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Plot der Funktion
${Anzeigestil f(x)=(x^{2}-1)(x-2-i)^{2}/(x^{2} 2 2i)}$,
bei dem die Farbe die Argumentation und die Helligkeit repräsentiert den Modul eines Wertes.

Die Mandelbrot-Sammlung

Funktionstheorie, Komplexe Funktionentheorie oder komplexe Analyse ist die Theorie von komplexe Funktionen. Es ist einer der klassischen Zweige der Mathematik. Als Erweiterung des reale Nummern in der Funktionstheorie (obwohl dies aus dem Wort nicht ersichtlich ist) wird daher als . bezeichnet komplexe Zahlen gezählt. Die komplexe Analyse ist in vielen Bereichen der Mathematik von großem Nutzen, einschließlich der Zahlentheorie und der angewandte Mathematik.

Das wichtigste Funktionen in der komplexen Ebene, die untersucht werden, sind fast überall differenzierbar. Das Real und imaginäre Teile einer analytischen Funktion erfüllen die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.

Im Gegensatz zu den echten Analyse, Wert Variable meist ${Anzeigestil x}$ heißt in der Funktionstheorie die komplexe Variable ${Anzeigestil z}$ erwähnt. Die Variablen ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ repräsentieren den Real- und Imaginärteil von ${Anzeigestil z}$.

Geschichte

Die Funktionstheorie hat ihre Wurzeln in der Arbeit des 18. Jahrhundert Mathematiker Euler. Wesentliche Beiträge wurden geleistet von Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstraße und immer noch von vielen in der 20. Jahrhundert. Die Theorie der konformen oder konformen Abbildungen hat viele physikalische Anwendungen. Es ist auch weit verbreitet in der analytische Zahlentheorie. In den letzten zwei Jahrzehnten hat die komplexe Analyse im Volksmund durch die komplexe Dynamik und die Bilder von Fraktale. Eine weitere wichtige Anwendung ist die Funktionentheorie im Stringtheorie, eine konforme Invariante Quantenfeldtheorie. Zum Beispiel wird die Funktionentheorie in der Signalanalyse und der Energietechnik benutzt.

Komplexe Funktionen

EIN komplexe Funktion ist eine Funktion, wobei die unabhängige und abhängige Variablen sind beides komplexe Zahlen. Genauer gesagt ist eine komplexe Funktion eine Funktion, von der sowohl die Domain wenn es erreichen ein Teilmenge sind davon komplexe Ebene.

Für eine beliebige komplexe Funktion lassen sich sowohl die unabhängige als auch die abhängige Variable in a Real und imaginär Sektion:

${Anzeigestil z=x iy}$ und

${Anzeigestil w=f(z)=u(z) iv(z)}$

wahr ${displaystyle x,yin mathbb {R},}$ und ${Anzeigestil u(z),v(z)}$reellwertige Funktionen sein.

Die elementaren reellen Funktionen wie Polynome, Exponentialfunktionen, Logarithmen und trigonometrische Funktionen, kann in gleicher Weise in der Funktionentheorie verwendet werden. Es ist dann eine Bedingung, dass wenn die Variable ${Anzeigestil z}$ reell gewählt wird, ist der Funktionswert der gleiche wie bei der ursprünglichen reellen Funktion.

Ableitungen und die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen

sehen Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Wie in der realen Analyse, a reibungslose Funktion${Anzeigestil w=f(z)}$ ein Derivat auf eine bestimmte Punkt in ihrer Domäne ${Anzeigestil Omega}$ haben. Tatsächlich ist die Definition der Ableitung

${displaystyle f^{prime }(z)={frac {mathrm {d} w}{mathrm {d} z}}=lim _{ho 0}{frac {f(zh)-f(z)}{h }}}$

analog zum realen Fall, aber mit einem sehr wichtigen Unterschied. In dem echte Analyse kann das Grenze nur durch Weitergabe des x-Achse zu bewegen, also eindimensional. In der komplexen Analyse kann der Grenzwert aus jeder Richtung im komplexe Ebene, und damit die Ableitung existiert, muss der Grenzwert unabhängig von der Richtung der Annäherung an gleich sein ${displaystyle h}$ auf 0.

Wenn dieser Grenzwert die Ableitung für jeden Punkt ${Displaystil-Satz Omega }$ existiert, heißt es ${displaystyle f}$ ist auf Ω differenzierbar. Es kann gezeigt werden, dass jede differenzierbare Funktion analytisch ist. Die Differenzierbarkeit einer komplexen Funktion ist daher eine viel anspruchsvollere Anforderung als bei reellwertigen Funktionen. Bei der Berechnung der reellen Zahlen lässt sich eine Funktion konstruieren, die überall eine erste Ableitung hat, für die aber die zweite Ableitung an einem oder mehreren Punkten im Bereich dieser Funktion nicht existiert. Auf der anderen Seite ist eine Funktion differenzierbar in a Umfeld in dem komplexe Ebene, dann ist auch diese Funktion in derselben Umgebung unendlich differenzierbar.

Eine komplexe Funktion ${displaystyle f:Dsubseteq mathbb {C} oder mathbb {C}}$ lässt sich zerlegen in:

${Anzeigestil f(z)=f(x iy)=u(x,y) i(v(x,y)}$,

in welchem

${Anzeigestil z=x iy}$

und

${Anzeigestil z,y,v(x,y),u(x,y)in Mathbb {R}}$.

Durch die Anwendung der Methoden der Vektoranalyse auf der partielle Ableitungen der beiden reellen Funktionen ${Anzeigestil u(x,y)}$ und ${Anzeigestil v(x,y)}$, kann gezeigt werden, dass die Existenz der Derivat von ${displaystyle f}$ impliziert, dass

${displaystyle f^{prime}(z)={frac {partial u}{partial x}} i{frac {partial v}{partial x}}={frac {partial v}{partial y}}-i{frac {teilweise u}{teilweise y}}.}$

Daraus folgt, dass die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen muss gelten:

${displaystyle {frac {partial u}{partial x}}={frac {partial v}{partial y}},quad {frac {partial u}{partial y}}=-{frac {partial v}{partial x} }}$

oder in anderer Schreibweise,

${displaystyle u_{x}=v_{y},quad u_{y}=-v_{x}.}$

Durch Differenzierung dieses Zweiersystems partielle Differentialgleichungen bzw. zu ${Anzeigestil x}$ und zu ${Anzeigestil y}$, es kann gezeigt werden, dass

${displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}} {frac {partial ^{2}u}{partial y^{2}}}}=0,quad {frac {partial ^{ 2}v}{teilweise x^{2}}} {frac {teilweise ^{2}v}{teilweise y^{2}}}=0}$

oder in einer anderen gebräuchlicheren Schreibweise,

${displaystyle u_{xx} u_{yy}=v_{xx} v_{yy}=0.}$

Mit anderen Worten, der Real- und der Imaginärteil einer differenzierbaren Funktion einer komplexen Variablen sind harmonische Funktionen, weil sie auf dem sind Laplace-Gleichung erfüllen.

Holomorphe Funktionen

sehen Holomorphe Funktion für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Holomorphe Funktionen sind komplexe Funktionen, die auf einem op defined definiert sind offene Teilmenge von dem komplexe Ebene und das differenzierbar sein. Komplexe Differenzierbarkeit hat viel stärkere Konsequenzen als gewöhnliche (reale) Differenzierbarkeit. Holomorphe Funktionen sind beispielsweise unendlich differenzierbar, eine Eigenschaft, die für differenzierbare reelle Funktionen sicherlich nicht gilt. Die meisten grundlegenden Funktionen, einschließlich der Exponentialfunktion, das trigonometrische Funktionen und alles Polynome, sind holomorph.

Eine komplexe Funktion, die auf einer offenen Teilmenge der komplexen Ebene definiert ist und die bis auf eine Anzahl isolierter Punkte differenzierbar ist, heißt meromorph erwähnt. Die Punkte, in denen eine meromorphe Funktion nicht differenzierbar ist, sind die Polen der Funktion.

Eine in der ganzen komplexen Ebene differenzierbare Funktion heißt ganze.

Die wichtigsten Ergebnisse

Ein zentrales Instrument der Funktionentheorie ist die Linienintegral. Das Integral- entlang einer geschlossenen Pfad einer Funktion, die überall im umschlossenen Bereich unterschieden werden kann, nach dem Cauchys Integralformel immer gleich null.

Die Funktionstheorie kann verwendet werden, um den Wert von zwei Arten von reellen Integralen zu berechnen: für uneigentliche Integrale, Dann ist es Domain des zu berechnenden Integrals des gewählten Weges und für beschränkte Integrale mit a Sinus oder Cosinus im Nenner, dann nach a Auswechslung der gewählte Weg ist ein komplexer Kreis. Mit dem Residuensatz und der Wert der Rückstände innerhalb des komplexen Schaltungsintegrals kann das gegebene Integral berechnet werden. Die zu integrierende Funktion kann um eine Singularität gerundet werden um a Laurent-Reihe angefahren werden. Der Rest in der Singularität ist dann gleich then Koeffizient${displaystyle a_{-1}}$ des Produkts ${displaystyle a_{-1}x^{-1}}$ in dieser Serienentwicklung. Das bemerkenswerte Verhalten holomorpher Funktionen in der Nähe von essentiellen Singularitäten wird durch das Wort t Satz von Picard beschrieben.

Der Satz von Liouville kann verwendet werden, um die Fundamentalsatz der Algebra zu beweisen, die besagt, dass es Feld/Körper der komplexen Zahlen algebraisch geschlossen ist.

Eine wichtige Eigenschaft holomorpher Funktionen ist, dass wenn eine Funktion über a holomorph ist einzigartig verbunden Domäne, die Werte dieser Funktion werden vollständig durch ihre Werte auf jeder kleineren Unterdomäne bestimmt. Die Funktion auf dem größeren Gebiet heißt analytisch fortgesetzt ist von seinen Werten auf der kleineren Domäne. Dies ermöglicht die Erweiterung der Definition von Funktionen, wie z Riemann-Zeta-Funktion, die ursprünglich als unendliche Summen definiert sind, die nur für begrenzte Bereiche gelten konvergieren auf fast die gesamte komplexe Ebene. Manchmal, wie im Fall der natürlicher Logarithmus, ist es unmöglich, eine holomorphe Funktion analytisch auf eine nicht singulär verbundene Domäne in der komplexen Ebene zu propagieren, aber es ist möglich, die Funktion auf eine holomorphe Funktion auf einer eng verwandten Oberfläche, bekannt als a Riemann-Oberfläche.

All dies bezieht sich auf eine komplexe Analyse in einer Variablen. Es gibt auch eine sehr reiche Theorie der Funktionen mit mehr als einer komplexen Variablen, wo zum Beispiel die Potenzreihe weiterhin verwendet werden, während die meisten geometrischen Eigenschaften holomorpher Funktionen in einer komplexen Dimension, wie z Winkeltreue, nicht verhindern. Ein Beispiel ist das Riemann-Bildsatz über die Winkelbeziehung bestimmter Domänen in der komplexen Ebene, vielleicht das wichtigste Ergebnis in der eindimensionalen Theorie, daher gilt es nicht für höhere Maße.

EIN Möbius-Transformation ist ein rationale Funktion des Formulars

${displaystyle f(z)={frac {az b}{cz d}}}$

Hier sind die Koeffizienten ${Anzeigestil a,b,c,d}$ komplexe Zahlen, die die Beziehung erfüllen ${displaystyle ad-bceq 0}$. Möbius-Transformationen sind zu Möbius erwähnt. Sie werden in die Geometrie benutzt.

Das komplexe Multiplikation eignet sich dafür Zwei Dimensionen sehr gut für Geometer Drehungen Anzeige. Dreidimensional lassen sich diese dann mit . darstellen Quaternionen.

Video

• (und) M Barrus auf Youtube. Funktionstheorie. 35 Videos
• (und) P Bonfert - Taylor auf Youtube. Analyse einer komplexen Art. 36 Videos