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EIN Halbgruppe oder Halbgruppe ist in der Mathematik, genauer gesagt in der abstrakte Algebra, ein algebraische Struktur das besteht aus a Sammlung zusammen mit a assoziativbinäre Operation. Mit anderen Worten, eine Halbgruppe ist ein Assoziativ Magma.

Die formale Untersuchung von Halbgruppen begann vor etwa hundert Jahren, im frühen 20. Jahrhundert. Seit den 1950er Jahren ist die Theorie der endliche Halbgruppen von besonderer Bedeutung in der Theoretische Informatik, hauptsächlich wegen der natürlichen Beziehung zwischen endlichen Halbgruppen und endliche Automaten.

Definition

EIN Halbgruppe${displaystyle(H,*)}$ ist eine Sammlung ${Anzeigestil H}$ mit einem Assoziativ binäre Bearbeitung${displaystyle *:Himes H oder H}$.

Es ist üblich, ${Anzeigestil a*b}$ schreiben statt ${Anzeigestil *(a,b)}$ für das Ergebnis der Operation ${Anzeigestil *}$ auf die Elemente angewendet ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ von ${Anzeigestil H}$.

Die erwähnte Assoziativeigenschaft der Operation bedeutet, dass für alle ${Anzeigestil a,b,cin H}$ gilt:

${Anzeigestil (a*b)*c=a*(b*c)}$

Beispiele

• Das natürliche Zahlen mit dem Zusatz, notiert als ${displaystyle (mathbb {N} , )}$, bilden eine Halbgruppe.
• Das ganze Zahlen mit der Multiplikation, notiert als ${displaystyle (mathbb {Z} ,cdot )}$, bilden eine Halbgruppe.
• Das reale Nummern mit der Multiplikation, notiert als ${displaystyle (mathbb {R} ,cdot )}$, bilden eine Halbgruppe.
• Die ganzen Zahlen mit der Subtraktion, geschrieben als ${displaystyle (mathbb {Z} ,-)}$, sind keine Halbgruppe, denn zum Beispiel für ${Anzeigestil a=5,,b=4,c=3}$ die Eigenschaft der Assoziativität gilt nicht:

${displaystyle 5-(4-3)eq (5-4)-3}$

Halbgruppen in der Analyse

In dem Operatortheorie, eine Filiale der Funktionsanalyse, bedeutet der Begriff Halbgruppe normalerweise a einparametrige Halbgruppe stetiger linearer Transformationen von a Banach-Raum. Dies ist eigentlich ein ganz besonderer Fall, nämlich der des Statue der Halbgruppe ${displaystyle (mathbb {R} ,cdot ,)}$ unter einem Homomorphismus das ist stetig in Bezug auf ein bestimmtes Topologie.