WikiDer > Коммутатор

Commutator

В математика, то коммутатор указывает на степень, в которой определенные бинарная операция не может быть коммутативный. Существуют разные определения, используемые в теория групп и теория колец.

Теория групп

В коммутатор из двух элементов, $грамм$ и $час$ , из группа $грамм$ , это элемент

[грамм, час] = грамм -1 час -1 gh

и равен тождеству группы тогда и только тогда, когда $грамм$ и $час$ коммутировать (то есть тогда и только тогда, когда $gh = hg$ ). Множество всех коммутаторов группы, вообще говоря, не замкнуто относительно групповой операции, но подгруппа из грамм генерируется всеми коммутаторами замкнут и называется производная группа или коммутаторная подгруппа из грамм. Коммутаторы используются для определения нильпотентный и разрешимый группы и крупнейшие абелевский факторгруппа.

Определение коммутатора, приведенное выше, используется в этой статье, но многие другие теоретики групп определяют коммутатор как

[грамм, час] = ghg -1 час -1

.^[1]^[2]

Тождества (теория групп)

Идентификаторы коммутатора - важный инструмент в теория групп.^[3] Выражение $а Икс$ обозначает сопрягать из $а$ к $Икс$ , определяется как $Икс -1 топор$ .

${displaystyle x ^ {y} = x [x, y].}$
${displaystyle [y, x] = [x, y] ^ {- 1}.}$
${displaystyle [x, zy] = [x, y] cdot [x, z] ^ {y}}$ и ${displaystyle [xz, y] = [x, y] ^ {z} cdot [z, y].}$
${displaystyle left [x, y ^ {- 1} ight] = [y, x] ^ {y ^ {- 1}}}$ и ${displaystyle left [x ^ {- 1}, yight] = [y, x] ^ {x ^ {- 1}}.}$
${displaystyle left [left [x, y ^ {- 1} ight], zight] ^ {y} cdot left [left [y, z ^ {- 1} ight], xight] ^ {z} cdot left [left [ z, x ^ {- 1} ight], yight] ^ {x} = 1}$ и ${displaystyle left [left [x, yight], z ^ {x} ight] cdot left [[z, x], y ^ {z} ight] cdot left [[y, z], x ^ {y} ight] = 1.}$

Идентификатор (5) также известен как Тождество Холла-Витта, после Филип Холл и Эрнст Витт. Это теоретико-групповой аналог Личность Якоби для теоретико-кольцевого коммутатора (см. следующий раздел).

N.B., приведенное выше определение конъюгата $а$ к $Икс$ используется некоторыми теоретиками групп.^[4] Многие другие теоретики групп определяют сопряжение $а$ к $Икс$ в качестве $xax -1$ .^[5] Это часто пишут ${displaystyle {} ^ {x} a}$ . Подобные тождества имеют место и для этих соглашений.

Используются многие тождества, истинные по модулю определенных подгрупп. Они могут быть особенно полезны при изучении разрешимые группы и нильпотентные группы. Например, в любой группе хорошо себя ведут вторые силы:

{displaystyle (xy) ^ {2} = x ^ {2} y ^ {2} [y, x] [[y, x], y].}

Если производная подгруппа центральный, то

{displaystyle (xy) ^ {n} = x ^ {n} y ^ {n} [y, x] ^ {inom {n} {2}}.}

Теория колец

В коммутатор из двух элементов а и б из звенеть (включая любые ассоциативная алгебра) определяется

{displaystyle [a, b] = ab-ba.}

Он равен нулю тогда и только тогда, когда а и б ездить. В линейная алгебра, если два эндоморфизмы пространства представлены коммутирующими матрицами в терминах одного базиса, то они так представлены в терминах каждого базиса. Используя коммутатор как Кронштейн лжи, любую ассоциативную алгебру можно превратить в Алгебра Ли.

В антикоммутатор из двух элементов $а$ и $б$ кольца или ассоциативной алгебры определяется формулой

{displaystyle {a, b} = ab + ba.}

Иногда ${displaystyle [a, b] _ {+}}$ используется для обозначения антикоммутатора, а ${displaystyle [a, b] _ {-}}$ затем используется для коммутатора.^[6] Антикоммутатор используется реже, но может использоваться для определения Алгебры Клиффорда и Йордановы алгебры, а при выводе Уравнение Дирака в физике элементарных частиц.

Коммутатор двух операторов, действующих на Гильбертово пространство центральная концепция в квантовая механика, поскольку он определяет, насколько хорошо наблюдаемые описываемые этими операторами могут быть измерены одновременно. В принцип неопределенности в конечном итоге является теоремой о таких коммутаторах в силу Соотношение Робертсона – Шредингера.^[7] В фазовое пространство, эквивалентные коммутаторы функции звездные продукты называются Брекеты Мойял, и полностью изоморфны упомянутым коммутаторным структурам гильбертова пространства.

Тождества (теория колец)

Коммутатор обладает следующими свойствами:

Тождества алгебры Ли

${displaystyle [A + B, C] = [A, C] + [B, C]}$
${displaystyle [A, A] = 0}$
${displaystyle [A, B] = - [B, A]}$
${displaystyle [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0}$

Соотношение (3) называется антикоммутативность, а (4) - Личность Якоби.

Дополнительные удостоверения

${displaystyle [A, BC] = [A, B] C + B [A, C]}$
${displaystyle [A, BCD] = [A, B] CD + B [A, C] D + BC [A, D]}$
${displaystyle [A, BCDE] = [A, B] CDE + B [A, C] DE + BC [A, D] E + BCD [A, E]}$
${displaystyle [AB, C] = A [B, C] + [A, C] B}$
${displaystyle [ABC, D] = AB [C, D] + A [B, D] C + [A, D] BC}$
${displaystyle [ABCD, E] = ABC [D, E] + AB [C, E] D + A [B, E] CD + [A, E] BCD}$
${displaystyle [A, B + C] = [A, B] + [A, C]}$
${displaystyle [A + B, C + D] = [A, C] + [A, D] + [B, C] + [B, D]}$
${displaystyle [AB, CD] = A [B, C] D + [A, C] BD + CA [B, D] + C [A, D] B}$
${стиль отображения [[A, C], [B, D]] = [[[A, B], C], D] + [[[B, C], D], A] + [[[C, D ], A], B] + [[[D, A], B], C]}$

Если $А$ фиксированный элемент кольца р, тождество (1) можно интерпретировать как Правило Лейбница для карты ${displaystyle operatorname {ad} _ {A}: Rightarrow R}$ данный ${displaystyle operatorname {ad} _ {A} (B) = [A, B]}$ . Другими словами, объявление на карте_А определяет происхождение на кольце р. Тождества (2), (3) представляют правила Лейбница для более чем двух факторов и действительны для любого вывода. Тождества (4) - (6) также можно интерпретировать как правила Лейбница. Тождества (7), (8) выражают Z-билинейность.

Некоторые из приведенных выше тождеств можно распространить на антикоммутатор, используя указанное выше обозначение ±.^[8]Например:

${displaystyle [AB, C] _ {pm} = A [B, C] _ {-} + [A, C] _ {pm} B}$
${displaystyle [AB, CD] _ {pm} = A [B, C] _ {-} D + AC [B, D] _ {-} + [A, C] _ {-} DB + C [A, D] _ {pm} B}$
${displaystyle left [A, [B, C] _ {pm} ight] + left [B, [C, A] _ {pm} ight] + left [C, [A, B] _ {pm} ight] »= 0}$
${displaystyle [A, BC] _ {pm} = [A, B] _ {-} C + B [A, C] _ {pm}}$

Экспоненциальные тождества

Рассмотрим кольцо или алгебру, в которых экспоненциальный ${displaystyle e ^ {A} = exp (A) = 1 + A + {frac {1} {2!}} A ^ {2} + cdots}$ можно значимо определить, например, Банахова алгебра, кольцо формальный степенной ряд, или универсальная обертывающая алгебра из Алгебра Ли.

В таком кольце Лемма Адамара применительно к вложенным коммутаторам дает: ${displaystyle e ^ {A} Be ^ {- A} = B + [A, B] + {frac {1} {2!}} [A, [A, B]] + {frac {1} {3!} } [A, [A, [A, B]]] + cdots = e ^ {имя оператора {ad} _ {A}} (B).}$ (Последнее выражение см. Присоединенный вывод ниже.) Эта формула лежит в основе Разложение Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа журнала (exp (А) ехр (B)).

Аналогичное разложение выражает групповой коммутатор выражений ${displaystyle e ^ {A}}$ (аналогично элементам группы Ли) в терминах ряда вложенных коммутаторов (скобок Ли),

{displaystyle e ^ {A} e ^ {B} e ^ {- A} e ^ {- B}}

${displaystyle = exp! left ([A, B] + {frac {1} {2!}} [A {+} B, [A, B]]] + {frac {1} {3!}} left ({ frac {1} {2}} [A, [B, [B, A]]] + [A {+} B, [A {+} B, [A, B]]] ight) + cdots ight). }$

Градуированные кольца и алгебры

При работе с градуированные алгебрыкоммутатор обычно заменяют на градуированный коммутатор, определенный в однородных компонентах как

{displaystyle [omega, eta] _ {gr}: = omega eta - (- 1) ^ {deg omega deg eta} эта омега.}

Присоединенный вывод

Особенно, если иметь дело с несколькими коммутаторами в кольце р, оказывается полезным другое обозначение. Для элемента ${displaystyle xin R}$ , мы определяем прилегающий отображение ${displaystyle mathrm {ad} _ {x}: R o R}$ к:

{displaystyle operatorname {ad} _ {x} (y) = [x, y] = xy-yx.}

Это отображение является происхождение на кольце р:

{displaystyle mathrm {ad} _ {x}! (yz) = mathrm {ad} _ {x}! (y), z, +, y, mathrm {ad} _ {x}! (z)}

.

Посредством Личность Якоби, это также вывод операции коммутации:

{displaystyle mathrm {ad} _ {x} [y, z] = [mathrm {ad} _ {x}! (y), z], +, [y, mathrm {ad} _ {x}! (z) ]}

.

Составив такие отображения, мы получаем, например, ${displaystyle operatorname {ad} _ {x} operatorname {ad} _ {y} (z) = [x, [y, z],]}$ и

${displaystyle имя оператора {ad} _ {x} ^ {2}! (z) = имя оператора {ad} _ {x}! (имя оператора {ad} _ {x}! (z)) = [x, [x, z ],].}$

Мы можем рассмотреть ${displaystyle mathrm {ad}}$ себя как отображение, ${displaystyle mathrm {ad}: R o mathrm {End} (R)}$ , куда ${displaystyle mathrm {End} (R)}$ кольцо отображений из р самому себе с композицией в качестве операции умножения. потом ${displaystyle mathrm {ad}}$ это Алгебра Ли гомоморфизм, сохраняющий коммутатор:

{displaystyle operatorname {ad} _ {[x, y]} = [имя оператора {ad} _ {x}, имя оператора {ad} _ {y}] ~.}

Напротив, это нет всегда гомоморфизм колец: обычно ${displaystyle operatorname {ad} _ {xy}, eq, operatorname {ad} _ {x} operatorname {ad} _ {y}}$ .

Общее правило Лейбница

В общее правило Лейбница, расширяя повторяющиеся производные продукта, можно записать абстрактно, используя присоединенное представление:

{displaystyle x ^ {n} y = sum _ {k = 0} ^ {n} {inom {n} {k}} имя оператора {ad} _ {x} ^ {k}! (y), x ^ {nk }.}

Замена Икс оператором дифференцирования ${displaystyle partial}$ , и у оператором умножения ${displaystyle m_ {f}: gmapsto fg}$ , мы получили ${displaystyle operatorname {ad} (частично) (m_ {f}) = m_ {partial (f)}}$ , и применяя обе части к функции грамм, тождество становится обычным правилом Лейбница для п^th производная ${displaystyle partial ^ {n}! (fg)}$ .

Смотрите также

Примечания

^ Фрали (1976), п. 108)
^ Герштейн (1975, п. 65)
^ Маккей (2000), п. 4)
^ Герштейн (1975, п. 83)
^ Фрали (1976), п. 128)
^ МакМахон (2008)
^ Либофф (2003), с. 140–142).
^ Лавров, П. (2014). «Тождества типа Якоби в алгебрах и супералгебрах». Теоретическая и математическая физика. 179 (2): 550–558. arXiv:1304.5050. Bibcode:2014ТМП ... 179..550л. Дои:10.1007 / s11232-014-0161-2. S2CID 119175276.

дальнейшее чтение

Маккензи, Р.; Сноу, Дж. (2005), "Конгруэнтные модулярные многообразия: теория коммутатора", Кудрявцев В.Б .; Розенберг, И. Г. (ред.), Структурная теория автоматов, полугрупп и универсальной алгебры, Springer, стр. 273–329.

внешняя ссылка

«Коммутатор», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Фрали (1976), п. 108)

[2] Герштейн (1975, п. 65)

[3] Маккей (2000), п. 4)

[4] Герштейн (1975, п. 83)

[5] Фрали (1976), п. 128)

[6] МакМахон (2008)

[7] Либофф (2003), с. 140–142).

[8] Лавров, П. (2014). «Тождества типа Якоби в алгебрах и супералгебрах». Теоретическая и математическая физика. 179 (2): 550–558. arXiv:1304.5050. Bibcode:2014ТМП ... 179..550л. Дои:10.1007 / s11232-014-0161-2. S2CID 119175276.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Navigation