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Formule van Euler

Dieser Artikel behandelt die Eulersche Formel im Komplexe Funktionentheorie. Siehe die Eulersche Formel für Polyeder für die Beziehung zwischen Scheitelpunkten, Kanten und Flächen von regelmäßigen Polyedern.

e^ich

Das Eulersche Formel, benannt nach seinem Entdecker, dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler, stellt eine Beziehung zwischen den trigonometrische Funktionen und der Komplex Exponentialfunktion. Die Formel sagt, dass für jeden reelle Zahl ${Anzeigestil x}$ zählt das:

{displaystyle e^{ix}=cos(x) icdot sin(x).}

Darin ist ${displaystyle e}$ die Basis der natürlicher Logarithmus, ${Anzeigestil i}$ das imaginäre Einheit, Und sein ${Anzeigestil Sünde}$ und ${displaystyle cos}$ bzw. die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus mit dem Argument in Bogenmaß. Die Formel gilt auch für komplexe Werte von ${Anzeigestil x}$ .

Beweise

Es gibt mehrere Methoden, um die Eulersche Formel zu beweisen.

Analytische Methode

Besonders Derivat des Funktion:

{displaystyle f(x)=e^{-ix}(cos(x) icdot sin(x))}

Mit Hilfe von Produktreihe folgt:

{displaystyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}}=-icdot e^{-ix}cdot (cos(x) icdot sin(x)) e^{-ix}cdot (-sin (x) icdot cos(x))=}

{displaystyle =e^{-ix}(sin(x)-icdot cos(x)) e^{-ix}(-sin(x) icdot cos(x))=}

{displaystyle =e^{-ix}cdot 0=0}

Die Ableitung ist also 0. Dies bedeutet, dass die Funktion ${displaystyle f}$ Konstante ist:

{displaystyle f(x)=e^{-ix}cdot (cos(x) icdot sin(x))=C}

So:

{displaystyle cos(x) icdot sin(x)=Ccdot e^{ix}}

Denn für ${Anzeigestil x=0}$ zählt das

{displaystyle cos(0) icdot sin(0)=C,e^{0}=C}

folgt das ${Anzeigestil C=1}$ und ${displaystyle e^{ix}=cos(x) icdot sin(x)}$ .

Taylor-Reihe

Die Gleichheit lässt sich auch beweisen, indem man zeigt, dass taylor serie beider Ausdrücke sind gleich.

{displaystyle e^{ix}=sum _{k=0}^{infty }{frac {(ix)^{k}}{k!}}=sum _{k=0}^{infty }{(- 1)^{k}{frac {x^{2k}}{(2k)!}}} icdot-Summe _{k=0}^{infty}(-1)^{k}{frac {x^{2k 1}}{(2k 1)!}}}

{displaystyle cos(x) icdot sin(x)=sum _{k=0}^{infty }{(-1)^{k}{frac {x^{2k}}{(2k)!}}} icdot Summe _{k=0}^{infty}(-1)^{k}{frac {x^{2k 1}}{(2k 1)!}}}

Kräfte von i

Die vorhergehenden Herleitungen führen zu einem eleganten Beweis. Die folgende Herleitung ist weniger elegant, gibt aber Anlass zu einem besseren Verständnis.

Wenn die folgende Ableitung detailliert wird, kann ein intuitiver Weg von der trigonometrischen Darstellung zur Eulerschen Formel gebaut werden.

erhebend ${Anzeigestil i}$ zu einer natürlichen Kraft ${displaystyle n}$ , dreht sich um ${displaystyle n{frac {pi}{2}}}$ oder ${displaystyle n90}$ Grad von ${Displaystil i^{0}=1 0i}$ .

{displaystyle cos(n{frac {pi}{2}}) isin(n{frac {pi}{2}})=i^{n}}

ich zu einer echten Macht ${displaystyle x{frac {2}{pi }}}$ anheben, entspricht einer Drehung um einen Winkel ${Anzeigestil x}$ von ${Displaystil i^{0}=1 0i}$ .

{displaystyle cos(x) isin(x)=i^{x{frac {2}{pi }}}}

Eine Potenz einer komplexen Zahl ${Anzeigestil a}$ kann immer in der Macht sein ${displaystyle e}$ mit der Eigenschaft umgeschrieben werden ${displaystyle a^{y}=e^{ylog(a)}}$ wo 'log' de komplexer Logarithmus ist.

{displaystyle cos(x) isin(x)=i^{x{frac {2}{pi}}}=e^{x{frac {2}{pi}}log(i)}=e^{ix} }

, weil

{displaystyle log(i)=i{frac {pi}{2}}}

.

Da eine Drehung in der komplexen Ebene als Potenz von . geschrieben werden kann ${Anzeigestil i}$ , kann eine Drehung in der komplexen Ebene als Potenz von geschrieben werden ${displaystyle e}$ .