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Hilbert-Räume können verwendet werden, um die harmonische Reihe schwingender Saiten zu studieren.

In dem Funktionsanalyse, eine Unterregion der Mathematik, ist ein hilbert zimmer, benannt nach dem DeutscheMathematikerDavid Hilbert, eine Zusammenfassung Vektorraum die mit dem zusätzlichen . ausgestattet ist Struktur von a internes Produkt. Ein Hilbertraum verallgemeinert den Begriff euklidischer Raum und erweitert die Methoden der Vektoralgebra und der Analyse des zweidimensionalen euklidische Ebene und das dreidimensionale Platz freue mich auf zimmer mit a endlich oder unendlich Nummer Maße.

Dadurch sind die Konzepte Länge und Ecke in einem Hilbertraum definiert und Längen und Winkel in einem Hilbertraum können immer gemessen werden. Darüber hinaus ist es weiterhin erforderlich, dass Hilbert-Räume bezüglich der Normvöllig sein. Vollständigkeit bedeutet, dass ein Hilbertraum genügend viele Grenzen in einer Weise, dass die Techniken der Analyse in einem Hilbert-Raum verwendet werden können.

Hilberträume scheinen in der naturally natürlich vorzukommen Mathematik, Physik und der Technik, normalerweise als unendlich dimensional Veranstaltungsräume. Unter diesem Gesichtspunkt wurden auch die frühesten Hilbert-Räume im ersten Jahrzehnt des 20 David Hilbert, Erhard Schmidt und Frigyes Rieszo. Hilberträume sind unverzichtbare Werkzeuge in den Theorien der partielle Differentialgleichungen, das Quantenmechanik, das Fourier-Analyse (einschließlich Bewerbungen im in Signalverarbeitung) und der ergodische Theorie, die die mathematische Grundlage für das Studium der Thermodynamik. John von Neumann prägte den Begriff "Hilbert-Raum" für den abstrakten Begriff, der "vielen dieser vielfältigen Anwendungen zugrunde liegt". Der Erfolg der Hilbert-Weltraummethoden läutete den Beginn einer sehr fruchtbaren Zeit für die Funktionsanalyse. Abgesehen vom Klassiker euklidische Räume sind Beispiele für Hilbert spaceruimte Räume von quadratisch integrierbaren Funktionen, Zeilenabstand, Sobolev-Räume, bestehend aus verallgemeinerte Funktionen und winterharte Räume von holomorphe Funktionen.

Geometer Intuition spielt in vielen Aspekten der Hilbertschen Raumtheorie eine wichtige Rolle. Analog der Satz des Pythagoras und der Parallelogrammgesetz sind in einem Hilbertraum gültig. Spielen auf einer tieferen Ebene aufrecht Projektionen auf einen Unterraum (das Analogon zur Bestimmung der Höhenlinie in a Dreieck) eine wichtige Rolle in Optimierungsprobleme und andere Aspekte der Theorie. EIN Element eines Hilbertraums kann eindeutig durch seine Koordinaten in Bezug auf a Sammlung von Koordinatenachsen (ein Orthonormalbasis), analog zu Kartesischen Koordinaten in dem eben. Wenn dieser Satz von Koordinatenachsen abzählbar unendlich bedeutet, dass ein Hilbertraum auch durch in beschrieben werden kann unendliche Reihen Das quadratisch addierbar sein. Lineare Operatoren auf einem hilbertplatz sind auch ganz konkret Objekte: in vielen Fällen sind sie Transformationen die durch verschiedene Faktoren den Raum in zueinander senkrechten Richtungen in einer Bedeutung dehnen oder zusammenziehen, die durch das Studium ihrer Spektrum.

Jeder hilbertraum ist a Banach-Raum, aber nicht alle Banach-Räume sind Hilbert-Räume. Wenn ein Banach-Raum ein Hilbert-Raum ist, lässt sich das Skalarprodukt des Hilbert-Raums eindeutig aus der Normfunktion rekonstruieren.

Definition und Beispiele

Motivierendes Beispiel: Euklidischer Raum

Eines der bekanntesten Beispiele für einen Hilbertraum ist der euklidischer Raum, die aus dem dreidimensionalen Vektoren, bezeichnet durch ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$, und ausgestattet mit einem internes Produkt als zusätzliches Struktur. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ ist eine reelle Zahl ${displaystyle xcdot y}$, das die Eigenschaften erfüllt:

1. es ist symmetrisch: ${Displaystil xcdot y=ycdot x}$;
2. es ist linear in seinem ersten und wegen der Symmetrie auch zweiten Argument: ${displaystyle (ax_{1} bx_{2})cdot y=a x_{1}cdot y b x_{2}cdot y}$ für alle Skalare ${Anzeigestil a, b}$ und Vektoren ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$;
3. es ist positiv-definitiv: für alle Vektoren ${Anzeigestil x}$ ist ${displaystyle xcdot xgeq 0,}$ mit Gleichberechtigung dann und nur dann, wenn${Anzeigestil x=0}$.

wenn ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ werden angezeigt in Kartesischen Koordinaten, das Skalarprodukt ist definiert durch

${displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})cdot (y_{1},y_{2},y_{3})=x_{1}y_{1} x_{2}y_{ 2} x_{3}y_{3}}$.

Jede andere Operation an Vektorpaaren, die wie das obige Skalarprodukt diese drei Eigenschaften erfüllt, wird auch (reales) Skalarprodukt genannt. EIN Vektorraum mit einem solchen internen Produkt ausgestattet ist als (echte) interner Produktraum. Jeder endlichdimensionale innere Produktraum ist also ein Hilbertraum. Das grundlegende Merkmal des Punktprodukts, das es mit der euklidischen Geometrie verbindet, besteht darin, dass es sich sowohl auf die Länge (oder Norm) eines Vektors, bezeichnet mit ${Anzeigestil |x|}$ wie an der ecke ${Anzeigestil-Heta}$ zwischen zwei Vektoren ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ nach der Formel

${displaystyle xcdot y=|x|,|y|,cos heta }$.

Multivariable Analyse im euklidischen Raum beruht auf der Möglichkeit Grenzen und haben nützliche Kriterien, um zu dem Schluss zu kommen, dass Grenzen existieren. EIN mathematische Folge

${Displaystyle-Summe _{n=0}^{infty }x_{n}}$

von Vektoren in der ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$, absolut konvergiert wenn die Summe der Längen als gewöhnliche Folge reeller Zahlen konvergiert^[1], also wenn:

${Displaystyle-Summe _{k=0}^{infty}|x_{k}|$

Wie bei einer Menge von Skalaren konvergiert eine absolut konvergente Menge von Vektoren gegen einen Grenzvektor im euklidischen Raum, in dem Sinne, dass es einen Vektor ${Anzeigestil L}$ ist so, dass:

${displaystyle left|L-sum _{k=0}^{n}x_{k}ight| o 0quad { ext{if }}n o infty }$

Diese Eigenschaft drückt die Ganzheit aus dem euklidischen Raum: Eine absolut konvergierende Reihe konvergiert auch im normalen Sinne. Mit anderen Worten: alle cauchyrij ist konvergent.

Definition

EIN hilbert zimmer${Anzeigestil H}$ ist ein Real oder Komplexinterner Produktraum, also auch Vektorraum mit einem definierten internes Produkt, das ist auch ein voller metrischer Raum ist bezüglich des durch das Skalarprodukt induzierten Produkts Norm. Das heißt, jeder cauchyrij im ${Anzeigestil H}$ ist konvergent, also a Grenze im ${Anzeigestil H}$ hast.^[2]

Das durch das interne Produkt ${displaystyle langle cdot , cdot winkel }$ induzierte Norm ist definiert als die reellwertige Funktion

${displaystyle |x|={sqrt {langle x,xangle }},}$

und der Abstand zwischen zwei Punkten ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ im ${Anzeigestil H}$ ist im Sinne der Norm definiert als

${Anzeigestil d(x,y)=|x-y|}$

Bezüglich einer so definierten Abstandsfunktion ist jeder innere Produktraum a metrischer Raum. Ein solcher interner Produktraum wird manchmal als a prähilbert raum.^[3] Ein Prähilbertraum wird nur dann ein Hilbertraum, wenn er zusätzlich dazu völlig ist. Vollständigkeit wird durch die Verwendung des ausgedrückt Cauchy-Kriterium für Serien in ${Anzeigestil H}$: ein Prähilbertraum ${Anzeigestil H}$ ist komplett wie jeder cauchyrijbezüglich dieses Standards konvergiert zu einer Element in diesem Raum.

Vollständigkeit kann durch folgende äquivalente Bedingung charakterisiert werden: als Menge von Vektoren ${displaystyle extstyle {sum _{k=0}^{infty }u_{k}}}$absolut konvergiert in dem Sinne, dass

${displaystyle sum _{k=0}^{infty }|u_{k}|$

dann konvergiert die Reihe in ${Anzeigestil H}$, in dem Sinne, dass die Partialsummen zu einem Element von ${Anzeigestil H}$ konvergieren.

Als vollständig normierter Raum sind Hilberträume per Definition auch banach räume. Als solche sind sie topologische Vektorräume, wodurch topologisch Begriffe wie die Offenheit und Geschlossenheit von Teilmengen sind gut definiert. Von besonderem Interesse ist der Begriff eines geschlossenen linearer Unterraum eines Hilbertraums, der mit dem durch eine Restriktion induzierten Skalarprodukt auch vollständig ist (da a geschlossene Sammlung in einem vollständigen metrischen Raum) und damit an sich ein Hilbertraum.

Zweites Beispiel: Zeilenräume

Der Fahrraum ${displaystyle ell^{2}}$ besteht aus allem unendliche Reihen${displaystyle z=(z_{1},z_{2},Punkte)}$ komplexer Zahlen, so dass die Serie

${Displaystyle-Summe _{n=1}^{infty}|z_{n}|^{2}}$

konvergieren. Das innere Produkt von ${displaystyle ell^{2}}$ ist definiert durch

${displaystyle langle z,wangle =sum _{n=1}^{infty }z_{n}{overline {w_{n}}},}$

deren Existenz durch die letzte konvergierende Reihe auf der Grundlage der Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

Der Raum ist vollständig, da eine (in der Norm) absolut konvergente Reihe von Elementen besteht aus ${displaystyle ell^{2}}$ konvergiert gegen ein Element von ${displaystyle ell^{2}}$. Der Beweis ist elementar im mathematische Analyse, und zeigt, dass Folgen von Elementen aus dem Raum wie eine Folge komplexer Zahlen (oder Vektoren in einem endlichdimensionalen euklidischen Raum) behandelt werden können.^[4]

Geschichte

David Hilbert

Vor der Entwicklung der Hilberträume waren Mathematikern und Physikern bereits andere Verallgemeinerungen euklidischer Räume bekannt. Insbesondere die Idee von a abstrakter linearer Raum hatte sich Ende des 19. Jahrhunderts durchgesetzt^[5] Ein abstrakter Vektorraum ist ein Raum, dessen Elemente addiert und mit Skalarwerten multipliziert werden können (wie z Real- oder komplexe Zahlen), ohne diese Elemente unbedingt mit zu identifizieren "geometrische" Vektoren, wie Orts- und Impulsvektoren in physikalischen Systemen.

Andere ähnliche Strukturen bereits zu Beginn des 20. Jahrhunderts von Mathematikern untersucht, umfassten Räume von Reihen (einschließlich Serie) und Funktionsräume,^[6] Diese Räume können natürlich als lineare Räume betrachtet werden. Beispielsweise können Funktionen addiert oder mit Skalaren multipliziert werden. Diese Operationen gehorchen denselben algebraischen Gesetzen, die für die Addition und skalare Multiplikation von Raumvektoren gelten.

Im ersten Jahrzehnt des 20. Jahrhunderts führten parallele Entwicklungen zur Einführung von Hilbert-Räumen. Die erste davon war die Erkenntnis, die während der Untersuchung von David Hilbert und Erhard Schmidt^[7] zu Integralgleichungen, dass zwei reellwertige quadratisch integrierbare Funktionen${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ in einem Intervall ${Anzeigestil [a,b]}$ ein internes Produkt

${displaystyle langle f,gangle =int _{a}^{b}f(x)g(x),mathrm {d} x}$

welches viele der bekannten Eigenschaften des euklidischen Punktprodukts besitzt. Besonders die Idee einer Familie von Familie senkrecht Funktionen ist wichtig. Schmidt nutzte die Ähnlichkeit dieses internen Produkts mit dem üblichen internen Produkt, um ein Analogon des spektrale Zerlegung für einen Operator der Form

${displaystyle f(x)mapsto int _{a}^{b}K(x,y)f(y),mathrm {d} y}$

in welchem ${Anzeigestil K}$ ein kontinuierliche Funktion was ist symmetrisch insymmetrisch ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$. Das resultierende Eigenfunktionsentwicklung drücke die Funktion ${Anzeigestil K}$ als eine Reihe der Form

${Anzeigestil K(x,y)=Summe _{n}Lambda_{n}varphi_{n}(x)varphi_{n}(y)}$

in denen die Funktionen ${displaystyle varphi _{n}}$ bilden eine orthogonale Familie in dem Sinne, dass ${displaystyle langle varphi _{m},varphi _{n}angle =0}$ für alle ${displaystyle neq m}$. Es gibt jedoch Eigenfunktionsentwicklungen, die wegen der Unvollständigkeit nicht in geeigneter Weise gegen quadratisch integrierbare Funktionen konvergieren, so dass die Konvergenz nicht gewährleistet ist.^[8]

Die zweite Entwicklung war die lebesgue integral, eine Alternative zu den Riemann-Integral, die 1904 von . eingeführt wurde Henri Lebesgue.^[9] Das Lebesgue-Integral ermöglichte es, eine viel breitere Klasse von Funktionen zu integrieren. 1907 zeigte07 Frigyes Rieszo und Ernst Sigismund Fischer unabhängig voneinander, dass der Raum ${Displaystil L^{2}}$ von quadratischen lebesgue-integrierbaren Funktionen a voller metrischer Raum ist.^[10] Aufgrund des Wechselspiels von Geometrie und Vollständigkeit ergibt sich aus dem 19. Joseph Fourier, Friedrich Bessel und Marc-Antoine Parseval Über trigonometrische Reihe leicht auf allgemeinere Räume übertragen, was zu dem geometrischen und analytischen Werkzeug führt, das heute als bekannt ist Riesz-Fischer.theorem.^[11]

Weitere grundlegende Ergebnisse wurden Anfang des 20. Jahrhunderts nachgewiesen. Zum Beispiel die Darstellungssatz von Rieszz 1907 unabhängig voneinander beide von Maurice Frechet Wie bei Frigyes Rieszo fand es.^[12]John von Neumann prägte den Begriff abstrakter hilbertraum in seiner Arbeit an grenzenlos hermitesche Operatoren.^[13] Obwohl andere Mathematiker, wie z Hermann Weyl und Norbert Wiener Nachdem John von Neumann bereits eine Reihe spezieller Hilberträume - oft physikalisch motiviert - eingehend studiert hatte, war er der erste, der die Hilberträume vollständig und axiomatisch behandelte.^[14] Von Neumann nutzte die Hilbert-Räume für seine wegweisende Arbeit über die Grundlagen der Quantenmechanik,^[15] und in seiner weiteren Arbeit mit Eugen Wigner. Der Name "Hilbert-Raum" wurde bald von anderen übernommen, etwa von Hermann Weyl in seinem Buch über die Quantenmechanik und Gruppentheorie.^[16]

Die Bedeutung des Begriffs Hilbertraum wurde mit der Erkenntnis unterstrichen, dass Hilberträume einer der besten sind mathematische Formulierungen der Quantenmechanik macht möglich^[17] Kurz gesagt, die Zustände eines quantenmechanischen Systems sind Vektoren in einem gegebenen Hilbert-Raum, die Beobachtungen sind die hermitesche Operatoren auf diesem raum sind die Symmetrien des Systems die unitäre Operatoren und sind die Messungenorthogonale Projektionen. Der Zusammenhang zwischen quantenmechanischen Symmetrien und unitären Operatoren war ein wichtiger Anstoß für die Entwicklung der einheitlichDarstellungstheorie von Gruppen, die 1928 mit der Arbeit von Hermann Weyl begann.^[16] Andererseits wurde Anfang der 1930er Jahre klar, dass bestimmte Eigenschaften der klassischen properties dynamische Systeme im Rahmen der ergodische Theorie kann mit Hilberträumen analysiert werden.^[18]

Die Algebra von beobachten in der Quantenmechanik ist natürlich eine Algebra von Operatoren, die auf einem Hilbertraum definiert ist, gemäß Werner HeisenbergsMatrix mechanisch Formulierung der Quantentheorie. Von Neumann begann seine Forschungen zu Operatoralgebra's, wenn Ringe der Operatoren auf einem Hilbert-Platz in den 1930er Jahren. Die von Neumann und seinen Zeitgenossen untersuchte Art von Algebren ist heute bekannt als von Neumann-Algebras. In den 1940er Jahren Israel Gelfand, Mark Naimark und Irving Segal eine Definition einer Art von Operatoralgebren, die C* Algebras wurden erwähnt. Einerseits haben C*-Algebren keinen Bezug zu einem zugrunde liegenden Hilbertraum, andererseits extrapolieren C*-Algebren viele der nützlichen Funktionen der zuvor untersuchten Operatoralgebren. Der Spektralsatz für selbst hinzugefügte Operatoren, das insbesondere einen Großteil der bestehenden Hilbert-Raumtheorie untermauerte, wurde auf C*-Algebren verallgemeinert. Diese Techniken sind heute grundlegend in der abstrakten harmonischen Analyse und Darstellungstheorie.

Abmessungen

Endlich-dimensionale Hilbert-Räume wurden bereits ausführlich untersucht, bevor der Name Hilbert-Raum aufkam - dies ist die Untersuchung der gewöhnlichen euklidischen Geometrie mit Abstand und Rechtwinkligkeit in ${displaystyle n}$ Maße. Das Interessante ist, dass die Konzepte von Abstand und senkrechter Position in einem unendlich dimensionalen Raum perfekt handhabbar bleiben. Einschließlich in der Fourier-Analyse ist es sinnvoll, darüber sprechen zu können? orthogonale Funktionen.

Als Hilbertraum topologisch trennbar ist, dann hat sie ein schauder basis. Das ist ein Haufen voneinander aufrechtEinheitsvektoren so dass jeder beliebige Vektor eindeutig als (möglicherweise unendliche) Linearkombination davon geschrieben werden kann. EIN die Fourierreihe ist ein Beispiel für eine solche unendliche Linearkombination.

Alle trennbaren Hilberträume über demselben Zahlenkörper und mit derselben Dimension sind gegenseitig äquivalent. Das heißt, es gibt eine reversible lineare Isometrie existiert. Aus diesem Grund wird der Begriff "der" Hilbert-Raum oft etwas ungenau bezeichnet. Dies betrifft den außer der Isometrie eindeutigen, unendlichdimensionalen separierbaren Hilbertraum über den komplexen Zahlen.

Beispiele

Lebesgue-Räume

sehen LP-Raum für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Die wichtigsten Beispiele für Hilberträume sind Mengen von quadratisch integrierbaren skalaren Funktionsklassen auf einem Maßraum (im Sinne des Lebesgue-Integrals). Das Skalarprodukt zweier solcher Funktionsklassen wird durch das Integral des Produkts der beiden Funktionen gebildet. Diese Hilbert-Räume heißen Lebesgue-Räume (${Displaystil L^{2}}$). Lebesgue-Räume sind Veranstaltungsräume, die verbunden sind mit Räume messen${Anzeigestil (X,M,mu)}$, in welchem ${Anzeigestil X}$ eine Sammlung, ${Anzeigestil M}$ ein σ-Algebra von Teilmengen von ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil mu}$ ein abzählbare Additivgröße auf ${Anzeigestil M}$ ist. spät ${Anzeigestil L^{2}(X,mu)}$ der raum davon komplexwertig messbare Funktionen an ${Anzeigestil X}$ sind, für die die lebesgue integral des Quadrats der Absolutwert der Funktion endlich ist und Funktionen genau dann identifiziert werden, wenn sie nur auf einem existieren Kollektion der Größe 0 Unterschiede.

Das Punktprodukt der Funktionen ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ im ${Anzeigestil L^{2}(X,mu)}$ ist dann definiert als

${displaystyle langle f,gangle =int _{X}f(t){overline {g(t)}},mathrm {d} mu (t).}$

Dieses Integral existiert, und der resultierende Raum ist vollständig.^[19] Das Lebesgue-Integral ist unerlässlich, um die Vollständigkeit zu gewährleisten: Beispielsweise gibt es auf Gebieten reeller Zahlen nicht genügend Funktionen riemannintegrierbar.^[20]

Der ursprüngliche Raum, den David Hilbert untersuchte, war die Sammlung ${displaystyle l^{2}}$ des quadratisch summierbaren Unendlichen Reihen${displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},ldots)}$, mit dem Skalarprodukt der Reihensumme der termweisen Produkte. Dies ist ein Spezialfall der obigen Klassenbeispiele durch die Menge von natürliche Zahlen mit dem ausstatten Zählmaß.

Zimmer in Sobolew

Zimmer in Sobolew, bezeichnet durch ${displaystyle H^{s}}$ oder ${Displaystil W^{s,2}}$, sind Hilberträume. Sobolov-Räume sind eine besondere Art Veranstaltungsräume, in dem die Unterscheidung durchgeführt werden kann, die aber (im Gegensatz zu anderen banach räume, wie hölder räume) das Struktur eines internen Produkts. Da Differenzierung erlaubt ist, bilden Sobolev-Räume eine geeignete Umgebung für die Theorie der partielle Differentialgleichungen. Sie bilden auch die Grundlage für die Theorie der direkte Methoden im Variantenkonto.

Anwendungen

Viele Anwendungen von Hilbert-Räumen machen sich die Tatsache zunutze, dass Hilbert-Räume Verallgemeinerungen einfacher geometrischer Konzepte ermöglichen, wie z Projektion und Basiswechsel ihrer endlich-dimensionalen Einstellung. Insbesondere die Spektraltheorie von kontinuierlichselbst hinzugefügtlineare Operatoren auf einem Hilbertraum verallgemeinert das Übliche spektrale Zerlegung von a Matrix. Dies spielt oft eine wichtige Rolle bei Anwendungen der Theorie in anderen Bereichen der Mathematik und Physik.

Sturm-Liouville-Theorie

sehen Sturm-Liouville-Problem für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Das Obertöne einer schwingenden Saite. Diese sind Eigenfunktionen eines damit verbundenen Sturm-Liouville-Problems. Die Eigenwerte 1,1/2,1/3,… bilden die (musikalische) harmonische Reihe.

In der Theorie der gewöhnliche Differentialgleichungen, werden spektrale Methoden auf einem geeigneten Hilbertraum verwendet, um das Verhalten von Eigenwerten und Eigenfunktionen von Differentialgleichungen zu untersuchen. Das Sturm-Liouville-Theorie beschäftigt sich zum Beispiel mit der Untersuchung der harmonischen Reihe von Wellen in a Geigensaite oder eine Trommel, das ist ein wichtiges Problem, für das gewöhnliche Differentialgleichungen werden verwendet^[21] Das Problem lässt sich in einer Differentialgleichung der Form

${displaystyle -{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}left[p(x){frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}ight] q(x)y= Lambda w(x)y}$

für eine unbekannte Position ${Anzeigestil y}$ auf einen Intervall${Anzeigestil {a,b}}$, was dem allgemeinen homogenen Robin Randbedingungen

${displaystyle { egin{cases}alpha y(a) alpha 'y'(a)=0/ eta y(b) eta 'y'(b)=0.end{cases}}}$

Die Funktionen ${Anzeigestil p,q}$ und ${Anzeigestil w}$ werden im Voraus angegeben, und das Problem besteht darin, die Funktion zu finden ${Anzeigestil y}$ und Konstanten ${ Anzeigestil Lambda }$ für die die Gleichung eine Lösung hat. Das Problem hat nur Lösungen für bestimmte Werte von ${ Anzeigestil Lambda }$, die als Eigenwerte des Systems bezeichnet werden, und dies ist eine Folge des Spektralsatzes für Kompaktoperatoren angewendet auf die Integraloperator, die definiert ist durch die Grüns-Funktion für das System. Eine weitere Konsequenz dieses allgemeinen Ergebnisses ist übrigens, dass die Eigenwerte ${ Anzeigestil Lambda }$ des Systems in einer aufsteigenden Reihe angeordnet werden, die ins Unendliche tendiert.^[22]

Fourier-Analyse

Das Fourier-Analyse ist elegant und einfach zu skalaren Produkten zu formulieren undschauder basen. Hilbert selbst hat diese Räume zunächst studiert, um Integralgleichungen leichter zu verstehen.

Quantenmechanik

Das Orbitale von a Elektron in einem Wasserstoffatom sein Eigenfunktionen des Energie.

Danach erwies sich das Konzept des Hilbert-Raums als grundlegend für die axiomatische Konstruktion des Quantenmechanik. Insbesondere die direkte Notation führt natürlich zu einem inneren Produkt und damit zu einem Prähilbertraum. Vollständigkeit ergibt sich aus dem Wunsch, auch Grenzen quantenmechanischer Zustände in das Modell einzubeziehen. Der Name Hilbert-Raum stammt aus der quantenmechanischen Literatur und scheint erstmals verwendet worden zu sein von John von Neumann.

In der mathematisch strengen Formulierung der Quantenmechanik von Paul Dirac^[23] und John von Neumann^[24] die möglichen Zustände (genauer gesagt die reine Staaten) eines quantenmechanischen Systems dargestellt durch Einheitsvektoren (Das Zustandsvektoren heißen) in einem komplexen separierbaren Hilbert-Raum, bekannt als der Zustandsraum. Diese Zustandsvektoren sind mit Ausnahme einer komplexen Zahl der Norm 1 (dem Phasenfaktor) eindeutig definiert. Mit anderen Worten, die möglichen Zustände sind Punkte in der Projektivierung eines Hilbert-Raums, allgemein als . bezeichnet komplexer projektiver Raum. Die genaue Natur dieses Hilbert-Raums hängt vom System ab, z.B. von den Orts- und Impulszuständen für ein einzelnes nicht-relativistisches Spinne-null Teilchen ist das is Platz von allen quadratintegrierbar Funktionen, während die Zustände für den Spin eines einzelnen Proton sind Einheitselemente des zweidimensionalen komplexen Hilbertraums von Spinoren. Jeder beobachtbar wird repräsentiert durch a selbstkonjugiert linear Operator, die auf dem Zustandsraum operiert. Jeder Eigenzustand einer Observablen entspricht a Eigenvektor des Betreibers und die damit verbundenen Selbstachtung entspricht dem Wert der Observablen in diesem Eigenzustand.

Die zeitliche Entwicklung eines Quantenzustands wird beschrieben durch die Schrödinger-Gleichung, in dem die Hamiltonian, das Operator was dem entspricht Gesamtenergie des Systems, erzeugt eine Zeitentwicklung.

Das Skalarprodukt zwischen zwei Zustandsvektoren ist eine komplexe Zahl, bekannt als a Wahrscheinlichkeitsamplitude. Bei einer idealen Messung an einem quantenmechanischen System ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses System von einem gegebenen Anfangszustand in einen gegebenen Eigenzustand kollabiert, durch das Quadrat der Absolutwert der Wahrscheinlichkeitsamplituden zwischen Anfangs- und Endzustand. Die möglichen Ergebnisse einer Messung sind die Eigenwerte des Operators; was die Wahl der selbstaddierten Operatoren erklärt, da alle Eigenwerte reell sein müssen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Observablen in einem gegebenen Zustand kann durch Berechnung der spektralen Zerlegung des Operators ermittelt werden.

Für ein allgemeines System sind Zustände normalerweise nicht rein, stattdessen werden Zustände durch eine statistische Mischung reiner Zustände oder gemischter Zustände repräsentiert, gegeben durch Dichtematrizen: selbst hinzugefügte Operatoren von Spur einer in einem hilbert-Raum. Darüber hinaus können bei allgemeinen quantenmechanischen Systemen die Auswirkungen einer einzelnen Messung andere Teile eines Systems in einer durch a beschriebenen Weise beeinflussen positive operatorbewertete Wahrscheinlichkeitsamplitude. Sowohl die Struktur der Zustände als auch der Observablen sind daher in der allgemeinen Theorie wesentlich komplizierter als die für reine Zustände verwendete Idealisierung.

Heisenbergs Unschärferelation wird durch die Aussage repräsentiert, dass die Operatoren, die bestimmten Observablen entsprechen, nicht pendeln und weist auf eine bestimmte Form hin, bei der das waar Kommutator sollte den Spezifikationen entsprechen.

Fußnoten