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In dem Mathematik und insbesondere in der abstrakte Algebra ist Verteilungsfähigkeit eine Eigenschaft von binäre Operationen, dass die Verteilungsrecht von dem elementare Algebra verallgemeinert. In der gewöhnlichen Arithmetik multiplizieren verteilt über summieren, beispielsweise:

2 × (1 3) = 2×1 2×3.

Die linke Seite dieser Gleichheit besteht aus dem Produkt der Zahl 2 und der Summe der Zahlen 1 und 3, während die rechte Seite die Summe der Einzelprodukte der Zahl 2 mit der Zahl 1 einerseits und die Zahl 3. Wenn Sie zuerst die Addition und dann die Multiplikation mit dem Ergebnis durchführen, können Sie auch zuerst die Multiplikation mit den beiden Summanden separat durchführen und dann die Ergebnisse addieren. Die Multiplikation "dividiert" sich sozusagen über die Addition.

Definition

Angenommen Sammlung${Anzeigestil S}$ und dann die binäre Operationen${Anzeigestil *}$ und ${Anzeigestil}$. Dann heißt die Operation ${Anzeigestil *}$

• linksverteilend Über ${Anzeigestil}$, wie für alle Elemente ${Anzeigestil x,y,Satz S}$ gilt:

${Anzeigestil x*(yz)=(x*y) (x*z)}$;

• rechtsverteilend Über ${Anzeigestil}$, wie für alle Elemente ${Anzeigestil x,y,Satz S}$ gilt:

${Anzeigestil (yz)*x=(y*x) (z*x)}$;

• verteilend Über ${Anzeigestil}$ wie die Operation ${Anzeigestil *}$ sowohl links als auch rechts verteilend ist ungefähr ${Anzeigestil}$.

Beispiele

• Multiplikation von Zahlen ist distributiv über die Addition von Zahlen für eine breite Klasse der verschiedenen Arten von Zahlen, von der natürliche Zahlen bis zum komplexe Zahlen und der Kardinalzahlen.
• Multiplikation von Ordnungszahlen ist dagegen nur linksverteilend und nicht rechtsverteilend.
• Matrix-Multiplikation ist verteilend über Matrixaddition, auch wenn die Matrixmultiplikation nicht kommutativ.
• Das Verband von Kollektionen verteilt sich über die Überschneidung, und der Querschnitt ist über die Vereinigung verteilt. Der Wirkungsquerschnitt ist daher über die symmetrischer Unterschied.
• Logische Disjunktion ("oder") ist distributiv über logische Konjunktion ("und"), und die Konjunktion ist über die Disjunktion verteilend. Konjunktion ist also distributiv über exklusive Disjunktion ("xor").
• Vor dem reale Nummern (und für alle total bestellte Kollektion) ist die Operation 'Maximum' über die Operation 'Minimum' verteilt und umgekehrt

${Anzeigestil max(a,min(b,c))=min(max(a,b),max(a,c))}$

${Anzeigestil min(a,max(b,c))=max(min(a,b),min(a,c))}$

• Vor dem ganze Zahlen ist der größter gemeinsamer Teiler darüber verteilen kleinstes gemeinsames Vielfaches, und umgekehrt

${displaystyle mathrm {ggd} (a,mathrm {kgv} (b,c))=mathrm {kgf} (mathrm {ggd} (a,b),mathrm {ggd} (a,c))}$

${displaystyle mathrm {kgf} (a,mathrm {ggd} (b,c))=mathrm {ggd} (mathrm {kgf} (a,b),mathrm {kgf} (a,c))}$

• Bei reellen Zahlen ist die Addition über die Operation 'Maximum' und damit auch über die Operation 'Minimum' distributiv.

${Anzeigestil a max(b,c)=max(a b,a c)}$

${Anzeigestil a min (b, c) = min (a b, a c)}$

Nicht ganz zufällig sind dies alles Beispiele für spezifische boolsche Algebra's, eine algebraische Struktur, bei der die Distributivität eine wichtige Eigenschaft ist.

Siehe auch

• Kommutativität
• Assoziativität