WikiDer > Matrixaddition

Matrixoptelling

In dem Lineare Algebra, Teil von dem Mathematik, ist ein Matrixaddition ein Operation wahr zwei Matrizen zusammenkommen aufaddiert bis zum entsprechend Elemente aufzuzählen. Darüber hinaus gibt es eine zweite Operation, die direkte Summe, die auch als eine Art Zusatz von Matrizen berücksichtigt werden.

elementweise Summe

Die übliche Matrixaddition ist für zwei Matrizen mit gleichem . definiert Abmessungen. Das Summe von zwei ${displaystyle mimen n}$ -Matrizen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ , bezeichnet durch ${Anzeigestil A}$ ${Anzeigestil B}$ , ist wieder ein ${displaystyle mimen n}$ -Matrix berechnet durch die entsprechenden Elemente von ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ zu addieren. Beispielsweise:

{displaystyle { egin{bmatrix}1&3/1&0/1&2end{bmatrix}} { egin{bmatrix}0&0/7&5/2&1end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}1 0&3 0/1 7&0 5/1 2&2 1end{bmatrix} }={ Anfang{bmatrix}1&3/8&5/3&3Ende{bmatrix}}}

Man kann auch eine Matrix aus einer anderen Matrix erstellen subtrahieren, solange beide Matrizen gleich sind Abmessungen haben. Die Matrix ${Anzeigestil A-B}$ wird durch die entsprechenden Elemente von . berechnet ${Anzeigestil B}$ von ${Anzeigestil A}$ zu subtrahieren. Die Dimension der Differenzmatrix ist die gleiche wie von ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ . Beispielsweise:

{displaystyle { egin{bmatrix}1&3/1&0/1&2end{bmatrix}}-{ egin{bmatrix}0&0/7&5/2&1end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}1-0&3-0/1-7&0-5/1 -2&2-1end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}1&3/-6&-5/-1&1end{bmatrix}}}

Direkte Summe

Eine andere Operation, die weniger häufig verwendet wird, ist die direkte Summe. Die direkte Summe der Matrizen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ der jeweiligen Abmessungen ${displaystyle mimen n}$ und ${displaystyle pimes q}$ ist eine Matrix der Größe ${displaystyle (mp) imes (n q)}$ definiert als

{displaystyle Aoplus B={ egin{bmatrix}A&0/0&Bend{bmatrix}}={ egin{bmatrix}a_{11}&cdots &a_{1n}&0&cdots &0/vdots &cdots &&vdots &vdots &cdots &vdatrix}&cdots_{ }&0 {11}&cdots &b_{1q}/vdots &cdots &vdots &vdots &cdots &vdots /0&cdots &0&b_{p1}&cdots &b_{pq}end{bmatrix}}}

Beispielsweise:

{displaystyle { egin{bmatrix}1&3&2/2&3&1end{bmatrix}}oplus { egin{bmatrix}1&6/0&1end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}1&3&2&0&0/2&3&1&0&0/0&0&0&}{16/0xmatrix}

Beachten Sie, dass die direkte Summe von zwei quadratische Matrizen ein Bogenmatrix von a Anzahl oder ein Multigraph kann mit einer Komponente für jedes Element darstellen, das direkt hinzugefügt werden soll.

Beachten Sie auch, dass jedes Element im direkte Summe von zwei Vektorräume von Matrizen kann als direkte Summe zweier Matrizen dargestellt werden.

Im Allgemeinen ist die direkte Summe von ${displaystyle n}$ Matrizen werden geschrieben als:

{displaystyle igoplus _{i=1}^{n}A_{i}={mbox{diag}}(A_{1},A_{2},A_{3},ldots ,A_{n})={ egin {bmatrix}A_{1}&0&ldots &0/0&A_{2}&ldots &0/vdots &vdots &ddots &vdots /0&0&ldots &A_{n}end{bmatrix}}.}

Eigenschaften der Matrixaddition

Die Matrixaddition hat einige Eigenschaften. wenn ${Anzeigestil A}$ , ${Anzeigestil B}$ und ${Anzeigestil C}$ Real ${displaystyle mimen n}$ Matrizen, dann:

Internalität: die Matrixsumme von ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ gibt einen anderen ${displaystyle mimen n}$ -Matrix

Kommutativität: ${Anzeigestil A B=B A}$

Assoziativität: ${Anzeigestil A B C = (A B) C = A (B C),}$

Neutralität: sie ${Anzeigestil O}$ ein Nullmatrix, dann ist ${Anzeigestil A O=O A=A}$

Symmetrie: sie ${displaystyle -A}$ die Matrix, die entsteht aus ${Anzeigestil A}$ indem man das Gegenteil aller Elemente nimmt, dann ${Anzeigestil A(-A)=(-A) A=O}$