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Functionaalanalyse

Innerhalb der Mathematik ist Funktionsanalyse der Teilbereich der Analyse, das sich mit der Erforschung von Vektorräume und Betreiber, die auf diese Vektorräume wirken. Die Funktionsanalyse hat ihre historischen Wurzeln in der Erforschung von Veranstaltungsräume, insbesondere Transformationen von Funktionen, wie Fourier-Transformationen, sowie im Studium von Differential- und Integralgleichungen, angewendet auf Funktionen von Funktionen.

Die Verwendung des Wortes funktional geht zurück zum Variationskonto, was eine Funktion impliziert, deren Argument auch eine Funktion ist. Die ältesten Probleme der Funktionsanalyse sind die Extremalprobleme innerhalb der Variationskonto. Dies beinhaltet das Isolieren einer Funktion von einer gegebenen Klasse von Funktionen, die einen extremen (minimalen oder maximalen) Wert einer Eigenschaft erreicht.

Die Verwendung des Wortes im Allgemeinen wird dem zugeschrieben Italienisch Mathematiker und Physiker Vito Volterra, während die Einführung und Weiterentwicklung der Funktionsanalyse hauptsächlich auf a Gruppe von Polieren Mathematiker überall Stefan Banach.

Aus heutiger Sicht wird die Funktionsanalyse auch als Verallgemeinerung der Lineare Algebra zu unendlich-dimensional Vektorräume, die mit a . ausgestattet sind Topologie. Das Lineare Algebra beschäftigt sich dagegen hauptsächlich mit endlichdimensionalen Räumen. Ein wichtiger Bestandteil der Funktionsanalyse ist die Erweiterung der Maßtheorie, das Integralrechnung und der Wahrscheinlichkeit in unendlich-dimensionale Räume, auch als unendlich-dimensionale Analyse bekannt.

Normalisierte Vektorräume

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Die grundlegende und historisch erste Klasse von Leerzeichen, die in der Funktionsanalyse untersucht werden, sind voll normierte Vektorräume über die Real- oder Komplex Zahlen. Solche Räume werden Banach-Räume erwähnt. Ein wichtiges Beispiel ist a Hilbert-Raum, Wert Norm stammt von a internes Produkt. Diese Räume befinden sich in vielen Bereichen, einschließlich der mathematische Formulierung der Quantenmechanik, von grundlegender Bedeutung.

Allgemeiner gesagt umfasst die Funktionsanalyse das Studium von Frechet-Zimmer und andere topologische Vektorräume, die nicht mit a . ausgestattet sind Norm.

Ein wichtiger Studiengegenstand in der Funktionsanalyse sind die kontinuierlich lineare Operatoren, die auf . definiert sind Hilbert- und Banach-Räume. Diese linearen Operatoren führen natürlich zur Definition von C* Algebra's und andere Operatoralgebras.

Hilbert-Räume

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Hilbert-Räume kann vollständig klassifiziert werden: für alle Kardinalität des Orthonormalbasis Existiert darauf ein eindeutiger Hilbertraum? Isomorphismen davon. Da endlichdimensionale Hilberträume im Rahmen der Lineare Algebra vollständig verstanden und berücksichtigt werden Morphismen van-Hilbert-Räume lassen sich immer in Morphismen von Räumen mit aleph-null (ℵ₀) Dimensionalität beschäftigt sich die Funktionalanalyse von Hilbert-Räumen hauptsächlich mit dem eindeutigen Hilbert-Raum der Dimensionalität Aleph-Null und seinen Morphismen. Eines der offenen Probleme in der Funktionsanalyse besteht darin, einen Beweis dafür zu finden, dass alle beschränkter linearer Operator auf einem Hilbertraum ein geeignetes invarianter Unterraum hast. Viele Sonderfälle davon invariantes Unterraumproblem wurden bereits bewiesen, aber ein allgemeiner Beweis wurde noch nicht gefunden.

Banach-Räume

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Allgemeines Banach-Räume sind komplizierter und lassen sich nicht so einfach klassifizieren als Hilbert-Räume. Insbesondere fehlt Banachräumen ein Begriff analog zu a Orthonormalbasis.

Beispiele für Banach-Räume sind ${displaystyle L^{p}}$ -Leerzeichen, für jede reelle Zahl ${displaystyle pgeq 1}$ (sehen l^p-Räume). Gegeben ${displaystyle pgeq 1}$ und eine Sammlung ${Anzeigestil X}$ (was kann oder nicht zählbar sein kann), existiert ${Anzeigestil L^{p}(X)}$ von allen Messbare Funktionen von Lebesgue, von denen die absolute Wertep-e Potenz hat ein endliches Integral".

Das heißt, der Banachraum besteht aus allen Lebesgue-messbaren Funktionen ${displaystyle f}$ , für die

{displaystyle int _{xin X}left|f(x)ight|^{p},dx< infty}

.

wenn ${Anzeigestil X}$ abzählbar, das Integral kann durch eine Summe ersetzt werden

{displaystyle sum _{X}left|f(x)ight|^{p}< infty}

,

obwohl für zählbar ${Anzeigestil X}$ der Raum wird normalerweise mit bezeichnet ${displaystyle ell^{p}(X)}$ .

Ein Großteil des Studiums der Banach-Räume bezieht sich auf die Doppelraum: der Raum aller of kontinuierlich lineare Bilder des Raumes auf seinem Untergrund Feld, die sogenannten Funktionale. Ein Banachraum kann kanonisch mit einem Unterraum seines Biduals identifiziert werden, also dem Dual seines Dualraums. Das entsprechende Bild ist a Isometrie, aber im Allgemeinen nicht "auf". Ein allgemeiner Banachraum und sein Bidual müssen im Gegensatz zur endlichdimensionalen Situation nicht einmal isometrisch isomorph sein. Dies wird in der erklärt Doppelraum Artikel.

Der Begriff von a Derivat kann somit auf Funktionen zwischen beliebigen Banachräumen erweitert werden. Siehe zum Beispiel den Artikel über die Fréchet-Derivat.

Hauptergebnisse

Vier wichtige Ergebnisse der Funktionsanalyse sind:

Es Grundsatz der einheitlichen Begrenzung (auch bekannt als Banach-Steinhaus-Theorem) gilt für Sammlungen von Operatoren mit Grenzen.
Einer der Spektralsätze (es gibt mehr als eine) gibt eine Integralformel für die normale Betreiber auf einem Hilbertraum. Dieser Satz ist wesentlich für die mathematische Formulierung der Quantenmechanik.
Das Hahn-Banach .Theorem erweitert Funktionale normerhaltend von einem Teilraum auf den Gesamtraum. Eine Implikation ist die Nicht-Trivialität von Doppelraum.
Das Bildregal öffnen und der Satz des geschlossenen Graphen.

Beispiel

Ein Ball rollt reibungsfrei von einem 1000 m hohen Berghang über eine horizontale Strecke von 1000 m Welche Form sollte der Hang haben, um den Abstieg so kurz wie möglich zu machen? (siehe auch brachistochron)

Mathematisch betrachten wir die Menge aller glatten reellen Funktionen, die von (1000, 0) nach (0, 1000) absteigen. Die Fallzeit des Balls bei einer gegebenen Steigungsfunktion ist eine bestimmte Integral- wobei die Funktion und ihre erste Derivat Performance. Die Fallzeit heißt a funktional weil es eine Funktion einer Funktion ist.

Wie gewohnt Differentialrechnung, kann auch die Lösung dafür sein Optimierungsproblem erreicht man mit a Derivat gleich null. Die wichtigste Neuerung ist, dass das Funktional nicht mehr von endlich vielen reellen Parametern abhängt, sondern von einer Funktion – also von einem Element aus einem unendlichdimensionalen Raum.

Anwendungen in der Physik Toepassing

Eine wichtige frühe Anwendung der Funktionsanalyse war die Neuformulierung der analytische Mechanik durch Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). In Lagranges Formulierung folgt jedes mechanische System einem Job die durch Minimierung von a . bestimmt wird Integral-, die sogenannte Aktion funktional ("Prinzip des Mindestens" Aktion").

Seit dem Ende des neunzehnten Jahrhunderts mit dem Studium der elektromagnetische Felder (Maxwell-Gleichungen) und später die Quantenmechanik (Schrödinger- und Dirac-Vergleich) wurden weitere wichtige Anwendungen der Analyse auf unendlich dimensionale Räume. Ein wichtiger Impuls kam von kwam David Hilbert.

Moderne Definition

In der zeitgenössischen Mathematik bedeutet der Begriff Funktionsanalyse: Studium von topologische Vektorräume. Ein topologischer Vektorraum ist reell oder komplex Vektorraum, normalerweise unendlichdimensional, mit a Topologie das entspricht dem HausdorffEigentum (siehe auch zie Trennungsaxiom) und die mit üblichen Vektoroperationen kompatibel ist; dh die Addition von Vektoren und die skalare Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor sind stetige Funktionen. Die meisten "natürlichen" Funktionsmengen kann man sich als topologische Vektorräume vorstellen. Der Begriff Verteilung, erfunden von Paul Dirac und formalisiert von Laurent Schwartz, ergibt einen topologischen Vektorraum mit no Funktionsraum ist (deren Vektoren keine gewöhnlichen Funktionen sind).

Die systematische Erforschung topologischer Vektorräume boomt seit den 1930er Jahren, teilweise unter dem Einfluss einer Gruppe von Mathematikern um Stefan Banach. Wichtige Konzepte sind Banach-Raum (ein Vektorraum mit a voll Norm) und Hilbert-Raum (ein Banachraum, dessen Norm von a Skalarprodukt).

Das Operatortheorie Studien lineare Bilder zwischen topologischen Vektorräumen.

Gegenwärtig ist ein gutes Verständnis unter anderem der Quantenmechanik ohne eine gründliche Untersuchung der Eigenschaften topologischer Vektorräume nicht möglich.

Wissenswertes

In Dokumenten der Europäische Union und von den flämischen Fonds für wissenschaftliche Forschung taucht das Synonym Job-Analyse auf.

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