind
${displaystyle int _{C}f(z),mathrm {d} z=int _{a}^{b}f(c(t))c'(t),mathrm {d} t=int _{a }^{b}u(t),mathrm {d} t iint _{a}^{b}v(t),mathrm {d} t}$
wenn ${Anzeigestil C}$ ein geschlossener Weg ist, schreibt man auch
${displaystyle oint _{C}f(z),mathrm {d} z}$
um anzuzeigen, dass über eine Schleife integriert wird.
In vielen Fällen ist es möglich für ${Anzeigestil C}$ verschiedene Parametrierungen. Solange sich die Endpunkte äquivalenter Parametrierungen nicht unterscheiden, wird immer der gleiche Wert für das Integral zurückgegeben.
Beispiel
Nehmen Sie den durch die Parametrierung definierten geschlossenen Weg ${displaystyle c(t)=e^{icdot t}}$ mit ${Anzeigestil [a,b]=[0,2pi]}$ und ${displaystyle n}$ eine ganze Zahl. Dann ist
${displaystyle oint _{C}z^{n},mathrm {d} z=int _{0}^{2pi}(e^{it})^{n}ie^{it},mathrm {d} t =iint_{0}^{2pi}e^{i(n 1)t},mathrm {d} t}$
wenn ${Anzeigestil n=-1}$ folgt
${displaystyle iint _{0}^{2pi },mathrm {d} t=2pi i}$
anders ist
${displaystyle iint _{0}^{2pi }e^{i(n 1)t},mathrm {d} t=0}$
weil die Exponentialfunktion eine periodische Funktion ist.
Primitive
In der realen Analyse haben viele Funktionen ein Primitiv. Primitive kommen auch in der komplexen Funktionentheorie vor.
Definition
Sie ${displaystyle f:D o mathbb {C}}$ eine stetig komplexe Funktion. Eine holomorphe Funktion
${displaystyle F:D o mathbb {C}}$
wird ein Primitive von ${displaystyle f}$ aufgerufen, falls für eine komplexe Zahl ${Displaystil-Satz D}$ zählt das ${Anzeigestil F'(z)=f(z)}$ .
Fundamentalsatz der Integralrechnung
sehen Fundamentalsatz der Integralrechnung für den Hauptartikel zu diesem Thema.
Mit Primitiven können wir die komplexe Version des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung formulieren: Sie ${Anzeigestil C}$ in eine glatte Kurve ${Anzeigestil D}$ mit Ausgangspunkt ${Anzeigestil a}$ und Endpunkt ${displaystyle b}$ . wenn ${Anzeigestil F}$ ist ein Primitiv von ${displaystyle f}$ auf ${Anzeigestil D}$ , gilt
${displaystyle int _{C}f(z),mathrm {d} z=F(b)-F(a)}$
Primitive, Pfade und Kreisintegrale
Es stellt sich heraus, dass es eine nette Eigenschaft ist, ein Primitiv zu haben. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
1) ${displaystyle f}$ hat ein Primitiv.2) Integrale sind unabhängig vom Pfad, solange Start- und Endpunkt gleich sind (beachten Sie, dass dies stärker ist als die Parametrisierung eines Pfades spielt keine Rolle!) Also wenn ${Displaystil C_{1}}$ und ${Displaystil C_{2}}$ sind zwei Pfade mit gleichen Start- und Endpunkten,
${displaystyle int _{C_{1}}f(z),mathrm {d} z=int _{C_{2}}f(z),mathrm {d} z}$
3) Schaltkreisintegrale sind gleich 0. Wenn also ${Anzeigestil C}$ ist ein geschlossener Weg, es gibt
${displaystyle oint _{C}f(z),mathrm {d} z=0}$
Unechte Integrale
Mit der komplexen Funktionentheorie lässt sich in manchen Fällen ein „bestimmtes Integral“, das in der reellen Analysis nicht oder kaum berechnet werden kann, relativ einfach durch Erweiterung auf die komplexe Ebene berechnen. Ein bekanntes Beispiel ist ${displaystyle int _{-infty }^{infty }e^{-x^{2}}={sqrt {pi}}}$ .
Ein zweites Beispiel ist die Satz von Liouville: Holomorphe Funktionen mit beschränktem Bereich sind konstant. Dies trifft in der realen Analyse eindeutig nicht zu. So ist das Sinus als Funktion einer reellen Zahl unendlich oft differenzierbar und außerdem begrenzt, aber nicht ständig. Die komplexe Version ist zwar unendlich differenzierbar, aber nicht limitiert! Mit dieser letzten Aussage ist die Fundamentalsatz der Algebra nachgewiesen werden.

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Inhalt

Derivat

Holomorphe Funktion

Meromorphe Funktion

Die Cauchy-Riemann-Gleichungen

Bekannte Theoreme aus der reellen Analysis

Kettenregel

Umkehrfunktionen

Wichtige komplexe Funktionen

Die Exponentialfunktion

Der Logarithmus

Kräfte

Trigonometrische und hyperbolische Funktionen

Leistungsserie

Höhere Ableitungen

Potenzreihen und Konvergenzstrahlen

Taylor-Reihe

Integrieren

Wanderwege

Integrieren

Beispiel

Primitive

Definition

Fundamentalsatz der Integralrechnung

Primitive, Pfade und Kreisintegrale

Unechte Integrale