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Das direkte Summe ist eine mathematische Technik zum Aufbau einer neuen Struktur der gleichen Art aus zwei oder mehr ähnlichen algebraischen Strukturen.

Umgekehrt wird es in der Regel als milder Triumph gewertet, wenn eine komplexe Struktur plötzlich äquivalent wird (z. isomorph) stellt sich als direkte Summe einfacherer Strukturen heraus. Strukturen, die nicht entsprechen einer direkten Summe nicht-trivialer Strukturen, werden oft mit Bezeichnungen wie "Singular" oder "irreduzibel".

Dieser Artikel nennt einige gängige Beispiele für direkte Summen. Es gibt auch eine abstrakte Definition des Begriffs Direktsumme in der Kategorientheorie, von denen unsere Beispiele Sonderfälle sind.

Direkte Summe zweier Gruppen

Konzernstrukturen liefern das erste wichtige Beispiel für eine direkte Summe. Mit einer Gruppe ${Anzeigestil(G,*)}$, bestehend aus a Sammlung${Anzeigestil G}$ und dann a binäre Operation${Anzeigestil *}$, und eine zweite Gruppe ${displaystyle(H,,cdot,)}$, bestehend aus einer Sammlung ${Anzeigestil H}$ und dann eine binäre Operation ${displaystyle cdot }$, wird zu einer binären Operation ${displaystyle circ }$ definiert auf dem kartesisches Produkt${displaystyle-Gimes H}$ durch:

${displaystyle circ :(G imes H) imes (G imes H) o G imes H:((g_{1},h_{1}),(g_{2},h_{2}))mapsto (g_{1 }*g_{2},h_{1}cdot h_{2})}$

In Worten: unter der neuen Gruppenbearbeitung, a Paar aus zwei ursprünglichen Paaren, die durch Zusammenfügen der einzelnen Mitglieder des Paares (Ursprung und Zweck) mit den ursprünglichen beiden Gruppenoperationen gebildet werden.

In der obigen Formel tritt das kartesische Produkt von Mengen auf zwei verschiedenen Ebenen auf: Einerseits, weil über dem Produkt ${displaystyle-Gimes H}$ gesprochen, und andererseits, weil binäre Operationen immer auf einem kartesischen Produkt arbeiten.

Das kartesische Produkt, ausgestattet mit der Gruppenbedienung ${displaystyle circ }$, heißt der direkte Summe der Gruppen ${Anzeigestil G}$ und ${Anzeigestil H}$.Die direkte Summe wird normalerweise mit einem Pluszeichen in einem Kreis notiert:

${Anzeigestil Goplus H}$

Die Gruppeneigenschaften werden für diese Definition nicht verwendet. Es ist daher auch für allgemeinere binäre Operationen nützlich, wie z Gruppoiden oder Halbgruppen.

Man kann leicht zeigen, dass, wenn die einzelnen Komponenten des kartesischen Produkts die vier Gruppenaxiome erfüllen, auch die direkte Summe. Das neutrale Element ist das Paar aus den beiden separaten neutralen Elementen von elements ${Anzeigestil G}$ und ${Anzeigestil H}$.

Die direkte Summe von abelsche Gruppen ist auch abelsch.

Beispiele

Das Kleins Vierergruppe isomorph zur direkten Summe der zyklische Gruppe von zwei Elementen mit sich selbst:

${displaystyle V_{4}simeq mathbb {Z} /2mathbb {Z} plus mathbb {Z} /2mathbb {Z} }$

Für zwei natürliche Zahlen${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$ ist die zyklische Ordnungsgruppe ${displaystyle pq}$ genau dann isomorph zum direkten Produkt der zyklischen Ordnungsgruppen ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$,

${displaystyle mathbb {Z} /pqmathbb {Z} simeq mathbb {Z} /pmathbb {Z} plus mathbb {Z} /qmathbb {Z} }$

wenn ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$ keinen gemeinsamen Nenner haben:

Direkte Summe beliebig vieler Gruppen

Die obige Definition kann leicht für drei Sätze umgeschrieben werden ${Anzeigestil G,H}$ und ${Anzeigestil I}$, oder allgemein für die komponentenweise Zusammensetzung von ${displaystyle n}$-Tupel von a ${displaystyle n}$-faches kartesisches Produkt von Gruppen.

An einer unendlich Anzahl von Gruppen wird die Definition normalerweise in einem wichtigen Punkt modifiziert: Es ist erforderlich, dass die unendlichen Tupel in allen Komponenten, mit Ausnahme einer endlichen Anzahl von Komponenten, das neutrale Element enthalten. Die direkte Summe unendlich vieler Gruppen ist also keine Gruppenoperation auf das kartesische Produkt der einzelnen Trägermengen, sondern auf eine strikte Teilmenge des kartesischen Produkts. Die Notation ist ziemlich intuitiv

${displaystyle igoplus _{iin I}G_{i}}$

Struktursatz für endliche abelsche Gruppen

Ein wichtiges Ergebnis in der Theorie der abelschen Gruppen ist folgendes.

Irgendein endliches abelsche Gruppe ist isomorph mit einer direkten Summe von zyklische Gruppen.

Diese Aussage ist allgemein nicht gültig für nicht-abelsche Gruppen. Eine Gruppe ohne Real normale teile heißt ein einfaches oder Einzelgruppe. Das Klassifizierung nichtzyklischer einfacher Gruppen gilt als vollständig, aber ihr Beweis umfasst Zehntausende von Seiten, verteilt auf Dutzende von Artikeln.

Direkte Summe der Ringe

Durch gleichzeitiges Anwenden der Definition der direkten Summe binärer Operationen auf die beiden bearbeitet von a Ringstruktur, erhalten wir die direkte Summe der Ringe. Wenn die Originalringe a . haben kommutativ Multiplikation, dann auch deren direkte Summe. Wenn eine endliche Anzahl von Ringen a Einheitselement (neutrales Element für die Multiplikation), haben also ihre direkte Summe.

Die direkte (Ring-)Summe von Körper/Felder ist kein Körper/Feld, außer in einigen Randfällen. Allgemeiner ist die direkte Summe von nullteilerfrei Ringe sind normalerweise nicht nullteilerfrei.

Direkte Summe von Modulen und Vektorräumen

Es gibt keine brauchbare allgemeine Definition für die direkte Summe von zwei Module oder Vektorräume. Die direkte Summe zweier Module über denselben Ring kann jedoch sein ${Anzeigestil R}$ (oder zwei Vektorräume über dem gleichen Halbbild/Halbbild ${Anzeigestil K}$), und das Ergebnis ist wieder ein Modul übrig ${Anzeigestil R}$ (bzw. ein Vektorraum über ${Anzeigestil K}$).

Die direkte Summe abelscher Gruppen kann hier als Sonderfall angesehen werden, da abelsche Gruppen eindeutig zu Modulen über den Ring der ganzen Zahlen verwandt sind.