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In dem Mathematik ist ein Polynom oder Polynom${Anzeigestil p(x)}$ in einem Variable (oder Unbekannt) ${Anzeigestil x}$ ein Ausdruck des Formulars:

${displaystyle p(x)=a_{0} a_{1}x a_{2}x^{2} ldots a_{n}x^{n}}$,

in welchem ${displaystyle n}$ ein natürliche Zahl ist und ${displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},ldots ,a_{n}}$sind Elemente von a Körper/Feld.

Ein Polynom ist also ein Ausdruck, in dem nur zwei Grundoperationen des Arithmetik ein endlich Anzahl der Vorkommen, nämlich die Zusatz und der Multiplikation.

Terminologie

Koeffizient

Die Zahlen ${displaystyle a_{0},a_{1},ldots ,a_{n}}$ heißen die Koeffizienten des Polynoms.

Grad

Die höchste auftretende Leistung ${displaystyle m}$ der Variablen, also mit Koeffizient ${displaystyle a_{m}eq 0}$, heißt die Grad des Polynoms. Ein Polynom vom Grad ${displaystyle m}$ wird ein ${displaystyle m}$-Grad-Polynom erwähnt.

Polynome vom Grad 1 heißen linear und Polynome vom Grad 2 heißen quadratisch. Die linearen Polynome, also die Polynome ersten Grades, sind Funktionen, deren Graph eine Gerade ist Linie, die quadratischen Polynome sind Funktionen mit Parabeln als Grafik.

In bestimmten Bereichen sind die Begriffe quartisches Polynom, für die vierte Klasse, und quintisches Polynom, für Klasse fünf, gebraucht.

Begriff

Die Ausdrücke ${displaystyle a_{0},a_{1}x,a_{2}x^{2},ldots ,a_{n}x^{n}}$ sind die Begriffe des Polynoms (Polynom). Jeder der Begriffe separat ist a ein Begriff.

Konstantes Polynom

Das Polynom ${displaystyle p(x)=a_{0}}$ mit ${displaystyle a_{0}eq 0}$ heißt a konstantes Polynom. Ein konstantes Polynom hat den Grad 0.

Nullpolynom

Das Polynom ${Anzeigestil p(x)=0}$, also heißt das Polynom ohne Term de Nullpolynom. Der Grad des Nullpolynoms ist unbestimmt.

monisches Polynom

Ein Polynom ${Anzeigestil p(x)}$ dessen Koeffizient der höchsten Potenz von ${Anzeigestil x}$ gleich 1 wird monisch erwähnt. Ein monisches Polynom kann in der Form geschrieben werden:

${displaystyle p(x)=x^{n} a_{n-1}x^{n-1} ldots a_{1}x a_{0}}$

Allgemeines

Polynome kommen in vielen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften vor. Zum Beispiel sind sie es gewohnt, Polynomgleichungen zu bilden, die eine breite Palette von Problemen in ihren Kern bringen, von einfachen Wortproblemen bis zu komplizierten wissenschaftlichen Problemen; Sie sind gewöhnt an Polynomfunktionen zu definieren, die in Umgebungen auftreten, die von elementaren Chemie und Physik bis um Wirtschaft und Sozialwissenschaften. Sie sind relativ einfach glatte Funktionen, was bedeutet, dass sie kontinuierlich und zufällig oft differenzierbar sein. Sie werden unter anderem verwendet als Ansatz für kompliziertere Funktionen, wie z Infinitesimalrechnung und numerische Analyse. In der fortgeschrittenen Mathematik werden Polynome verwendet, um Polynomringe und algebraische Varietäten zu konstruieren, was sie zu zentralen Konzepten in der Algebra und in der algebraischen Geometrie macht.

Etymologie

Das Wort „Polynom“ kommt vom lateinischen „polynomium“, das sich aus dem Griechischen πολυς (polys), was viele bedeutet, und dem Lateinischen keine Männer, Name, selbst wiederum aus dem Griechischen ὄνομα (onoma).^[1] Es ist vermutlich nach geformt Binomial-, eine Übersetzung von ἔκ δὐο ὄνομάτων (ek duo onomátoon), aus Buch X der Elemente von Euklid was übersetzt werden kann als: aus zwei Begriffen (bestehend). Das Wort 'Polynom' wurde verwendet von Vietnam in seinem verwendet Isagoge (1591) als 'polynomia magnitudo' für eine Größe mit mehreren Termen.

Koeffizienten

Die Koeffizienten sind Elemente von a Körper/Feld${Anzeigestil K}$, wie natürliche Zahlen, ganze Zahlen, das Rationale Zahlen, das reale Nummern und komplexe Zahlen sein. Wir sprechen dann von Polynomen Über${Anzeigestil K}$, ${displaystyle mathbb {N} }$, ${displaystyle mathbb {Z} }$, ${displaystyle mathbb {Q} }$, ${displaystyle mathbb {R} }$ oder ${displaystyle mathbb {C} }$.

Wenn die Koeffizienten des Polynoms ${displaystyle p}$ werden aus einer dieser Musterkollektionen ausgewählt und die Variable${Anzeigestil x}$ von ${displaystyle mathbb {C} }$, ist die Polynomfunktion ${Anzeigestil p(x)}$ ein holomorphe Funktion.

Es ist auch möglich, die Koeffizienten und die Variable aus a . zu extrahieren endlicher Körper / Feld zur Auswahl, notiert mit ${displaystyle mathbb {F}_{q}}$ oder ${displaystyle mathbb {GF}_{q}}$. Die Anzahl der Elemente ${Anzeigestil q}$ im endlichen Körper/Körper ist a Primzahl oder der Leistung einer Primzahl.

Die Menge der zu einer bestimmten Koeffizientenart gehörenden Polynome ist a Ring, Polynomring erwähnt.

Die Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten wird bezeichnet mit ${displaystyle mathbb {P} }$. Die Teilmenge aller Polynome vom Grad ${displaystyle mleq n}$, wird zusammen mit dem Nullpolynom bezeichnet mit ${displaystyle mathbb {P} _{n}}$. Beide Sets bilden ein echtes Vektorraum. Die Koeffizienten können als Koordinaten erscheinen. Das grundlegende Vektoren sind dann die Kräfte von ${Anzeigestil x}$. Der Raum ${displaystyle mathbb {P}_{n-1}}$ ist ${displaystyle n}$-dimensional.

Polynomgleichungen

Ist das Polynom ${Anzeigestil p(x)}$ gleich 0, dann ist die Vergleich${Anzeigestil p(x)=0}$. Der Grad der Gleichung ist der Grad des Polynoms. Eine quadratische Gleichung wird auch als quadratische Gleichung bezeichnet. Gleichungen dritten Grades, quadratische Gleichungen, Gleichungen fünften Grades und Gleichungen sechsten Grades haben genug spezielle Eigenschaften, um sie einzeln zu studieren.

Rationale Funktion

EIN Fraktion von zwei Polynomfunktionen heißt a rationale Funktion.

Einstufung

Siehe auch: Grad (Polynom)

Der Grad eines Termes ist die Summe der Exponenten der Indefiniten in diesem Term und der Grad eines Polynoms ist der höchste Grad der Terme mit einem Koeffizienten ungleich Null. Ein Polynom vom Grad ${displaystyle n}$ wird auch als "${displaystyle n}$-Grad-Polynom."

Ein Polynom ohne Variable bestehend aus a konstanter Begriff ungleich 0 heißt a konstantes Polynom. Der Grad eines konstanten Polynoms ist 0. Der Grad des Nullpolynoms 0 (das überhaupt keine Terme hat) wird im Allgemeinen als undefiniert behandelt (siehe unten).

Der folgende Ausdruck ist beispielsweise ein Begriff:

${displaystyle -5x^{2}y}$

Der Koeffizient ist −5 , die Variablen (oder Indefinite) sind ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$. Der Exponent von ${Anzeigestil x}$ ist zwei und der Exponent von ${Anzeigestil y}$ a, so dass der Grad des ganzzahligen Termes gleich ist ${Anzeigestil 2 1=3}$.

Polynome vom Grad eins, zwei oder drei sind jeweils lineare Polynome,quadratische Polynome und kubische Polynome. Für höhere Grade werden die spezifischen Namen im Allgemeinen nicht verwendet.Die Gradnamen können auf das Polynom oder seine Terme angewendet werden. Der Begriff ${Anzeigestil 2x}$ im ${displaystyle x^{2} 2x1}$ ist beispielsweise ein linearer Term in einem quadratischen Polynom.

Es wird angenommen, dass das Nullpolynom überhaupt keine Terme hat. Im Gegensatz zu konstanten Polynomen ist der Grad nicht null. Stattdessen wird der Grad des Nullpolynoms entweder explizit undefiniert gelassen oder als negativ definiert (${Anzeigestil -1}$ oder ${displaystyle -infty }$). Das Nullpolynom ist auch deshalb eindeutig, weil es das einzige Polynom mit unendlich vielen Nullstellen ist. Der Graph des Nullpolynoms ist der ${Anzeigestil x}$-Asche!

Ein reelles Polynom ist ein Polynom mit reellen Koeffizienten. Wenn das Polynom verwendet wird, um eine Funktion zu definieren, ist der Bereich nicht darauf beschränkt. Eine reelle Polynomfunktion ist jedoch eine Funktion von den reellen Zahlen zu den reellen Zahlen, die durch ein reelles Polynom definiert werden. Ähnlich ist ein ganzzahliges Polynom ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und ein komplexes Polynom ist ein Polynom mit komplexen Koeffizienten.

Eisensteins Kriterium

Es Eisensteins Kriterium liefert eine hinreichende Bedingung, dass ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten irreduzibel ist. Ein Polynom, das das Kriterium erfüllt, ist über die rationalen Zahlen und damit auch über die ganzen Zahlen irreduzibel.

Nullstellen eines Polynoms

Laut der Fundamentalsatz der Algebra ist ein Polynom, das durch seine Nullen, die komplexe Nullstellen sein können, und a Konstante:

${displaystyle p(x)=c(x-b_{1})(x-b_{2})ldots (x-b_{n})}$,

wo die Zahlen ${displaystyle b_{k}}$ sind die Nullstellen des Polynoms.

Umgekehrt sind diese Nullstellen die Lösungen der Gleichung, die durch Setzen des Polynoms auf Null erzeugt wird. Dadurch entsteht ein algebraisches Vergleich mit einem Unbekannten ${Anzeigestil x}$ der folgenden Form:

${displaystyle a_{0} a_{1}x a_{2}x^{2} ldots a_{n}x^{n}=0}$

In diesem jeden ${displaystyle a_{k}}$ eine Konstante, die das repräsentiert ${displaystyle k}$-das Grad Koeffizient wird genannt. Der Grad des Polynoms, der der größte Wert von ist ${displaystyle k}$ auf was trifft das zu ${displaystyle a_{k}eq 0}$, wird auch als Vergleichsgrad bezeichnet.

Ein Sonderfall sind die Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten. Eine Nullstelle eines solchen Polynoms wird a algebraische Zahl erwähnt. Eine Zahl, die nicht algebraisch, aber reell ist, heißt a transzendente Zahl.

Die Zahlen ${displaystyle b_{k}(k=0,ldots,n)}$ sind die Nullen des Polynoms oder die Wurzeln der entsprechenden algebraischen Gleichung. Es Anzahl dass der an der Zerlegung beteiligte Faktor genannt wird Vielzahl der Nullstelle, und die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms ist, wenn jede Null so oft gezählt wird wie ihre Multiplizität, also gleich dem Grad.

Für reelle Polynome gilt wie für komplexe Polynome, dass sie ${displaystyle n}$ komplexe Nullstellen haben. Jedes reelle Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Nullstelle und die nichtreellen, die komplexen Nullstellen kommen immer vor Komplex hinzugefügt Paar für. Es gibt keinen Algorithmus, mit dem für beliebige Polynome vom Grad größer als 4 die Nullstellen mit Wurzeln der Zahlen geschrieben werden kann.

Beispiel

Die Faktorisierung des Polynoms ${Anzeigestil f(x)=5x^{3}-5}$ ist:

${displaystyle f(x)=5(x-1)(x^{2} x 1)=5(x-1)left(x {frac {1 i{sqrt {3}}}{2}}ight) left(x {frac {1-i{sqrt {3}}}{2}}ight)}$

Die drei Nullen von ${Anzeigestil f(x)}$ sein ${displaystyle 1, -{ frac {1}{2}}(1 i{sqrt {3}})}$ und ${displaystyle -{ frac {1}{2}}(1-i{sqrt {3}})}$.

Symmetrische Funktionen

Die Koeffizienten eines Polynoms können in den Wurzeln des Polynoms ausgedrückt werden. Die funktionale Beziehung zwischen einem Koeffizienten und den Wurzeln von a ${displaystyle n}$-Grad-Polynom ${Anzeigestil f(x)}$ ist auf dem zeichen nach a elementares symmetrisches Polynom in den Wurzeln von ${Anzeigestil f(x)}$.

Beispiel

Für ein Polynom dritten Grades ${displaystyle p(x)=x^{3} a_{2}x^{2} a_{1}x a_{0}}$ mit Wurzeln ${Displaystil x_{1},x_{2},x_{3}}$ gilt:

${Anzeigestil p(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=}$

${displaystyle =x^{3}-(x_{1} x_{2} x_{3})x^{2} (x_{1}x_{2} x_{2}x_{3} x_{1}x_ {3})x-x_{1}x_{2}x_{3}}$

Die Koeffizienten sind:

${displaystyle a_{2}=-(x_{1} x_{2} x_{3})}$

${displaystyle a_{1}=x_{1}x_{2} x_{2}x_{3} x_{1}x_{3}}$

${displaystyle a_{0}=-x_{1}x_{2}x_{3}}$

Jedes steht auf dem Vorzeichen nach einem elementaren symmetrischen Polynom in den Wurzeln ${displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$.

Derivat

Unterscheiden eines Polynoms verringert den Grad des Polynoms um 1. Zum Beispiel unterscheidet man von ${Displaystil 4x^{3} 5x^{2} 3x 2}$ vom Grad 3 ergibt das abgeleitete Polynom ${Displaystil 12x^{2} 10x 3}$ der Klasse 2.

Laut der Theorem von Marden sind die Nullstellen der Ableitung eines kubischen Polynoms in ${displaystyle mathbb {C} }$, deren Nullstellen nicht . sind ausrichten, gleich dem Schwerpunkte von Steiners beschriftete Ellipse des Dreiecks, das durch diese Nullen gebildet wird. Die Koeffizienten des Polynoms können hier komplex angenommen werden.

Division von Polynomen

Im Allgemeinen ist ein Polynom ${Anzeigestil p(x)}$ geteilt durch ein Polynom ${Anzeigestil d(x)}$ dessen Grad niedriger ist als der von ${Anzeigestil p(x)}$. Der Rest bei der Division ist ein Polynom ${Anzeigestil r(x)}$, oder 0, wenn ${Anzeigestil p(x)}$ mitten durch ${Anzeigestil d(x)}$ geteilt werden kann. Generell gilt:

${Anzeigestil p(x)=q(x)d(x) r(x)}$,

wobei das Polynom ${Anzeigestil q(x)}$ ist das Quotientenpolynom.

Die eigentliche Division eines Polynoms durch ein anderes Polynom niedrigeren oder möglicherweise gleichen Grades kann erfolgen durch Heckteile.

wenn ${displaystyle n}$ der Grad von ${displaystyle p}$ ist und ${displaystyle m}$ der Grad von ${displaystyle d}$, der Grad der ${Anzeigestil q}$ gleich ${Anzeigestil n-m}$ und der Grad der ${displaystyle r}$ ist höchstens gleich ${Anzeigestil m-1}$. Für den Fall, dass ${Anzeigestil r(x)=0}$, die Teilung geht genau und ist ${displaystyle p}$ das Produkt von ${Anzeigestil q}$ und ${displaystyle d}$. Gilt für die Abschlüsse ${Anzeigestil n=mk}$, mit ${displaystyle k}$ der Grad von ${Anzeigestil q}$.

Beispiel

x 1 / 4x³ 5x² 3x 2 4x² x 2 4x³ 4x² ——————— x² 3x 2 x² x ——————— 2x 2 2x 2 ———— 0

So ist ${Displaystil 4x^{3} 5x^{2} 3x 2=(4x^{2} x 2)(x 1)}$.

Faktor- und Restsatz

Man kann leicht überprüfen, ob ein Polynom ${Anzeigestil p(x)}$ ein Faktor ${Anzeigestil x-b}$ hast. Ersatz ${Anzeigestil x=b}$ im ${Anzeigestil p(x)}$, dann muss sich bewerben ${Anzeigestil p(b)=0}$. Ist ${Anzeigestil p(b)eq 0}$, dann ist ${Anzeigestil p(b)}$ der Rest bei der Teilung von ${Anzeigestil p(x)}$ durch ${Anzeigestil x-b}$, Letztendlich:

${Anzeigestil p(x)=(x-b)q(x)r}$,

in denen der Rest ${displaystyle r}$ ist eine Konstante. Ersatz von ${Anzeigestil x=b}$ gibt:

${Anzeigestil p(b)=(b-b)q(b) r=r}$

Dieses Ergebnis wird Restsatz für Polynome genannt. Auf diesem Restsatz im Dezimalsystem sind die neun test und der Elfentest basierend.

Der Elf-Test basiert auf der Tatsache, dass im Dezimalsystem 10 modulo 11 mit −1 kongruent ist. Damit wird gezeigt, dass modulo 11 die Zahl 4532 kongruent mit 0 ist, also durch 11 teilbar ist ${Anzeigestil x 1}$ ist ein Faktor von ${Displaystil 4x^{3} 5x^{2} 3x 2}$, weil

${Anzeigestil 4(-1)^{3} 5(-1)^{2} 3(-1) 2=-4 5-3 2=0}$,

und so ist

${displaystyle 4532=4 imes 10^{3} 5 imes 10^{2} 3 imes 10 2=0{pmod {11}}}$

Horner-Schema

Es Horner-Schema ist ein Algorithmus ein Polynom effizient in einen Punkt umwandeln ${displaystyle x_{0}}$ oder ein Polynom schnell durch ein lineares Polynom zu dividieren.

Charakteristisches Polynom

Für die Variable a . ist es möglich Matrix ersetzen. Mit jeder Matrix ${Anzeigestil A}$ hört a charakteristisches Polynom${displaystyle f}$. Substitution der Matrix ${Anzeigestil A}$ im ${displaystyle f}$ liefert die Nullmatrix auf: ${Anzeigestil f(A)=0}$.

Das charakteristisches Polynom${Displaystil P_{A}}$ von a Quadrat${Anzeigestil n imes n}$-Matrix ${Anzeigestil A}$ ist

${displaystyle P_{A}(lambda)=mathrm {Det} (A-lambda I_{n})}$

In welchem

• det de bestimmend die Geschenke
• ${displaystyle I_{n}}$ das ${Anzeigestil n imes n}$-Einheitenmatrix

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte der Matrix. Dies findet Anwendungen in der Krafttheorie, das Quantenmechanik, Vibrationen, das Akustik usw.

Bereich der Koeffizienten

Ein Polynom wird vollständig durch seine Koeffizienten bestimmt. Wenn es nicht um die entsprechende Funktion geht, ist es egal, welche Werte ${Anzeigestil x}$ kann annehmen; die Polynome entsprechen eins zu eins mit endlichen Zahlenreihen (den Koeffizienten). Dann ist die Rolle der Variablen ${Anzeigestil x}$ dort nur in der Notation als Summe gewichteter Potenzen von ${Anzeigestil x}$ möglich, wodurch die Regeln für das Addieren und Multiplizieren der Polynome natürlich eingeführt werden. Diese Notation ist besonders nützlich für die Multiplikation, man braucht keine spezielle Regel für die Multiplikation endlicher Zahlenreihen anzuwenden.

Es gibt auch Polynome mit anderen Koeffizienten als reellen Zahlen oder mit Koeffizienten, die auf einen Teil der reellen Zahlen beschränkt sind. Wenn die Menge, aus der die Koeffizienten ausgewählt werden, a Kommutativer Ring die Polynome bilden auch einen kommutativen Ring.

Für einen gegebenen kommutativen Ring kann man die Koeffizienten aus einem Teilungsring (möglicherweise dem Ring selbst) wählen und als Domain der Polynomfunktionen nehmen eine Teilmenge des Rings (möglicherweise wieder den Ring selbst) ein. Die Abbildung, die einem Polynom die entsprechende Polynomfunktion hinzufügt, ist dann linear. Das Bild ist dann und nur dann injektiv, wenn nur das Polynom, das identisch Null ist, gibt eine Funktion zurück, die die Nullfunktion ist (eine Funktion, die für jedes Argument in der Domäne 0 zurückgibt). Das ist nicht Wenn der Bereich der Polynomfunktionen endlich und eine Teilmenge des Divisionsrings ist, kann man einfach ein Polynom konstruieren, das nicht identisch Null ist, bei dem die definierte Funktion jedoch für jedes Argument Null ergibt (Nullfunktion). Es gibt dann unendlich viele korrespondierende Polynome für eine Polynomfunktion (die übrigens eine beliebige Funktion ist).

Dies unterstreicht die Unterschiede zwischen einem Polynom als Ausdruck und einem Polynom als Funktion. Beachten Sie, dass es eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den Ausdrücken und den Funktionen gibt, wenn die Domäne eine unendliche Menge ist.

Polynom vs. Polynomfunktion

Ein Beispiel für die Unterscheidung zwischen Polynom und zugehöriger Polynomfunktion ist das folgende. Betrachten Sie Polynome mit Koeffizienten aus der endlicher Körper${displaystyle mathrm {GF} (5)}$, das ist die Kollektion ${Anzeigestil {0,1,2,3,4}}$ wo Addition und Multiplikation stattfindet modular 5.

Beide ${Anzeigestil g(x)=x^{6} 3x 3}$ wenn ${Anzeigestil h(x)=3x^{5} x^{2} 3}$ sind Polynome über ${displaystyle mathrm {GF} (5)}$. Es handelt sich offensichtlich um zwei verschiedene Polynome. Wenn (Polynom-)Funktionen mit Definitionsbereich und Reichweite ${displaystyle mathrm {GF} (5)}$ sie sind jedoch untereinander identisch, denn für jeden ${Anzeigestil x}$ von ${Anzeigestil {0,1,2,3,4}}$ zählt Modulo 5, dass ${Anzeigestil g(x)=h(x)}$.

Zwei voneinander verschiedene Polynome können daher die gleiche zugehörige Polynomfunktion haben.

Polynome in mehr Variablen

Es gibt auch Polynome in mehr als einer Variablen. Ein Polynom in ${displaystyle m}$ Variablen (${displaystyle x_{1}}$ bis um ${displaystyle x_{m}}$) der Bestellung ${displaystyle n}$, ist dann ein Ausdruck der folgenden Form oder darauf reduzierbar:

${displaystyle a_{0} Summe _{1leq kleq m}a_{1,k}x_{k} Summe _{1leq k_{1}leq k_{2}leq m}a_{2,k_{1},k_{ 2}}x_{k_{1}}x_{k_{2}} ldots sum _{1leq k_{1}leq ldots leq k_{n}leq m}a_{n,k_{1},ldots ,k_{n }}x_{k_{1}}cdots x_{k_{n}}}$,

wobei mindestens einer der Koeffizienten ${displaystyle a_{n,k_{1},...,k_{n}}}$ ist ungleich 0. Man spricht von Multinomialfunktionen. Ein solches Polynom kann auch geschrieben werden als:

${displaystyle sum _{m_{1},ldots ,m_{n}}a_{m_{1},ldots ,m_{n}}x_{1}^{m_{1}}cdots x_{n}^{m_ {n}}}$,

in der nur endlich viele Koeffizienten ungleich 0 sind. Die höchste auftretende Leistung ${displaystyle m_{i}}$ heißt Grad der Variablen ${displaystyle x_{i}}$. Die Nummer ${displaystyle m_{1} ldots m_{n}}$ ist der Grad des Begriffs ${displaystyle a_{m_{1},ldots ,m_{n}}x_{1}^{m_{1}}cdots x_{n}^{m_{n}}}$. Das Maximum der Grade der einzelnen Terme wird als Grad des Polynoms bezeichnet.

Spezifisch für ein Polynom in einer Variablen ${Anzeigestil x}$ ist der Fundamentalsatz der Algebra gilt, was besagt, dass das Polynom als das Produkt einer Konstanten und der Vielfachen der Differenz zwischen ${Anzeigestil x}$ und noch eine Konstante. Dieser Satz ist nicht leicht auf ein Polynom in mehreren Variablen erweiterbar.

Beispiele

Das nächste Polynom ${displaystyle f}$ in drei Variablen ${Anzeigestil x,y}$ und ${Anzeigestil z}$ ist in Ordnung drei. Alle Koeffizienten sind ganze Zahlen und die Produkte sind in aufsteigender Reihenfolge oder in Grad geordnet:

${displaystyle f(x,y,z)=4x^{2}y-6x^{2}z-12xy^{2} 6y^{2}z 3xz^{2}-9yz^{2} 16xyz 4xy- 6xz-2yz 3z^{2}}$

${Anzeigestil f(x,y,z)}$ kann vereinfacht werden zu ${Anzeigestil (x-3y 1)(2x-z)(2y-3z)}$. Ein willkürlich gewähltes Polynom in mehr Variablen ist normalerweise nicht so schön zu faktorisieren.

Kuriosität

Es gibt Polynome ${Anzeigestil f(x)}$, ${displaystyle xin mathbb {N} }$, die für die ersten Werte von ${Anzeigestil x}$ eine Primzahl sein.^[2]

James Jones, Daihachiro Sato, Hideo Wada und Douglas Wiens beweisen in ihrem Artikel für die Mathematische Vereinigung von Amerika dass das nächste Polynom in den 26 Variablen ${Anzeigestil a}$ bis zu ${Anzeigestil z}$ über den natürlichen Zahlen mit Grad 25 außer negativen Werten, nur alle Primzahlen nimmt als positive Werte an:^[3]

${Anzeigestil (k 2){ ig [}1-}$

${Anzeigestil (wz h j-q)^{2}-}$

${displaystyle {(gk 2g k 1)(h j) h-z}^{2}-}$

${Anzeigestil (2n p q z-e)^{2}-}$

${Anzeigestil {16(k 1)^{3}(k 2)(n 1)^{2} 1-f^{2}}^{2}-}$

${displaystyle {e^{3}(e 2)(a 1)^{2} 1-o^{2}}^{2}-}$

${displaystyle {16r^{2}y^{4}(a^{2}-1) 1-u^{2}}^{2}-}$

${displaystyle {([au^{2}(u^{2}-a)]^{2}-1)(n 4dy)^{2} 1-(x cu)^{2}}^{2} -}$

${Anzeigestil (n l v-y)^{2}-}$

${displaystyle (ai k 1-l-i)^{2}-}$

${displaystyle {(a^{2}-1)l^{2} 1-m^{2}}^{2}-}$

${displaystyle {(a^{2}-1)y^{2} 1-x^{2}}^{2}-}$

${displaystyle {p l(a-n-1) b(2an 2a-n^{2}-2n-2)-m}^{2}-}$

${displaystyle {q y(a-p-1) s(2ap 2a-p^{2}-2p-2)-x}^{2}-}$

${displaystyle {z pl(a-p) t(2ap-p^{2}-1)-pm}^{2}{ ig]}}$

Zuvor Martin Davies, Yuri Matijasevich, Hilary Putnam und Julia Robinson bewies die Existenz eines solchen Polynoms.

Der Artikel von Jones, Sata, Wado und Wiens beweist das für alle Kombinationen ${Anzeigestil a}$ bis einschließlich ${Anzeigestil z}$ für die alle Terme im zweiten Faktor ab dem zweiten tatsächlich gleich 0 sind, ${displaystyle k2}$ ist immer eine Primzahl und alle Primzahlen einmal, wenn ${displaystyle k2}$ treten in einer solchen Kombination auf. Um zu einem positiven Ergebnis zu gelangen, ist ein System von diophantische Gleichungen werden gelöst.

Am Ende des Artikels wird bewiesen, dass Polynome über den natürlichen Zahlen, die überall einen Primwert haben, den Grad Null haben müssen, also eine Konstante sein müssen.^[3]

Spezielle Polynome

Einige spezielle Arten von Polynomen haben ihre eigenen Namen, darunter:

Anwendungen

Polynome sind weit verbreitet in Algorithmen, unter anderem in Savitsky-Golay-Filter.

Polynome mit komplexen Koeffizienten treten beispielsweise in der Lösung von Differentialgleichung durch Fourier-Transformation oder Laplace-Transformation. Dies hat praktische Anwendungen in der Elektrotechnik, Steuerungstechnik, Kommunikationstechnologie und der Quantenmechanik.

Webseiten

• Polynome und wissenschaftlicher Rechner. Online-Rechner für Polynome
• Polynom lange Division. lange Teile mit Polynomen

Quellen, Anmerkungen und/oder Verweise ↑E. J. Dijksterhuis (1948),Seltsame Wörter in der Mathematik. Groningen, P. Noordhoff N.V. ↑(und) MathWorld. Primzahlerzeugendes Polynom. ↑ einb(und) Mathematische Vereinigung von Amerika. Diophantine Darstellung der Menge der Primzahlen, 1976.

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