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In Mathematik sein komplexe Zahlen eine Erweiterung der reale Nummern. Da die reellen Zahlen Punkten auf einer Geraden entsprechen Linie, jede komplexe Zahl entspricht einem Punkt aus a eben. Eine komplexe Zahl ist also ein Paar reeller Zahlen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$, die normalerweise angezeigt wird als ${Anzeigestil a bi}$. Darin ist ${Anzeigestil i}$ (manchmal auch ${Anzeigestil j}$ verwendet) eine besonders komplexe Zahl, de imaginäre Einheit, mit der Eigenschaft ${displaystyle i^{2}=-1}$. Mit komplexen Zahlen in der Form ${Anzeigestil a bi}$ lässt sich einfach berechnen, mit der zusätzlichen Rechenregel, dass überall ${displaystyle i^{2}}$ wird durch -1 ersetzt.

Die Schreibweise ${displaystyle z=a bi}$ zeigt, dass eine komplexe Zahl die Summe einer reellen Zahl und a imaginäre Zahl, oder mit anderen Worten, a lineare Kombination mit reellen Koeffizienten von 1 und ${Anzeigestil i}$.

Die zusätzlichen Möglichkeiten, die das Rechnen mit komplexen Zahlen bietet, haben zu allerlei nützlichen Anwendungen geführt, insbesondere in allen Bereichen, die mit Schwingungen und Wellen zu tun haben, wie z Physik, das Elektrotechnik, das Mess- und Regeltechnik und viele andere technische Disziplinen.

Die Definition komplexer Zahlen zeigt, dass reelle Zahlen auch komplexe Zahlen sind. In einem Kontext, in dem noch nicht festgelegt ist, ob nur reelle oder alle komplexen Zahlen berücksichtigt werden, bedeutet "komplexe Zahl" in der Regel "nicht unbedingt reelle komplexe Zahl". Je nach Kontext bedeutet eine komplexe Zahl manchmal auch eine nicht-reelle komplexe Zahl.

Vorwort

Komplexe Zahlen erfüllen den Bedarf Lösungen alles haben (algebraisch) Gleichungen, also zum Beispiel auch Gleichungen der Form ${Anzeigestil x^{2}=c}$ vor dem negative Zahlen${Anzeigestil c}$.

Ein Ansatz besteht darin, eine imaginäre, imaginäre Lösung einzuführen, die mit bezeichnet wird ${Anzeigestil i}$, aus imaginär, aus der Gleichung ${Anzeigestil x^{2}=-1}$. Es wird daher festgestellt, dass diese Gleichung per Definition eine Lösung hat. Diese Lösung wird sein ${Anzeigestil i}$ erwähnt. Bis zum reale Nummern mit dieser imaginären Zahl erweitern ${Anzeigestil i}$, das für normale Berechnungen verwendet wird, ergibt die Menge ${displaystyle mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen. Diese Erweiterung enthält mit ${Anzeigestil i}$ natürlich auch alle Ausdrücke der Form ${Anzeigestil a bi}$ in welchem ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ sind reelle Zahlen. Damit wird das gewünschte Ergebnis erzielt: Jede algebraische Gleichung ist innerhalb der komplexen Zahlen lösbar.

Der andere Ansatz besteht darin, die Menge zu konstruieren, wodurch das Bild entfernt wird, dass die neuen Zahlen nicht wirklich existieren. Die aus der ersten Näherung entnommene Bezeichnung imaginär wird verwendet, muss aber nicht wörtlich genommen werden. Zwar haben klassische physikalische Größen einen reellen Zahlenwert. Dies ändert nichts an der Tatsache, dass komplexe Zahlen ein nützliches Werkzeug sein können, siehe unten.

Geschichte

Die Formel der italienischen Mathematiker Scipione del Ferro und Niccol Tartaglia Für die Lösungen der kubischen Gleichung standen die Mathematiker des 16. Jahrhunderts vor einem enormen neuen Problem. Wenn eine solche Gleichung drei verschiedene (reelle) Lösungen hat, enthält die Formel Möhren für aus negative Zahlen. Und zu dieser Zeit waren Wurzeln negativer Zahlen noch nicht definiert. Kein Wunder, dass der Name „imaginäre Zahlen“ schnell gefunden wurde und die gewöhnlichen Zahlen fortan „real“ genannt wurden. Am Ende von 18. Jahrhundert erklärten die großen Mathematiker Leonhard Euler und Carl Friedrich Gauß die Grundlage der Zahlentheorie und der en Funktionstheorie Das würde dieses Problem und viele andere lösen.

Die Eigenschaften komplexer Zahlen bedeuten, dass a Polynom des Grades ${displaystyle n}$ in den komplexen Zahlen genau ${displaystyle n}$ hat Nullen, statt höchstens ${displaystyle n}$ Nullen wie bei den reellen Zahlen. Dies ist das Fundamentalsatz der Algebra. Es gilt auch, dass die Gleichung ${Anzeigestil x^{n}=a}$ für negative Zahlen ${Anzeigestil a}$ hat eine lösung für alle ${displaystyle n}$ ungleich 0 statt nur für ungerade Werte von ${displaystyle n}$.

Definition durch Einführung einer neuen Zahl i

Eine komplexe Zahl ist ein Ausdruck der Form ${Anzeigestil a bi}$, in welchem ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ beide reellen Zahlen sind und ${Anzeigestil i}$ stellt eine neue Zahl dar, die imaginäre Einheit, mit der Eigenschaft (Berechnungsregel):

${displaystyle i^{2}=-1}$

Rafael Bombelli, der Erfinder der imaginären Zahlen, hat die Rechenregeln für komplexe Zahlen aufgestellt. Er erklärte hiermit als Axiom die besagte Eigenschaft der komplexen Zahl ${Anzeigestil i}$.

Die Nummer ${Anzeigestil a}$ Sie nennen es echter teil und die Zahl ${displaystyle b}$ es imaginärer Teil der komplexen Zahl ${Anzeigestil a bi}$und Anmerkungen

${displaystyle a = Re (a bi) = {m {Re}} (a bi)}$

${displaystyle b=Im (ein bi)={m {Im}}(ein bi)}$

Die Menge der komplexen Zahlen wird bezeichnet als ${displaystyle mathbb {C} }$.

Die reellen Zahlen gehören zu den komplexen Zahlen; sie sind die komplexen Zahlen mit einem Imaginärteil gleich 0. Zahlen, deren Realteil 0 ist, heißen rein imaginär.

Definition als reelle Paarzahlen oder als zweidimensionaler Vektor

Eine komplexe Zahl ist eine Zahl, die aus zwei reellen Zahlen besteht. Dies führt zu einer alternativen Definition, bei der das Paar reeller Zahlen selbst als komplexe Zahl betrachtet wird und die imaginäre Einheit von vornherein vermieden wird ${Anzeigestil i}$ betreten.

Dieses Paar reeller Zahlen kann dann als a Vektor in einem zweidimensionalen Raum, die komplexe Ebene, die für Berechnungen wie mit gewöhnlichen Vektoren verwendet werden kann, jedoch mit einer zusätzlichen Definition für die Multiplikation, siehe unten, mit dem Charakter einer Kombination aus einer Skalierung und einer Drehung. Als Ergebnis dieser Definition ergibt das Quadrat einer rein imaginären Zahl eine reelle Zahl.

Die alternative Definition lautet:

Eine komplexe Zahl ist a geordnetes Paar${Anzeigestil (a,b)}$ von reellen Zahlen, mit dem üblichen Zusatz:

${Anzeigestil (a, b) (c, d) = (a c, b d)}$

und die Multiplikation:

${Anzeigestil (a,b)cdot (c,d)=(ac-bd,ad bc)}$

Die Nummer ${Anzeigestil a}$ heißt hier auch der Realteil und die Zahl ${displaystyle b}$ der Imaginärteil der komplexen Zahl.

Das Ehepaar ${Anzeigestil(0.1)}$ wird ${Anzeigestil i}$ erwähnt. Das Ehepaar ${displaystyle(a,0)}$ wird mit der reellen Zahl identifiziert ${Anzeigestil a}$. Das Ehepaar ${Anzeigestil (a,b)}$ kann also geschrieben werden als ${Anzeigestil a bi}$. Diese lässt sich mit den üblichen Rechenregeln berechnen, ergänzt um die Regel ${displaystyle i^{2}=-1}$. Es ist dann nicht erforderlich, die oben genannte Definition der Multiplikation auswendig zu lernen und explizit anzuwenden. Vor dem ${Anzeigestil a=0}$ ist die Zahl der Form ${displaystyle bi}$; das heißt a reine imaginäre Zahl. Diese Zahlen bilden die vertikale Achse der komplexen Ebene.

Präsentation

Die alternative Definition basiert auf der Darstellung der komplexen Zahlen in der Ebene. Die abstrakte Definition wirft die Frage auf, ob es auch eine konkrete Darstellung komplexer Zahlen gibt. Da die komplexen Zahlen einen aus 1 und erzeugten Vektorraum bilden ${Anzeigestil i}$ und eine komplexe Zahl ${Anzeigestil a bi}$ ist eindeutig verbunden mit dem geordnetes Paar reale Nummern ${Anzeigestil (a,b)}$ wenn die Koordinaten bezüglich der durch 1 und formed gebildeten Basis ${Anzeigestil i}$, es ist offensichtlich zu ${displaystyle mathbb {R} imes mathbb {R} }$ als Kandidat in Betracht gezogen werden und ${Anzeigestil (a,b)}$ zu verstehen als die komplexe Zahl ${Anzeigestil a bi}$. Zählen geht also so:

${Anzeigestil (a, b) (c, d) = (a c, b d)}$

Nun bleibt die Frage, ob sich für Paare reeller Zahlen eine geeignete Multiplikation definieren lässt, die der Multiplikation für komplexe Zahlen entspricht. Weil:

${displaystyle (a bi)(c di)=ac-bd (ad bc)i}$ (siehe unten),

Wir müssen die Multiplikation definieren als:

${Anzeigestil (a,b)cdot (c,d)=(ac-bd,ad bc)}$

Dann gilt:

${Anzeigestil (1.0) cdot (1.0) = (1.0)}$

und

${displaystyle(0.1)cdot(0.1)=(-1.0)=-(1.0)}$

Mit der Identifikation von (1,0) = 1 und ${displaystyle(0.1)=i}$ die Regeln für komplexe Zahlen sind erfüllt.

Die Sammlung ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ ist nach Erweiterung um die oben definierte Multiplikation isomorph mit der Sammlung ${displaystyle mathbb {C} }$.Diese Konstruktion liefert a Geometer Darstellung der komplexen Zahlen auf, die komplexe Ebene erwähnt. Diese Darstellungsweise wurde 1806 von dem Schweizer Amateurmathematiker erfunden Jean-Robert Argand und wird als Arganddiagramm bezeichnet. Der erste Mathematiker, der die komplexen Zahlen geometrisch darstellte, war Caspar Wessel 1797, aber seine Arbeit wurde nicht von anderen aufgenommen, auch weil er dänisch schrieb.

Neben den Ähnlichkeiten ist ein wichtiger Unterschied zwischen ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ und ${displaystyle mathbb {C} }$ dass die in ${displaystyle mathbb {C} }$ verwendete Multiplikation von Zahlenpaaren in ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ ist nicht definiert.

Mit der ersten gegebenen Definition sind die reellen Zahlen selbst eine Teilmenge des Komplexen. Sie sind die komplexen Zahlen mit dem Imaginärteil 0.

Mit der alternativen Definition sind die reellen Zahlen formal keine Teilmenge des Komplexen, aber man kann sie sich eingebettet vorstellen, indem man die reellen Zahlen als die komplexen Zahlen der Form identifiziert ${displaystyle(a,0)}$.

Die Sammlung ${displaystyle mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen mit der oben definierten Addition und Multiplikation ist a Körper.

Beispiele

Die folgenden Ausdrücke repräsentieren zwei komplexe Zahlen nach der ersten Definition: ${Displaystil 3 4i}$ und ${displaystyle 2-i}$. Wir können diese beiden komplexen Zahlen addieren:

${Anzeigestil (3 4i) (2-i)=3 2 (4-1)i=5 3i}$

und auch multiplizieren

${displaystyle (3 4i) cdot (2-i) = 3 mal 2-3 mal ich 8 mal i-4i^{2}=6 5i-4(-1)=10 5i}$,

wobei wir die Rechenregel verwendet haben, um zu erhalten ${displaystyle i^{2}}$ durch -1 ersetzt werden.

Die folgenden Ausdrücke repräsentieren zwei komplexe Zahlen gemäß der alternativen Definition: ${Anzeigestil (3,4)}$ und ${displaystyle(2,-1)}$. Wir können diese beiden komplexen Zahlen addieren:

${Anzeigestil (3,4) (2,-1)=(3 2,4-1)=(5.3)}$

und auch multiplizieren

${displaystyle (3,4)cdot (2,-1)=(3 mal 2-4 mal (-1), 3 mal (-1) 4 mal 2)=(10,5)}$

mit den Rechenregeln.

Notationen für komplexe Zahlen

Aufgrund der Definition komplexer Zahlen als Elemente eines zweidimensionalen Raums gibt es zwei Notationen für komplexe Zahlen, die offensichtlich sind. Beide Notationen werden oft nebeneinander verwendet.

Kartesische oder algebraische Notation

Eine komplexe Zahl ${Anzeigestil z}$ kann geschrieben werden als ${Anzeigestil z=(a,b)=a(1,0) b(0,1)=a bi}$. Dies entspricht der Betrachtung einer komplexen Zahl als Vektor im zweidimensionalen Raum:

Die vertikale Achse gibt jedoch meist die rein imaginären Zahlen selbst an, also mit dem ${Anzeigestil i}$.

Dies wird kartesische Notation genannt, nach dem Mathematiker und Philosophen René Descartes, dass es Kartesisches Koordinatensystem eingeführt, wobei ein Punkt in a eben wird durch ein Zahlenpaar dargestellt. Darin ist ${Anzeigestil a}$ es echter teil und ${displaystyle b}$ es imaginärer Teil von ${Anzeigestil z}$, notiert als:

${displaystyle a={mathfrak {Re}}(z)=Re(z)={ext{Re}}(z)}$

und

${displaystyle b={mathfrak {Im}}(z)=Im (z)={ext{Im}}(z)}$

In dem Elektrotechnik wird normalerweise zum Symbol ${Anzeigestil j}$ für den imaginären Basisvektor verwendet, um Verwechslungen mit dem Symbol für zu vermeiden fließen${Anzeigestil i}$ vermeiden.

Polarnotation

Da wir die komplexen Zahlen als Elemente eines zweidimensionalen Raums definieren, können wir eine komplexe Zahl definieren ${Anzeigestil z=(a,b)}$ auch anzeigen Polar Koordinaten, bei der entfernung ${displaystyle r}$ von ${Anzeigestil (a,b)}$ zum Ursprung ${displaystyle(0,0)}$ und die ecke ${Anzeigestil-Heta}$ zwischen dem Vektor ${Anzeigestil (a,b)}$ und der positive Teil der reellen Achse.

Der obige Abstand ${displaystyle r}$ wird zum Vorschubradius, Modul oder Absolutwert der komplexen Zahl ${Anzeigestil z}$ erwähnt (siehe auch unten) und der Winkel ${Anzeigestil-Heta}$ die Stangenecke oder die Streit von ${Anzeigestil z}$.

Zwischen polarer und kartesischer Notation besteht die Beziehung:

${displaystyle a bi=r(cos(​heta) isin(heta))=r,e^{i heta}}$

oder genauer gesagt:

${displaystyle a=rcos(heta)}$

${displaystyle b=rsin(heta)}$

In der anderen Richtung (von Kartesisch zu Polar) gilt:

${displaystyle r={sqrt {a^{2} b^{2}}}}$

${displaystyle heta = arctan links({frac {b}{a}}ight)}$

Abhängig vom Ergebnis von ${Anzeigestil-Heta}$ Es muss jedoch überprüft werden, ob das Ergebnis im richtigen Quadranten liegt. Um genau zu sein gilt für ${Anzeigestil-Heta}$ folgende:

${displaystyle heta ={ egin{cases}arctan({frac {b}{a}})&{mbox{if }}a>0/arctan({frac {b}{a}}) pi &{mbox{if }}a<0{mbox{ und }}bgeq 0/arctan({frac {b}{a}})-pi &{mbox{if }}a<0{mbox{ und }}b<0/ {frac {pi }{2}}&{mbox{if }}a=0{mbox{ and }}b>0/-{frac {pi }{2}}&{mbox{if }}a=0{mbox{ und }}b<0/{ ext{undefined}}&{mbox{if }}a=0{mbox{ and }}b=0end{cases}}}$

Beziehung zwischen kartesischen und polaren Koordinaten zur Darstellung einer komplexen Zahl.

Beachten Sie, dass Argumente, die sich um ein Vielfaches von 2π unterscheiden, dieselbe komplexe Zahl darstellen. Argumente komplexer Zahlen sind daher nicht eindeutig definiert, sondern nur ein Vielfaches von 2π. Daher wird der Hauptwert als Wert des Arguments bezeichnet, der zwischen liegt ${displaystyle -pi }$ und ${Anzeigestil pi}$ Lügen.

${displaystyle -pi$

Matrix-Show

Eine andere Möglichkeit, mit den komplexen Zahlen zu rechnen, ist mit Matrizen. Die komplexe Zahl ${Anzeigestil a bi}$ wird durch die 2×2-Matrix dargestellt:

${displaystyle { start{bmatrix}a&-b/b&a/end{bmatrix}}}$

Die Zahl 1 wird also durch die Einheitenmatrix dargestellt:

${displaystyle 1={ egin{bmatrix}1&0/0&1/end{bmatrix}}}$

und die imaginäre Einheit ${Anzeigestil i}$ durch:

${displaystyle i={ egin{bmatrix}0&-1/1&0/end{bmatrix}}}$

Die Multiplikation ist die Matrixmultiplikation. Tatsächlich ist es:

${displaystyle (a bi)(c di)={ egin{bmatrix}a&-b/b&a/end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}c&-d/d&c/end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}ac -bd&-ad-bc/ad bc&ac-bd/end{bmatrix}}=(ac-bd) (ad bc)i}$

Die komplexe Konjugation ${displaystyle z^{*}=a-bi}$ von ${displaystyle z=a bi}$ ist genau die transponierte in der Matrixdarstellung.

In der Matrixdarstellung gilt:

${displaystyle det(z)=a^{2} b^{2}}$,

so dass

${displaystyle |z|={sqrt {det(z)}}}$

Betrachten wir die Matrix als lineare Transformation des ${Anzeigestil xy}$-flach, dann setzt ${Anzeigestil i}$ das Bild, für das der Punkt (1.0) auf (0.1) und der Punkt (0.1) auf (–1.0) abgebildet wird. Genau das, was wir erwarten, wenn wir mit multiplizieren ${Anzeigestil i}$.

Diese Darstellungsweise ist analog zur Darstellung der Quaternionen als 2×2-Matrizen komplexer Zahlen.

Zugehörige Werte

komplex konjugiert

sehen komplex konjugiert für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Die komplex Konjugierte oder die komplex Konjugierte der komplexen Zahl ${displaystyle z=a bi}$, mit ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ real, ist definiert als:

${displaystyle {overline {z}}=z^{*}=a-bi}$

Aus der Definition folgt sofort, dass

${displaystyle {overline {overline {z}}}=z}$

Modul

Der Modul von Absolutwert einer komplexen Zahl ${Anzeigestil z}$ wird wie bei reellen Zahlen angegeben, also wenn ${Anzeigestil |z|}$, und entspricht dem euklidische Norm im ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$. Seine Berechnung erfolgt wie folgt:

${displaystyle |z|={sqrt {mathrm {Re} (z)^{2}mathrm {Im} (z)^{2}}}}$

Mit anderen Worten, der Modul oder Absolutwert einer komplexen Zahl ist die Länge ihres Vorschubradius. Für die komplexe Zahl ${displaystyle z=a bi}$, der absolute Wert ist also:

${displaystyle |z|={sqrt {a^{2} b^{2}}}}$

Aus der Definition der komplex Konjugierten und des Modulus folgt:

${displaystyle |z|^{2}=z{overline {z}}}$

Beispiele

• ${displaystyle |a bi|={sqrt {a^{2} b^{2}}}}$
• ${displaystyle |3-4i|={sqrt {3^{2} 4^{2}}}=5}$
• ${displaystyle |x 0i|={sqrt {x^{2} 0^{2}}}=|x|}$

Modul der komplex Konjugierten

Für das komplex Konjugierte ${displaystyle {overline {z}}=a-bi}$ von ${displaystyle z=a bi}$, gilt:

${displaystyle |{overline {z}}|=|a-bi|={sqrt {a^{2} b^{2}}}=|z|}$

Auftrag

Die komplexen Zahlen können nicht wie die reellen Zahlen verglichen werden, indem angegeben wird, welche Zahl größer als die andere ist, welche Auftrag ist nicht da. ${displaystyle a bi>c di}$ hat daher keine Bedeutung.

Rechnen mit komplexen Zahlen

Addition und Subtraktion

Komplexe Zahlen lassen sich am einfachsten in kartesischer Form addieren und subtrahieren: Realteil und Imaginärteil werden getrennt addiert. Dies entspricht der Addition von Vektoren.

Zwei komplexe Zahlen ${displaystyle z_{1}=a bi}$ und ${displaystyle z_{2}=c di}$ werden wie folgt addiert:

${displaystyle z_{1} z_{2}=(a bi) (c di)=(a c) (b d)i}$

mit anderen Worten

${displaystyle mathrm {Re} (z_{1} z_{2})=mathrm {Re} (z_{1}) mathrm {Re} (z_{2})}$

${displaystyle mathrm {Im} (z_{1} z_{2})=mathrm {Im} (z_{1}) mathrm {Im} (z_{2})}$

Zum Beispiel die Summe von ${displaystyle z_{1}=3 2i}$ und ${displaystyle z_{2}=6 8i}$:

${Anzeigestil z_{1} z_{2}=(3 2i) (6 8i)=(3 6) (2 8)i=9 10i}$

Natürlich ist die Subtraktion dasselbe wie das Addieren von Gegenteil.

Beachten Sie auch, dass (nehmen) das komplexe Konjugat über die Addition distributiv ist:

${displaystyle {overline {z_{1} z_{2}}}={overline {z_{1}}} {overline {z_{2}}}}$

weil:

${displaystyle {overline {(a bi) (c di)}}={overline {(a c) (b d)i}}=}$

${displaystyle =(a c)-(b d)i=(a-bi) (c-di)={überstreichen {a bi}} {überstreichen {c di}}}$

Multiplizieren und dividieren

Die Multiplikation und Division komplexer Zahlen ist in Polarform am einfachsten. Die Moduli werden miteinander multipliziert und die Argumente werden addiert. Für Zahlen in kartesischer Form gilt für das Produkt:

${displaystyle (a bi)(c di)=ac (ad bc)i bdi^{2}=ac-bd (ad bc)i}$

mit anderen Worten

${displaystyle mathrm {Re} (z_{1}z_{2})=mathrm {Re} (z_{1})mathrm {Re} (z_{2})-mathrm {Im} (z_{1})mathrm { im} (z_{2})}$

${displaystyle mathrm {Im} (z_{1}z_{2})=mathrm {Re} (z_{1})mathrm {Im} (z_{2}) mathrm {Im} (z_{1})mathrm {Re } (z_{2})}$

Dies ist eigentlich dasselbe wie das Multiplizieren der reellen Zahlen, vorbehaltlich der Definition ${displaystyle i^{2}=-1}$.

Gilt darüber hinaus für ${displaystyle z=a bi}$ mit ${displaystyle {m {arg}}(z)=alpha}$ und ${displaystyle w=c Di}$ mit ${displaystyle {m {arg}}(w)= eta}$:

${displaystyle |zw|={sqrt {(ac-bd)^{2} (ad cb)^{2}}}={sqrt {a^{2}c^{2}-2abcd b^{2}d ^{2} a^{2}d^{2} 2abcd c^{2}b^{2}}}=}$

${displaystyle ={sqrt {a^{2}(c^{2} d^{2}) b^{2}(c^{2} d^{2})}}={sqrt {a^{2 } b^{2}}}{Quadrat {c^{2} d^{2}}}=|z||w|}$

und

${displaystyle zw=|z|(cos(alpha) isin(alpha))cdot |w|(cos(eta) isin(eta))=}$

${displaystyle =|z||w|left(underbrace {(cos(alpha)cos(eta)-sin(alpha)sin(eta))} iunderbrace {(cos(alpha)sin(eta) sin(alpha)cos( eta ))} ight)=}$

${displaystyle =|z||w|(cos(alpha eta) isin(alpha eta))}$,

So

${displaystyle arg(zw)=arg(z) arg(w)}$

Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen werden die Moduli miteinander multipliziert und die Argumente addiert.

Insbesondere folgt daraus, dass die Multiplikation mit ${Anzeigestil i}$ ist das gleiche wie umdrehen ${Anzeigestil pi /2}$ Bogenmaß, also eine Erhöhung des Arguments um ${Anzeigestil pi /2}$. Dies zeigt wiederum die Übereinstimmung mit der Definition: ${displaystyle i^{2}=-1}$.

Beachten Sie, dass das Nehmen der komplex Konjugierten in Bezug auf die Multiplikation distributiv ist:

${displaystyle {overline {z_{1}z_{2}}}={overline {z_{1}}} {overline {z_{2}}}}$

weil:

${displaystyle {overline {(a bi)(c di)}}={overline {(ac-bd) (ad bc)i}}=(ac-bd)-(ad bc)i=(a-bi)( c-di)=({überstreichen {a bi}}) ({überstreichen {c di}})}$

Beachten Sie weiterhin, dass das Obige verallgemeinert werden kann:

• ${displaystyle |z_{1}z_{2}cdots z_{n}|=|z_{1}||z_{2}|cdots |z_{n}|}$
• ${displaystyle arg(z_{1}z_{2}cdots z_{n})=arg(z_{1}) arg(z_{2}) ldots arg(z_{n})}$

Bestimmtes:

• ${Anzeigestil |z^{n}|=|z|^{n}}$ vor dem ${displaystyle nin mathbb {R} }$
• ${displaystyle arg(z^{n})=narg(z)}$ vor dem ${displaystyle nin mathbb {R} }$

Zur Potenzierung mit ${displaystyle nin mathbb {C} }$ müssen zuerst einige weitere Tools entwickeln.

Für den Quotienten gilt:

${displaystyle {frac {a bi}{c di}}={frac {a bi}{c di}} {frac {overline {c di}}{overline {c di}}}={frac {a bi}{ c di}} {frac {c-di}{c-di}}={frac {ac bd (bc-ad)i}{c^{2} d^{2}}}}$

Dafür wird die Definition verwendet ${displaystyle i^{2}=-1}$.

Die Sammlung ${displaystyle mathbb {C} }$ bildet a mit der oben beschriebenen Addition und Multiplikation Körper (in Belgien: Feld). Der zuvor zitierte Fundamentalsatz der Algebra bedeutet, dass ${displaystyle mathbb {C} }$ ein Geschlossen Körper.

Logarithmus und E-Power

Das e-power ist eine bekannte Standardfunktion, die auf die komplexen Zahlen erweitert werden kann. Für eine komplexe Zahl ${Anzeigestil z=x yi}$ ist die E-Power von ${Anzeigestil z}$ definiert als

${displaystyle e^{z}=e^{x yi}=e^{x}(cos(y) isin(y))}$

Aus dieser Definition folgt sofort

• ${displaystyle |e^{z}|=e^{mathrm {Re} (z)}}$
• ${displaystyle arg(e^{z})=mathrm {Im} (z)}$

Beachten Sie, dass die komplexe Potenz von e so definiert ist, dass für reelle Werte von ${Anzeigestil z}$ (d.h. mit Imaginärteil 0) entspricht der Definition der e-Potenz für reelle Zahlen.

Nach dieser Definition behält die komplexe E-Power eine Vielzahl von „bekannten“ Eigenschaften. Beispielsweise:

• ${displaystyle |e^{z_{1}}||e^{z_{2}}|=e^{mathrm {Re} (z_{1})}e^{mathrm {Re} (z_{2}) }=e^{mathrm {Re} (z_{1}) mathrm {Re} (z_{2})}=e^{mathrm {Re} (z_{1} z_{2})}}$

• ${displaystyle arg(e^{z_{1}}) arg(e^{z_{2}})=mathrm {Im} (z_{1}) mathrm {Im} (z_{2})=mathrm {Im} (z_{1} z_{2})}$

Mit anderen Worten

${displaystyle e^{z_{1}}e^{z_{2}}=e^{z_{1} z_{2}}}$

Aus dieser Definition folgt weiter, dass für alle reellen ${Anzeigestil x}$:

• ${displaystyle e^{ix}=cos(x) isin(x)}$
• ${displaystyle |e^{ix}|=e^{0}=1}$

und das

• ${displaystyle e^{2pi i}=1}$
• ${displaystyle e^{pi i}=-1}$
• ${displaystyle e^{{frac {pi}{2}}i}=i}$
• ${displaystyle e^{z}}$ periodisch ist mit Periode ${displaystyle 2pi i}$ (d.h. bei konstantem ${displaystyle mathrm {Re} (z)}$ und variierend ${displaystyle mathrm {Im} (z)}$)

Aus der ersten der fünf obigen Eigenschaften ${displaystyle |e^{z}|=e^{mathrm {Re} (z)}}$, und aus der polaren Notation folgt immer noch, dass jede komplexe Zahl ${Anzeigestil w}$ kann dargestellt werden als:

${displaystyle w=|w|e^{iarg(w)}}$

Mit dieser vorliegenden Bestimmung lässt sich auch der natürliche Logarithmus komplexer Zahlen definieren. Eine Eigenschaft des natürlichen Logarithmus ist, dass

${Anzeigestil ln(ab)=ln(a) ln(b)}$

Für eine komplexe Zahl ${displaystyle zeq 0}$ wird auf der Grundlage der oben genannten definiert

${displaystyle ln(z)=ln(|z|e^{iarg(z)})=ln(|z|) iarg(z)}$,

mit für ${Anzeigestil ln(|z|)}$ die "normale" Definition des natürlichen Logarithmus für reelle Zahlen. Da der Logarithmus somit nur auf Vielfachen von ${Displaystil 2pi }$ na, ist der termin für ${displaystyle {m {arg}}(z)}$ nehmen Sie immer den Hauptwert. Somit gilt, dass ${displaystyle -pi <{mathfrak {Im}}(ln(z))leq pi}$.

Potenzierung

Mit der Definition der Potenz von e und des Logarithmus kann auch die Exponentiation für komplexe Zahlen definiert werden. Und das ist für die komplexen Zahlen ${displaystyle zeq 0}$ und ${Anzeigestil w}$:

${displaystyle z^{w}=e^{wln(z)}}$

Sinus und Cosinus

Mit der Eulerschen Formel lässt sich ein Zusammenhang zwischen der komplexen e-power und der Sinus und Cosinus.

${displaystyle e^{iz}=cos(z) isin(z)}$

und für ${displaystyle -z}$:

${displaystyle e^{-iz}=cos(-z) isin(-z)=cos(z)-isin(z)}$

Aus Summe und Differenz der beiden Relationen folgt also:

${displaystyle cos(z)={frac {e^{iz} e^{-iz}}{2}}}$

und

${displaystyle sin(z)={frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}$

Diese beiden Ergebnisse haben drei Vorteile:

• aufgrund der Ableitung wie oben sind sie sicher intern konsistent mit den anderen Regeln für komplexe Zahlen complexe
• diese Formeln für Sinus und Kosinus entsprechen den Definitionen für reellwertige Argumente
• aufgrund dieser Identitäten bleiben die bekannten Rechenregeln für Sinus und Cosinus gültig

Beachten Sie, dass der komplexe Sinus und Cosinus wie bei den reellen Funktionen periodische Funktionen mit Periode with ${Displaystil 2pi }$.

Theorem von De Moivre

sehen Theorem von De Moivre für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Die zuvor ausgearbeiteten Beschreibungen trigonometrischer Formeln in Potenzen von e werden oft verwendet, um trigonometrische Funktionen auf handlichere Polynome basierend auf e-Potenzen und von dort möglicherweise auf einfachere trigonometrische Aussagen zu reduzieren.

Ein bekanntes Beispiel dafür ist ein bekannter Satz aus der Trigonometrie, der Satz von De Moivre. Angesichts des Vorstehenden ist diese Aussage trivial. Nach dieser Aussage:

${Anzeigestil (cos(x) isin(x))^{n}=cos(nx) isin(nx)}$

Beweise

${Anzeigestil (cos(x) isin(x))^{n}=(e^{ix})^{n}=e^{inx}=cos(nx) isin(nx)}$

Hyperbolischer Sinus und hyperbolischer Cosinus

Mit der komplexen E-Power sind die Definitionen der hyperbolischer Sinus und der Kosinus hyperbolicus auf komplexe Zahlen erweitert. Vor dem ${displaystyle-Satz mathbb {C} }$ gilt:

${displaystyle cosh(z)={frac {e^{z} e^{-z}}{2}}}$

${displaystyle sinh(z)={frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}}$

Komplexe Wurzelfunktionen

Es wurde bereits festgestellt, dass für komplexe Zahlen ${Anzeigestil z}$ und ${Anzeigestil w}$ gilt:

${Anzeigestil |zw|=|z||w|}$

und

${displaystyle arg(zw)=arg(z) arg(w)}$

Daraus lässt sich sofort ableiten, was die ${displaystyle n}$-die Potenzwurzeln einer komplexen Zahl ${Anzeigestil z}$ sein. Per Definition sind das alles Lösungen ${Anzeigestil w}$ der Gleichung ${displaystyle w^{n}=z}$.

Die komplexe Zahl ${Anzeigestil w}$ das offensichtlichste ist ${Anzeigestil w}$ auf was trifft das zu

${displaystyle |w|={sqrt[{n}]{|z|}}}$

und

${displaystyle arg(w)={ egin{matrix}{frac {1}{n}}end{matrix}}arg(z)}$

Die Periodizität der Trigonometrie zeigt, dass zusätzlich die komplexen Zahlen ${Anzeigestil w}$ eine Lösung sein, für die:

${displaystyle arg(w)={ egin{matrix}{frac {1}{n}}end{matrix}}(arg(z) k2pi ), kin {1,ldots ,n-1}}$

So:

${displaystyle arg(w)={ egin{matrix}{frac {1}{n}}end{matrix}}arg(z) 2pi { egin{matrix}{frac {k}{n}}end{matrix}} , verwandt {1,ldots,n-1}}$

Das ${displaystyle n}$Die Potenzwurzeln einer komplexen Zahl liegen also genau in der komplexen Ebene ${displaystyle n}$ Punkte, gleichmäßig über einen Kreis um den Ursprung verteilt, mit Radius ${displaystyle {sqrt[{n}]{|z|}}}$.

Beispiel

Im reellen Bereich ist die Kubikwurzel von −1 gleich −1. Aber mit obiger Rechenregel finden wir auch das ${displaystyle { frac {1}{2}} { frac {1}{2}}i{sqrt {3}}}$ und ${displaystyle { frac {1}{2}}-{ frac {1}{2}}i{sqrt {3}}}$ Kubikwurzeln von -1.

Und zwar außer:

${Anzeigestil (-1)^{3}=-1}$,

ebenfalls

${displaystyle left({ frac {1}{2}} { frac {1}{2}}i{sqrt {3}}ight)^{3}=-1}$

und

${displaystyle left({ frac {1}{2}}-{ frac {1}{2}}i{sqrt {3}}ight)^{3}=-1}$

Hauptwert

Wenn man nach einer eindeutigen Lösung für die Quadratwurzelfunktion sucht, kann man den Wert wählen, der auf dem Hauptwert von basiert ${displaystyle {m {arg}}(z)}$ und nehmen Sie den Hauptwert wieder. Insbesondere hat dann die 'eindeutige' Wurzel von −1 den Wert ${Anzeigestil i}$.

Beachten Sie, dass die bekannten Berechnungsregeln nicht für komplexe Wurzeln gelten. Dies gilt nicht Allgemeines ${displaystyle {sqrt {ab}}={sqrt {a}}{sqrt {b}}}$

Wurzeln der Einheit

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Eine besondere Rolle kommt den sogenannten Wurzeln der Einheit. Das sind die Lösungen der Gleichung

${displaystyle z^{n}=1}$,

in welchem ${displaystyle n}$ ist eine natürliche Zahl, die Lösungen sind die Punkte auf der Einheitskreis (Kreis mit Radius 1 um den Ursprung) in polarer Schreibweise gegeben durch:

${displaystyle z_{k}=e^{2pi i/n}}$

Anwendungen

Schwingungs- und Wellenphänomene

Die oben genannten Eigenschaften und Funktionen komplexer Zahlen sind besonders nützlich für das Studium aller Periodisch Phänomene, einschließlich Wellenphänomene. Anstatt sowohl mit Amplitude als auch mit Phase separat rechnen zu müssen, genügen eine komplexe Zahl und die dazugehörigen Berechnungstechniken. Ein einfaches Beispiel kann dies plausibel machen:

Paar ${Anzeigestil I(t)}$ beschreibt einen Wechselstrom mit Eckfrequenz${Anzeigestil Omega}$ und Amplitude${Displaystil I_{0}}$. Dies kann geschrieben werden als

${Anzeigestil I(t)=I_{0}cdot cos(omega t)}$

Dieser Kosinus ist eine Lösung von a lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

${displaystyle I(t)=I_{0}cdot sin(omega t)}$

is ook een oplossing van diezelfde differentiaalvergelijking.

Sinus en cosinus zijn de twee onafhankelijke oplossingen van die differentiaalvergelijking, hetgeen wil zeggen dat de een niet als een veelvoud van de ander is te schrijven. Volgens de theorie van de differentaalvergelijkingen is ook een lineaire combinatie

${displaystyle I(t)=Acdot cos(omega t) iBcdot sin(omega t)}$

een oplossing, waarbij ${displaystyle A}$ en ${displaystyle B}$ reële constanten zijn. In feite is dit een toepassing van het superpositieprincipe. Dit kan weer herschreven worden als

${displaystyle I(t)=I_{0}cdot e^{iomega t phi }}$, waarbij ${displaystyle I_{0}={sqrt {A^{2} B^{2}}}}$ en ${displaystyle phi =arctan 2(B,A)}$ (zie arctan2).

In plaats van ${displaystyle A}$ en ${displaystyle B}$ zijn nu de amplitude ${displaystyle I_{0}}$ en faseverschuiving ${displaystyle varphi }$ de integratieconstanten waarmee de DV aan de randvoorwaarden kan voldoen.Door uitbreiding van ${displaystyle I_{t}}$ met een imaginair deel is een complexe exponentiële functie ${displaystyle I_{0}cdot e^{iomega t}}$ ontstaan, die de prettige eigenschap heeft dat de afgeleide ervan verkregen wordt door vermenigvuldiging met ${displaystyle iomega t}$ en de integraal door deling door ${displaystyle iomega t}$. De relevante fysische grootheid is ${displaystyle Re (I_{t})}$.

Hierdoor worden lineaire differentiaalvergelijkingen vereenvoudigd tot algebraïsche uitdrukkingen. Complexe getallen worden ook bij andere soorten differentiaalvergelijkingen gebruikt.

Elektrotechniek en elektronica

Wisselstroom is een periodiek verschijnsel, zodat complexe getallen ook hier het rekenwerk sterk vereenvoudigen, zie ook complexe wisselstroomrekening. Toepassingen liggen bijvoorbeeld in de signaalanalyse, meet- en regeltechniek, analoge en digitale geluids- en beeldbewerking, telecommunicatie, enzovoort. De faseverschuiving, in elektrotechnische spreektaal vaak wat slordig cosinus ${displaystyle phi }$ genoemd, valt met deze complexe rekenwijze eenvoudig te berekenen. Het begrip impedantie kan als complexe grootheid worden beschreven, als complexe impedantie, waardoor de wet van Ohm anders kan worden geschreven:

complexe spanning = complexe impedantie maal complexe stroom.

Hierbij wordt de modulus van de impedantie vermenigvuldigd met de amplitude ${displaystyle I_{0}}$ van de stroom en het argument van de impedantie opgeteld bij de fase ${displaystyle phi }$ van de stroom.

Fourieranalyse wordt veelvuldig gebruikt voor de analyse van tijdafhankelijke signalen, in het bijzonder voor stationaire periodieke signalen. Voor in- en uitschakelverschijnselen, die niet zuiver periodiek zijn, is de laplacetransformatie, een uitbreiding van de fouriertransformatie, onontbeerlijk. Zowel de fourieranalyse als de laplacetransformatie maken deel uit van de functietheorie, voor quasi-stationaire signalen, zoals golfpakketten, zijn er analytische signaalfuncties.

Opmerking: In de elektrotechniek en elektronica wordt de imaginaire eenheid ${displaystyle j}$ genoemd, om verwarring met de ${displaystyle i}$ voor de stroomsterkte te voorkomen.

Natuurkunde

Complexe getallen en de bijbehorende complexefunctietheorie worden in de natuurkunde vooral gebruikt om trillingen en golven te beschrijven, zoals in de akoestiek, de wetten van Maxwell, de fysische optica, de fourieranalyse kan in twee dimensies ook op afbeeldingen en buigingspatronen worden toegepast, evenals in de kwantummechanica, waarin golffuncties waarschijnlijkheidsverdelingen beschrijven.

Relativiteit

Een aantal formules voor de ruimtetijd worden in de speciale en de algemene relativiteitstheorie eenvoudiger als men de tijdsvariabele imaginair weergeeft. Dit is niet langer standaard in klassieke relativiteit, maar wordt wel gebruikt in de kwantumveldentheorie. Complexe getallen zijn essentieel voor spinors, die een algemene vorm van de tensoren zijn die in de relativiteitstheorie worden gebruikt.

Meetkunde

Fractals

Bepaalde fractals worden in het complexe vlak weergegeven, bijvoorbeeld de Mandelbrotverzameling en de Juliaverzameling.

Driehoeken

Elke driehoek heeft een unieke Steiners ingeschreven ellips, een ellips binnen de driehoek, die raakt aan het midden van de drie zijden van de driehoek. De brandpunten van driehoekige Steiners ingeschreven ellips kan als volgt worden gevonden, volgens de stelling van Marden:^[1][2] Noteer de hoekpunten van de driehoeken in het complexe vlak als, ${displaystyle a=x_{A} y_{A}i}$, ${displaystyle b=x_{B} y_{B}i}$ en ${displaystyle c=x_{C} y_{C}i}$. Schrijf de derdegraadsvergelijking${displaystyle (x-a)(x-b)(x-c)=0}$, neem daar de afgeleide van en stel deze kwadratische afgeleide gelijk aan nul. De oplossingen van deze vergelijking zijn volgend de stelling van Marden complexe getallen, die de locaties van de twee brandpunten van de Steiners ingeschreven ellips weergeven.

Zie ook

• Grootte/hoeknotatie

Websites

• (en) MathWorld. Complex Numbers. overzicht van begrippen
• (en) PlanetMath. complex. gearchiveerd