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Eine lange Division, bei der 116331 durch 17 . geteilt wird

EIN lange Division ist ein Algorithmus zu (auf Papier) a Einteilung ausgetragen werden. Lange Division nutzt die Eigenschaften von a Positionssystem. Es kann in beiden verwendet werden Dezimalsystem wenn es zum Beispiel oktal oder binär System.

In dem Niederländische Grundschulbildung Neben der langen Division werden auch andere Algorithmen verwendet, um die Division zu lehren, wie z Teilen oder geschehen laut der realistische Mathematik. Diese basieren viel deutlicher auf wiederholter Addition, aber es fehlt das klare System der langen Teilung. Früher von Hand Verwurzelung (von zweite- und Würfelwurzeln) wurde ein ähnlicher Algorithmus wie bei der langen Division verwendet.

Beispiel

Die Niederlande

Im Beispiel 135 (der Dividende) geteilt durch 11 (die ( Divisor). Es nutzt die Eigenschaften des Vans dezimale Darstellung. Zuerst wird versucht, die erste Zahl 1 (von einer 100) durch 11 zu teilen. Da 1 kleiner als 11 ist, ist dies nicht möglich. Als nächstes betrachten wir die folgenden zwei Ziffern: 13 (von der Zehner). Sie können durch 11 geteilt werden. Das geht 1 mal. Die 1, die für 1 Zehn steht, steht rechts. Dann ist die sich ausruhen berechnet, mit anderen Worten: Wie viele Zehner bleiben übrig?

  11 / 135  1       11        2

Es bleiben noch 2 Zehner übrig, die zusammen mit den 5 Einheiten (der nächsten Ziffer des Dividenden) 25 Einheiten ergeben. Diese 25 Anteile werden durch die Dividende 11 geteilt. Das geht zweimal, und die 2 wird rechts von der 1 an die Stelle der Anteile geschrieben.

  11 / 135  12       11        25        22         3

Es bleibt ein sich ausruhen 3 übrig. Das Ergebnis ist: 135 = 12 × 11 3.

Die Division kann fortgesetzt werden, um die vollständige Dezimaldarstellung zu erhalten (Dezimalbruch). Es wird dann verwendet Zehnten, Hundertstel usw., indem man den Rest als 30 Zehntel betrachtet und diesen wieder durch 11 dividiert. Das geht zweimal. Es gibt also 2 Zehntel zur Antwort. Es bleiben 8 Zehntel (30 - 2 × 11 = 8). Diese gelten als 80 Hundertstel und so weiter. Die lange Teilung von oben setzt sich wie folgt fort:

  11 / 135  12,27...       11        25        22         30         22          80          77           3 usw.

Der Rest (ohne die Zehnerpotenz), hier 2, 3, 8, 3,.., kann 0 werden; der exakte Quotient hat dann endlich viele Nachkommastellen. Geschieht dies nicht und hat der Dividenden eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, dann hängt der weitere Verlauf der langen Division immer nur vom Rest ab. Die Anzahl der Werte, die der Rest dann maximal annehmen kann, ist eins weniger als der Divisor. Daraus folgt, dass der Bruch a sich wiederholender Bruch mit einer Periode von höchstens dem Teiler minus 1.

Dies gilt analog für jede andere Basis.

Belgien

In Belgien wird die folgende Schreibweise verwendet:

   135      | 11  -11       |————    25      |  12,272...   -22     30    -22      80     -77       3

Bei grundsätzlich gleichem Wortlaut: 135 (Dividende) dividiert durch 11 (Divisor):

  1. Wie oft geht aus 11 in 13? 1 Mal, dies ist der Anfang des Ergebnisses (Quotient).
  2. 1 mal 11 wird unter 13 geschrieben und davon abgezogen, Rest 2.
  3. Dazu kommt folgende Zahl (Einheit): 5; Wie oft geht aus 11 in 25? 2 Mal.
  4. 2 mal 11 (22) wird dann von 25 abgezogen, der Rest ist 3.
  5. Die Division könnte hier enden, das Ergebnis ist dann "12, Rest 3".
  6. Rechnest du weiter nach dem Komma, fügst du eine Null hinzu, also erhältst du 30.
  7. Wie oft geht aus 11 in 30? 2 mal ist dies die Fortsetzung des Ergebnisses (bis zu 1 Nachkommastelle).
  8. 2 mal 11 (22) schreibt man unter dreißig, um es abzuziehen: 8
  9. So fährt man fort, bis man:
Rest wird null,
oder ein sich wiederholender Bruch,
oder ein Ergebnis mit genügend Nachkommastellen.

Wenn der Divisor eine Dezimalzahl ist, wird die Anzahl der Nullen nach der Dezimalstelle zum Dividenden addiert, da der Divisor Ziffern nach der Dezimalstelle enthält. Zum Beispiel wird die Division von 25 durch 2,25 in dieser langen Division wie folgt geschrieben:

25,00    | 2,25         |————

Lange Teilung im niederländischen Bildungswesen

Seit der Einführung des realistische Mathematik in vielen Schulen wird den Kindern nicht mehr die klassische Langteilung beigebracht, sondern die sogenannte Bissmethode (Teilen)[1] gelernt. Damit wird geschätzt, wie oft der Divisor in die zu teilende Zahl passt. Da dies eine andere Art des Teilens ist, können Eltern ihren Kindern weniger helfen, das Teilen zu Hause zu lernen. Schließlich lernten sie in der Grundschule die klassische Langdivision.

Doch die Ähnlichkeiten mit der klassischen Langeinteilung sind größer als die Unterschiede. Der große Unterschied besteht darin, dass die Bissmethode einen Algorithmus ausführt, der auf dem Verteilungseigenschaft der Multiplikation. Es ist nicht bekannt, ob die Schüler dies tatsächlich benötigen. Die Bissmethode führt zu einer weniger effizienten Schreibweise (sicher am Anfang). Gelegentlich führt die Flexibilität der modernen langen Division zu einer effizienteren Berechnung (zB bei 3650 : 37).

Seit 2010 wird die klassische Langteilung wieder in Berechnungsverfahren angeboten, wie z Zähl sicher und Die Welt in Zahlen. Lange Teilung kann zu den Merkmalen der Funktionsberechnung. Die Bissmethode zählt zu den realistische Mathematik.

Beispiel

Diese Methode lässt sich am obigen Beispiel veranschaulichen. Die Frage lautet 135 : 11. Es muss also berechnet werden, wie oft 11 von 135 subtrahiert werden kann. Es ist leicht zu erkennen, dass mindestens 10 mal 11, also 110, subtrahiert werden können. Es verbleibt 135−110=25. Auch hier ist leicht zu erkennen, dass 2 mal 11, also 22, subtrahiert werden können. Die Häufigkeit, mit der der Divisor 11 in den Dividenden 135 passt, beträgt somit 10 2 = 12. Und der Rest ist 25−22=3.

Die Flexibilität der Bissmethode liegt darin, dass man, wenn man sich nicht sicher ist, ob 11 von 135 10 mal abgezogen werden kann, zuerst 9 mal versuchen kann; dann bleibt der Rest 36. Es ist nicht schwer zu sehen, dass jetzt nur noch 3 mal 11 subtrahiert werden können. Der Divisor 11 passt also oft in den Dividenden 135 ist 9 3 = 12. Und der Rest ist 36−33=3.

Auch mit der Bite-Methode ist es möglich, mit Dezimalbrüchen eine genauere Antwort zu finden. 3 muss noch durch 11 geteilt werden. Ein erster Versuch ergibt beispielsweise 0,2 × 11 = 2,2. 3−2,2=0,8 bleibt. Dieser Vorgang kann beliebig wiederholt werden.

Für größere Berechnungen ist es wünschenswert, eine eindeutige Notation zu verwenden. Auf der linken Seite sind zwei Schritte in der Berechnung. Die effizienteste Rechtschreibung auf der rechten Seite. Dies ist fast identisch mit der klassischen langen Division im obigen Beispiel, die direkt zum richtigen Ergebnis führt.

   SCHRITT 1 SCHRITT 2 EFFIZIENT 135 : 11 = 135 : 11 = 12 135 : 11 = 12 110 : 11 = 10             110 : 11 = 10                     110    25                        25                                25                              22 : 11 = 2                       22                               3                                 3

Anwendung auf Polynome

Lange Division kann auch für die Division von a . verwendet werden Polynom (Polynom) durch einen anderen. Analog zum obigen Beispiel folgt folgende lange Division:

  x 1 / x² 3x 2 x 2 x² x           2x 2 2x 2              0

Fazit: x² 3x 2 = (x 2) (x 1).

Ein weiteres Beispiel: (x³ x)/(x-1)

    x-1 / x³ x x² x 2 2/(x-1)x²: x³ - x²                               (x³ x) - (x³ - x²) = x³ x - x³ x² = x² xX: x² xx² - x                               (x² x) - (x² - x) = x² x - x² x = 2x2:                 2x2x - 2                               (2x) - (2x - 2) = 2x - 2x 2 = 22

Eine solche Aufteilung ist sinnvoll, wenn einer der Nullen eines Polynoms bekannt ist und man die anderen Nullstellen berechnen möchte.

Mikroprozessor

Neben dem Menschen wird der Long-Division-Algorithmus auch von Computern verwendet. In einem Mikroprozessor eine partielle Anweisung wird auf eine Weise ausgeführt, die der Art und Weise, wie wir Menschen sie ausführen, ziemlich nahe kommt.

Einfache Prozessoren, wie z MOS 6502 keine Unteranweisung haben. Um auf Computern mit diesem Prozessortyp teilen zu können, ist der Tail-Sharing-Algorithmus in der Software enthalten.

In dem Pentium eine Variante des langen Divisionsalgorithmus wurde angewendet; anstatt nur positive Zahlen auf die rechte Seite (die Antwort) zu schreiben, könnte der Pentium dort auch negative Zahlen schreiben. Dies ermöglichte es dem Pentium, eine schnellere Methode zu verwenden, um die richtige Zahl zu bestimmen.

Die Methode mit negativen Zahlen liefert jedoch nicht immer die richtige Antwort. Anhand einer Tabelle ermittelte der Pentium, in welchen Fällen er mit negativen Zahlen arbeiten durfte.

Irgendwo zwischen den Designräumen und der Fabrik entstand jedoch ein Fehler in der entsprechenden Tabelle. Dies führte zu den berüchtigten FDIV-Fehler, welche Intel führte zu vielen Gesichtsverlusten und erforderte einen teuren Rückruf.

Siehe auch

Externe Links

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