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Das Operatortheorie, eine Filiale der Mathematiker Studienfach der Funktionsanalyse, assoziiert mit jedem weiter linearer Operator zwischen zwei topologische Vektorräume ein Operator hinzugefügt, ebenfalls Zusatzoperator erwähnt.

Definition

spät ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$topologische Vektorräume sein und

${Anzeigestil T:X oder Y}$

ein kontinuierlichlineares Bild.

Hinweis ${Displaystil X^{*}}$ für die dualer topologischer Vektorraum von ${Anzeigestil X}$ mit der schwach-* Topologie. Die Elemente von ${Displaystil X^{*}}$ sind die stetigen linearen Abbildungen von ${Anzeigestil X}$ zu seinem skalaren Körper ${displaystyle mathbb {K} }$ (das Real oder der komplexe Zahlen). Sie ${Anzeigestil Y^{*}}$ das duale von ${Anzeigestil Y.}$

Das Operator hinzugefügt${Displaystil T^{*}}$ wird über die richtige Zusammensetzung mit der Transformation definiert ${Displaystil T:}$

${displaystyle T^{*}:Y^{*} oder X^{*}:y^{*}mapto y^{*}circ T}$

Mit anderen Worten, für eine gegebene stetige lineares Bild

${displaystyle y^{*}:Y o mathbb {K}}$

ist das bild ${displaystyle T^{*}y^{*}}$ durch die Funktionsanweisung definiert

${displaystyle T^{*}y^{*}:X o mathbb {K} :xmapsto y^{*}(T(x))}$.

Aus dieser Regel folgt sofort die Stetigkeit und Linearität von dit${Displaystil T^{*}y^{*}.}$ Es kann auch gezeigt werden, dass der so definierte Additionsoperator e ${Displaystil T^{*}}$ ist eine stetige lineare Abbildung.

Normalisierter Vektorraum

wenn ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$normierte Vektorräume sind, dann duale Vektorräume${Displaystil X^{*}}$ und ${Anzeigestil Y^{*}}$ können auch als normierte Vektorräume verstanden werden. Der oben definierte hinzugefügte Operator ${Displaystil T^{*}}$ ist auch in Bezug auf diese Standards kontinuierlich, und

${displaystyle |T^{*}|_{Y^{*},X^{*}}leq |T|_{X,Y}}$

Konjugierte transponierte Matrix

wenn ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ endlichdimensional sein, mit Maße beziehungsweise ${displaystyle m}$ und ${displaystyle n,}$ und für beide eine feste Base gewählt, dann jede lineare Abbildung von ${Anzeigestil X}$ im ${Anzeigestil Y}$ stetig und ist eindeutig bestimmt durch a ${displaystyle mimen n}$-Matrix.

Relativ zu den kanonischen Dualbasen der Dualräume wird eine lineare Abbildung durch die Matrix the ${Displaystil T^{*},}$ das transponiert konjugieren der Matrix ${Anzeigestil T}$ relativ zu den ursprünglichen Basen.

Hilbert-Räume

wenn ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ (Vor-)hilbert räume sie sind beide ausgestattet mit a Innenprodukt. Das innere Produkt bietet eine natürliche Identifikation des Raumes mit seinen zweifachen:

${displaystyle x^{*}(w)äquivalent langle x,wangle }$

Im Komplex hilberträume (${displaystyle mathbb {K} = mathbb {C} }$) kommt hinzu, dass das innere Produkt nicht symmetrisch, sondern hermitesch ist, siehe auch oben.

Selbst hinzugefügter kontinuierlicher Operator

wenn ${Anzeigestil T}$ ist eine stetige lineare Transformation eines Hilbertraums (${Anzeigestil X=Y}$), dann kann ${Anzeigestil T}$ und ${Displaystil T^{*}}$ miteinander verglichen werden. Im endlichdimensionalen Fall entspricht dies quadratischen Matrizen.

Leute rufen ${Anzeigestil T}$selbst hinzugefügt wenn ${Anzeigestil T^{*}=T.}$

Unbeschränkte Operatoren in einem Hilbertraum

Das Quantenmechanik verwendet oft lineare Transformationen einer Teilmenge des Hilbert-Raums, die nicht auf . erweitert werden kann kontinuierlich lineare Transformationen des gesamten Hilbertraums. Bekannte Beispiele sind die Laplace-Operator${Anzeigestil Delta }$ im ${displaystyle L^{2}(mathbb {R} ^{n})}$ und allgemeiner die meisten Schrödinger-Operatoren.

wenn

${Anzeigestil T:DTeilmenge H oder H}$

ist eine (nicht notwendigerweise stetige) lineare Abbildung eines Teilvektorraums ${Anzeigestil D}$ vom Hilbert-Raum in denselben Hilbert-Raum, und das Gebiet ${Anzeigestil D}$ von ${Anzeigestil T}$ ist topologisch schließen im ${Anzeigestil H,}$ dann kann man immer noch den hinzugefügten Operator verwenden ${Displaystil T^{*}}$ mit dem Rezept definieren

${displaystyle langle Tx,yangle =langle x,T^{*}yangle}$

Die Domäne von ${Displaystil T^{*}}$ besteht aus den Vektoren ${Anzeigestil D}$ für die die linke Seite stetig ist linear funktional im ${Anzeigestil x}$ ergibt.

Es kann gezeigt werden, dass ${Displaystil T^{*}}$ ein geschlossener Betreiber das heißt, sein Graph

${displaystyle {mathcal {G}}(T^{*})={(x,T^{*}x)|xin {hbox{dom}}(T^{*})}}$

ist eine abgeschlossene Teilmenge von ${displaystyle X imes X}$.

wenn ${Anzeigestil T}$ ist selbst ein abgeschlossener, eng definierter Operator, dann ist ${Displaystil T^{*}}$ auch eng definiert:

${displaystyle {overline {{hbox{dom}}(T^{*})}}=X}$,

und in diesem Fall ist das Suffix von ${Displaystil T^{*}}$ nochmal ${Anzeigestil T}$ selbst:

${Anzeigestil (T^{*})^{*}=T}$.

Symmetrischer unbegrenzter Operator

${Anzeigestil T}$ heiß symmetrisch wenn

${displaystyle {hbox{dom}}(T)Untermenge {hbox{dom}}(T^{*})}$ und ${displaystyle forall xin {hbox{dom}}(T):T^{*}x=Tx}$.

Selbst hinzugefügter unbegrenzter Operator

${Anzeigestil T}$ heiß selbst hinzugefügt wenn

${displaystyle {hbox{dom}}(T)={hbox{dom}}(T^{*})}$ und ${displaystyle forall xin {hbox{dom}}(T):T^{*}x=Tx}$.