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In dem Funktionsanalyse, eine Unterregion der Mathematik, ist ein Banach-Raum ein Real oder KomplexVektorraum die mit einem ausgestattet ist Norm und diejenigen in Bezug auf diese Norm völlig ist. Banach-Räume werden am häufigsten verwendet topologische Vektorräume; ihre Topologie ist gegeben durch a Norm.

Viele der unendlich dimensionalVeranstaltungsräume der in der Analyse untersucht werden Banach-Räume. Darunter sind auch Zimmer von kontinuierliche Funktionen (stetige Funktionen auf a kompaktHausdorff-Raum), Leerzeichen von lebesgue-integrierbar Funktionen, bekannt als l^p-Räume und Räume von holomorphe Funktionen, bekannt als winterharte Räume.

Banach-Räume sind nach dem named benannt PolierenMathematikerStefan Banach, der dieses Konzept um 1920-1922 zusammen mit Hans Hahn und Edward Helly.^[1]

Definition

EIN Banach-Raum ist ein vollnormierter Vektorraum. Dies bedeutet, dass ein Banachraum a Vektorraum${Anzeigestil V}$ ist über den reellen oder komplexen Zahlen mit a Norm${Anzeigestil |cdot |}$, und die in Bezug auf diese Norm vollständig ist. Das bedeutet, dass jeder cauchyrij hinsichtlich der norminduzierten metrisch

${Anzeigestil d(x,y)=|x-y|}$

konvergent ist in ${Anzeigestil V}$), hat also eine Grenze in ${Anzeigestil V}$.

Nach einem Riesz-Theorem ist diese Konvergenzforderung äquivalent zu der Forderung, dass alle absolut konvergent Serie hat eine Grenze.^[2]

Abmessungen

endlich dimensional banach räume ungefähr gleich Zahlenfeld${Anzeigestil K}$ und mit dem gleichen Abmessungen, sind einander gleichwertig. Das heißt, es gibt einen reversiblen lineare Transformation existiert es in beide richtungen kontinuierlich ist. Die interessantesten Banach-Räume sind unendlich dimensional.

Beispiele

Ein wichtiges Beispiel ist die ${displaystyle L^{p}}$-Platz${Displaystil L^{1}}$ von lebesgue-integrierbaren skalaren Funktionsklassen auf a Raum messen, mit dem Standard de lebesgue integral des absoluten Wertes.

Allgemeiner gesagt, sie ${displaystyle p>1}$ eine reelle Zahl ist, dann ist der Raum ${displaystyle L^{p}}$ von messbaren skalaren Funktionsklassen, deren ${displaystyle p}$-die Macht ist lebesgue-integrierbar, ein Banach-Raum. In diesem Fall ist die Norm einer Funktion, de ${displaystyle p}$-die Wurzel der Macht aus dem Integral von ${displaystyle p}$-die Macht des absoluten Wertes.

Vor dem ${Anzeigestil p=2}$ ist das obige Beispiel auch a hilbert zimmer. Alle Hilberträume sind per Definition Banachräume, aber nicht umgekehrt.

Die obigen Beispiele werden im Artikel genauer besprochen LP-Raum.

Die beschränkte stetige komplexwertige Funktionen auf (einen Teil von) ${displaystyle R^{n}}$, mit der Norm der kleinsten oberen Schranke des Absolutwertes, einen Banachraum. Dito für die beschränkten Funktionen, die nicht notwendigerweise stetig sind.

Sonderkonstruktionen

Die Struktur eines Banachraums kann oft durch Hinzufügen von Vektormultiplikationen nützlich bereichert werden, wie z. Wir nehmen an, dass diese Multiplikation assoziativ ist, und zweiseitig verteilend relativ zur Addition von Vektoren. Der Banachraum ist dann ein (assoziativer) Vektoralgebra.

Wenn diese Multiplikation außerdem die Ungleichung erfüllt ${Anzeigestil |xcdot y|leq |x|cdot |y|}$ und über ein neutrales Element ${displaystyle e}$ hast (${Displaystil xcdot e=x=ecdot x}$), spricht man von a Banach-Algebra.

Die Multiplikation ist nicht notwendig kommutativ sein. Wie bei allen Vektoren ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ zählt das ${Displaystil xcdot y=ycdot x}$, man spricht von a kommutative Banachalgebra.

Doppelter Banachraum

das duale topologischer Vektorraum${Displaystil V^{*}}$ besteht aus den stetigen linearen Abbildungen von ${Anzeigestil V}$ zu ihrem Skalarkörper.

Im Allgemeinen, ${Displaystil V^{*}}$ ausgestattet mit der Schwachsterntopologie, siehe Artikel topologischer Vektorraum.Weil ${Anzeigestil V}$ ein normierter Vektorraum ist, die Elemente von have ${Displaystil V^{*}}$ auch ein Standard:

${displaystyle |f|=sup{|f(x)|;xin V,|x|=1}}$

Der duale Raum als Menge fällt mit dem Raum zusammen

${displaystyle {mathcal {B}}(V,K)={f:V o K,{hbox{linear}},|f|$

und erbt damit seine Normtopologie.

Diese beiden Topologien auf ${Displaystil V^{*}}$ sind immer vergleichbar: die Sammlung der offene Sammlungen in der schwachen Sterntopologie ist Teil der Sammlung offener Mengen in der Normtopologie.

Auch die Normfunktion auf dem Dualraum scheint zu einer vollständigen Metrik zu führen, so dass der Dualraum mit dieser Norm wieder ein Banachraum ist. Die Leute sprechen davon banach-dual oder der doppelter Banach-Raum wenn man explizit angeben will, dass man in der Normtopologie arbeitet.

Der duale Banach-Raum hat natürlich wiederum einen Banach-Dual. Das nennt man noemt zweisprachig des ursprünglichen Raumes, notiert ${Displaystil V^{**}}$ Es gibt eine natürliche isometrische Injektion von ${Anzeigestil V}$ in ihrem bidualen Raum. Im Allgemeinen ist diese Injektion nicht a bijektion. In den besonderen Fällen, in denen ${Anzeigestil V=V^{**}}$, wir nennen ${Anzeigestil V}$ ein reflexiv banach raum.

Beispiele

wenn ${displaystyle 1$ und

${displaystyle {1 über p} {1 über q}=1}$,

dann die Leerzeichen ${displaystyle L^{p}}$ und ${Displaystil L^{q}}$ den Banach-Doppelraum des jeweils anderen. Sie sind damit insbesondere auch reflexiv.

Der Raum ${displaystyle L^{infty }}$ (im Wesentlichen beschränkte Klassen von Lebesgue-messbaren Funktionen) ist das Banach-Dual von ${Displaystil L^{1}}$ (Klassen integrierbarer Lebesgue-Funktionen), aber das Gegenteil ist im Allgemeinen nicht der Fall. ${Displaystil L^{1}}$ ist daher im Allgemeinen nicht reflexiv.

Hamel-Dimension

Von dem Ganzheit von Banachräumen und den Baire-Kategorisierung folgt, dass a Schinken Basis eines unendlichdimensionalen Banachraums unzählbar ist.

Derivate

Auf einem Banachraum können mehrere Konzepte einer Ableitung definiert werden. Siehe die Artikel über die Fréchet-Derivat und der Tortenderivat.

Verallgemeinerungen

Mehrere wichtige Räume in der Funktionalanalysis, zum Beispiel der Raum aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen ${displaystyle mathbb {R} oder mathbb {R} }$, und der Raum von allem Ausschüttungen auf ${displaystyle mathbb {R} }$, sind vollständig, aber nicht normierte Vektorräume und daher keine Banach-Räume. Im Frechet-Zimmer hast du eine volle? metrisch, während LF-Zimmer völlig Uniform Vektorräume, die sich als Grenzen von Fréchet-Räumen darstellen.

Siehe auch

• Weltraum (Mathematik)

Verweise

• (fr) Stefan Banach (1932) Theorie des opérations linéaires, Warschau, Subwencji Funduszu Kultury Narodowej, Monographie Matematyczne, 1
• (und) Nicolas Bourbakic (1987), Topologische Vektorräume, Elemente der Mathematik, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3540136279