WikiDer > Абелева группа

Abelian group

В математика, абелева группа, также называемый коммутативная группа, это группа в котором результат применения группы операция к двум элементам группы не зависит от порядка, в котором они написаны. То есть групповая операция коммутативный. При добавлении в качестве операции целые числа и действительные числа образуют абелевы группы, и понятие абелевой группы можно рассматривать как обобщение этих примеров. Абелевы группы названы в честь математика начала 19 века. Нильс Хенрик Абель.^[1]

Понятие абелевой группы лежит в основе многих фундаментальных алгебраические структуры, Такие как поля, кольца, векторные пространства, и алгебры. Теория абелевых групп обычно проще, чем их теория. неабелев аналоги, а конечные абелевы группы очень хорошо изучены и полностью засекречен.

Определение

Групповые структуры
	Тотальность^α	Ассоциативность	Личность	Обратимость	Коммутативность
Полугрупоидный	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Малая категория	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Единичная магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Петля	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Обратная полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативный моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Абелева группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый
^ α Закрытие, который используется во многих источниках, является аксиомой, эквивалентной совокупности, хотя и по-другому.

Абелева группа - это набор, ${ displaystyle A}$ вместе с операция ${ displaystyle cdot}$ который объединяет любые два элементы ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ из ${ displaystyle A}$ сформировать еще один элемент ${ displaystyle A,}$ обозначенный ${ displaystyle a cdot b}$ . Символ ${ displaystyle cdot}$ - это общий заполнитель для конкретной операции. Чтобы квалифицировать как абелеву группу, множество и операция, ${ Displaystyle (А, cdot)}$ , должен удовлетворять пяти требованиям, известным как аксиомы абелевой группы:

Закрытие: Для всех ${ displaystyle a}$ , ${ displaystyle b}$ в ${ displaystyle A}$ , результат операции ${ displaystyle a cdot b}$ также в ${ displaystyle A}$ .
Ассоциативность: Для всех ${ displaystyle a}$ , ${ displaystyle b}$ , и ${ displaystyle c}$ в ${ displaystyle A}$ , уравнение ${ Displaystyle (а cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)}$ держит.
Элемент идентичности: Существует элемент ${ displaystyle e}$ в ${ displaystyle A}$ , что для всех элементов ${ displaystyle a}$ в ${ displaystyle A}$ , уравнение ${ Displaystyle е cdot а = а cdot е = а}$ держит.
Обратный элемент: Для каждого ${ displaystyle a}$ в ${ displaystyle A}$ существует элемент ${ displaystyle b}$ в ${ displaystyle A}$ такой, что ${ displaystyle a cdot b = b cdot a = e}$ , куда ${ displaystyle e}$ является элементом идентичности.
Коммутативность: Для всех ${ displaystyle a}$ , ${ displaystyle b}$ в ${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle a cdot b = b cdot a}$ .

Группа, в которой групповая операция не коммутативна, называется «неабелевой группой» или «некоммутативной группой».

Факты

Обозначение

Существует два основных правила обозначений абелевых групп - аддитивные и мультипликативные.

соглашение	Операция	Личность	Полномочия	Обратный
Добавление	${ displaystyle x + y}$	0	${ displaystyle nx}$	${ displaystyle -x}$
Умножение	${ displaystyle x cdot y}$ или же ${ displaystyle xy}$	1	${ Displaystyle х ^ {п}}$	${ displaystyle x ^ {- 1}}$

Как правило, мультипликативная запись - это обычная запись для групп, а аддитивная запись - обычная запись для модули и кольца. Аддитивные обозначения могут также использоваться, чтобы подчеркнуть, что конкретная группа является абелевой, когда рассматриваются как абелевы, так и неабелевы группы, за некоторыми примечательными исключениями. близкие к кольцу и частично упорядоченные группы, где операция записывается аддитивно, даже если она неабелева.

Таблица умножения

Чтобы убедиться, что конечная группа абелева, таблица (матрица) - известная как Стол Кэли - может быть сконструирован аналогично Таблица умножения. Если группа ${ displaystyle G = {g_ {1} = e, g_ {2}, dots, g_ {n} }}$ под операция ${ displaystyle cdot}$ , то ${ displaystyle (я, j)}$ -го запись в этой таблице содержит продукт ${ displaystyle g_ {i} cdot g_ {j}}$ .

Группа абелева тогда и только тогда, когда эта таблица симметрична относительно главной диагонали. Это верно, поскольку группа абелева если только ${ displaystyle g_ {i} cdot g_ {j} = g_ {j} cdot g_ {i}}$ для всех ${ displaystyle i, j = 1, ..., n}$ , что если и только если ${ displaystyle (я, j)}$ запись в таблице равна ${ displaystyle (j, i)}$ вход для всех ${ displaystyle i, j = 1, ..., n}$ , т.е. стол симметричен относительно главной диагонали.

Примеры

Для целые числа и операция добавление ${ displaystyle +}$ , обозначенный ${ Displaystyle ( mathbb {Z}, +)}$ , операция + объединяет любые два целых числа в третье целое, сложение ассоциативно, ноль - это аддитивная идентичность, каждое целое число ${ displaystyle n}$ имеет Противоположное число, ${ displaystyle -n}$ , а операция сложения коммутативна, поскольку ${ Displaystyle п + т = т + п}$ для любых двух целых чисел ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle n}$ .
Каждый циклическая группа ${ displaystyle G}$ абелева, потому что если ${ displaystyle x}$ , ${ displaystyle y}$ находятся в ${ displaystyle G}$ , тогда ${ displaystyle xy = a ^ {m} a ^ {n} = a ^ {m + n} = a ^ {n} a ^ {m} = yx}$ . Таким образом целые числа, ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ , образуют абелеву группу по сложению, как и целые числа по модулю ${ displaystyle n}$ , ${ Displaystyle mathbb {Z} / п mathbb {Z}}$ .
Каждый звенеть является абелевой группой относительно операции сложения. В коммутативное кольцо обратимые элементы, или единицы, образуют абелеву мультипликативная группа. В частности, действительные числа являются абелевой группой относительно сложения, а ненулевые действительные числа являются абелевой группой относительно умножения.
Каждый подгруппа абелевой группы нормальный, поэтому каждая подгруппа порождает факторгруппа. Подгруппы, частные и прямые суммы абелевых групп снова абелевы. Конечная просто абелевы группы - это в точности циклические группы основной порядок.^[2]
Понятия абелевой группы и ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ -модуль согласны. В частности, каждый ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ -модуль - абелева группа со своей операцией сложения, и каждая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ уникальным способом.

В целом, матрицыдаже обратимые матрицы не образуют абелеву группу при умножении, поскольку умножение матриц, как правило, не коммутативно. Однако некоторые группы матриц являются абелевыми группами при матричном умножении - одним из примеров является группа ${ displaystyle 2 times 2}$ матрицы вращения.

Исторические заметки

Камилла Джордан назвал абелевы группы в честь норвежский язык математик Нильс Хенрик Абель, поскольку Абель обнаружил, что коммутативность группы многочлен следует, что корни многочлена могут быть рассчитывается с использованием радикалов.^[3]^:144–145

Характеристики

Если ${ displaystyle n}$ это натуральное число и ${ displaystyle x}$ является элементом абелевой группы ${ displaystyle G}$ написано аддитивно, тогда ${ displaystyle nx}$ можно определить как ${ Displaystyle х + х + cdots + х}$ ( ${ displaystyle n}$ слагаемые) и ${ Displaystyle (-n) х = - (nx)}$ . Таким образом, ${ displaystyle G}$ становится модуль над звенеть ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ целых чисел. Фактически, модули над ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ можно отождествить с абелевыми группами.

Теоремы об абелевых группах (т. Е. модули над главная идеальная область ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ ) часто можно обобщить до теорем о модулях над произвольной областью главных идеалов. Типичный пример - классификация конечно порожденные абелевы группы который является специализацией структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов. В случае конечно порожденных абелевых групп эта теорема гарантирует, что абелева группа расщепляется как прямая сумма из торсионная группа и свободная абелева группа. Первое можно записать как прямую сумму конечного числа групп вида ${ Displaystyle mathbb {Z} / p ^ {k} mathbb {Z}}$ за ${ displaystyle p}$ простое число, а последнее представляет собой прямую сумму конечного числа копий ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ .

Если ${ displaystyle f, g: G to H}$ два групповые гомоморфизмы между абелевыми группами, то их сумма ${ displaystyle f + g}$ , определяется ${ Displaystyle (е + г) (х) = е (х) + г (х)}$ , снова является гомоморфизмом. (Это неверно, если ${ displaystyle H}$ - неабелева группа.) Множество ${ displaystyle { text {Hom}} (G, H)}$ всех гомоморфизмов групп из ${ displaystyle G}$ к ${ displaystyle H}$ поэтому является самостоятельной абелевой группой.

В некотором роде с измерение из векторные пространства, каждая абелева группа имеет классифицировать. Он определяется как максимальное мощность набора линейно независимый (над целыми числами) элементы группы.^[4]^:49–50 Конечные абелевы группы и группы кручения имеют ранг нуль, и каждая абелева группа ранга нуль является группой кручения. Целые числа и рациональное число имеют ранг один, а также все ненулевые аддитивная подгруппа рациональных. С другой стороны, мультипликативная группа ненулевых рациональных чисел имеет бесконечный ранг, так как это свободная абелева группа с множеством простые числа в качестве основы (это вытекает из основная теорема арифметики).

В центр ${ Displaystyle Z (G)}$ группы ${ displaystyle G}$ набор элементов, которые коммутируют с каждым элементом ${ displaystyle G}$ . Группа ${ displaystyle G}$ абелева тогда и только тогда, когда он равен своему центру ${ Displaystyle Z (G)}$ . Центр группы ${ displaystyle G}$ всегда характеристика абелева подгруппа ${ displaystyle G}$ . Если фактор-группа ${ Displaystyle G / Z (G)}$ группы по центру циклична, то ${ displaystyle G}$ абелева.^[5]

Конечные абелевы группы

Циклические группы целые числа по модулю ${ displaystyle n}$ , ${ Displaystyle mathbb {Z} / п mathbb {Z}}$ , были одними из первых примеров групп. Оказывается, произвольная конечная абелева группа изоморфна прямой сумме конечных циклических групп степенного порядка простых чисел, и эти порядки определены однозначно, образуя полную систему инвариантов. В группа автоморфизмов конечной абелевой группы можно непосредственно описать в терминах этих инвариантов. Теория была впервые развита в статье 1879 г. Георг Фробениус и Людвиг Штикельбергер а позже был упрощен и обобщен на конечно порожденные модули над областью главных идеалов, составив важную главу линейная алгебра.

Любая группа простого порядка изоморфна циклической группе и, следовательно, абелева. Любая группа, порядок которой является квадратом простого числа, также абелева.^[6] Фактически, для каждого простого числа ${ displaystyle p}$ имеется (с точностью до изоморфизма) ровно две группы порядка ${ displaystyle p ^ {2}}$ , а именно ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p ^ {2}}}$ и ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {p} times mathbb {Z} _ {p}}$ .

Классификация

В основная теорема конечных абелевых групп утверждает, что каждая конечная абелева группа ${ displaystyle G}$ можно выразить как прямую сумму циклических подгрупп группы основной-силовой порядок; он также известен как базисная теорема для конечных абелевых групп.^[7] Это обобщается основная теорема о конечно порожденных абелевых группах, причем конечные группы являются частным случаем, когда грамм имеет ноль классифицировать; это, в свою очередь, допускает многочисленные дальнейшие обобщения.

Классификация была подтверждена Леопольд Кронекер в 1870 году, хотя это не было сформулировано в современных теоретико-групповых терминах до более позднего времени, и ему предшествовала аналогичная классификация квадратичных форм Карл Фридрих Гаусс в 1801 г .; видеть история для подробностей.

Циклическая группа ${ displaystyle mathbb {Z} _ {mn}}$ порядка ${ displaystyle mn}$ изоморфна прямой сумме ${ displaystyle mathbb {Z} _ {m}}$ и ${ displaystyle mathbb {Z} _ {n}}$ если и только если ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle n}$ находятся совмещать. Отсюда следует, что любая конечная абелева группа ${ displaystyle G}$ изоморфна прямой сумме вида

{ Displaystyle bigoplus _ {я = 1} ^ {и} mathbb {Z} _ {к_ {я}}}

любым из следующих канонических способов:

цифры ${ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, dots, k_ {u}}$ являются степенями (не обязательно различных) простых чисел,
или же ${ displaystyle k_ {1}}$ разделяет ${ displaystyle k_ {2}}$ , который разделяет ${ displaystyle k_ {3}}$ и так далее до ${ displaystyle k_ {u}}$ .

Например, ${ displaystyle mathbb {Z} _ {15}}$ можно выразить как прямую сумму двух циклических подгрупп порядка 3 и 5: ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {15} cong {0,5,10 } oplus {0,3,6,9,12 }}$ . То же самое можно сказать о любой абелевой группе порядка 15, что приводит к замечательному выводу, что все абелевы группы порядка 15 являются изоморфный.

В качестве другого примера каждая абелева группа порядка 8 изоморфна либо ${ displaystyle mathbb {Z} _ {8}}$ (целые числа от 0 до 7 при сложении по модулю 8), ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {4} oplus mathbb {Z} _ {2}}$ (нечетные целые числа от 1 до 15 при умножении по модулю 16), или ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {2} oplus mathbb {Z} _ {2} oplus mathbb {Z} _ {2}}$ .

Смотрите также список малых групп для конечных абелевых групп порядка 30 и менее.

Автоморфизмы

Можно применить основная теорема подсчитывать (а иногда и определять) автоморфизмы данной конечной абелевой группы ${ displaystyle G}$ . Для этого используется тот факт, что если ${ displaystyle G}$ дробится как прямая сумма ${ displaystyle H oplus K}$ подгрупп совмещать порядок, тогда ${ displaystyle { text {Aut}} (H oplus K) cong { text {Aut}} (H) oplus { text {Aut}} (K)}$ .

Учитывая это, основная теорема показывает, что для вычисления группы автоморфизмов ${ displaystyle G}$ достаточно вычислить группы автоморфизмов Силовский ${ displaystyle p}$ -подгруппы по отдельности (то есть все прямые суммы циклических подгрупп, каждая с порядком степени ${ displaystyle p}$ ). Исправить простое число ${ displaystyle p}$ и предположим, что показатели ${ displaystyle e_ {i}}$ циклических факторов Силовского ${ displaystyle p}$ -подгруппы расположены в порядке возрастания:

{ displaystyle e_ {1} leq e_ {2} leq cdots leq e_ {n}}

для некоторых ${ displaystyle n> 0}$ . Нужно найти автоморфизмы

{ displaystyle mathbf {Z} _ {p ^ {e_ {1}}} oplus cdots oplus mathbf {Z} _ {p ^ {e_ {n}}}.}

Один особый случай - это когда ${ Displaystyle п = 1}$ , так что существует только один циклический коэффициент простой мощности в силовской ${ displaystyle p}$ -подгруппа ${ displaystyle P}$ . В этом случае теория автоморфизмов конечного циклическая группа может быть использован. Другой частный случай - когда ${ displaystyle n}$ произвольно, но ${ displaystyle e_ {i} = 1}$ за ${ Displaystyle 1 Leq я Leq п}$ . Здесь рассматривается ${ displaystyle P}$ иметь форму

{ Displaystyle mathbf {Z} _ {p} oplus cdots oplus mathbf {Z} _ {p},}

поэтому элементы этой подгруппы можно рассматривать как составляющие векторное пространство размерности ${ displaystyle n}$ над конечным полем ${ displaystyle p}$ элементы ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ . Следовательно, автоморфизмы этой подгруппы задаются обратимыми линейными преобразованиями, так что

{ displaystyle operatorname {Aut} (P) cong mathrm {GL} (n, mathbf {F} _ {p}),}

куда ${ displaystyle { text {GL}}}$ подходящий общая линейная группа. Легко показать, что это порядок

{ displaystyle left | operatorname {Aut} (P) right | = (p ^ {n} -1) cdots (p ^ {n} -p ^ {n-1}).}

В самом общем случае, когда ${ displaystyle e_ {i}}$ и ${ displaystyle n}$ произвольны, группу автоморфизмов определить сложнее. Однако известно, что если определить

{ displaystyle d_ {k} = max {r mid e_ {r} = e_ {k} ^ {,} }}

и

{ displaystyle c_ {k} = min {r mid e_ {r} = e_ {k} }}

то, в частности, ${ Displaystyle к leq d_ {к}}$ , ${ displaystyle c_ {k} leq k}$ , и

{ Displaystyle left | OperatorName {Aut} (P) right | = prod _ {k = 1} ^ {n} (p ^ {d_ {k}} - p ^ {k-1}) prod _ {j = 1} ^ {n} (p ^ {e_ {j}}) ^ {n-d_ {j}} prod _ {i = 1} ^ {n} (p ^ {e_ {i} - 1}) ^ {n-c_ {i} +1}.}

Можно проверить, что это дает заказы в предыдущих примерах как особые случаи (см. Hillar, C., & Rhea, D.).

Конечно порожденные абелевы группы

Абелева группа $А$ конечно порожден, если он содержит конечный набор элементов (называемых генераторы) ${ Displaystyle G = {x_ {1}, ldots, x_ {n} }}$ такой, что каждый элемент группы является линейная комбинация с целыми коэффициентами элементов $грамм$ .

Позволять $L$ быть свободная абелева группа с основанием ${ displaystyle B = {b_ {1}, ldots, b_ {n} }.}$ Есть уникальный групповой гомоморфизм ${ Displaystyle р двоеточие L к А,}$ такой, что

{ displaystyle p (b_ {i}) = x_ {i} quad { text {for}} i = 1, ldots, n.}

Этот гомоморфизм сюръективный, и это ядро конечно порожден (поскольку целые числа образуют Кольцо Нётериана). Рассмотрим матрицу $M$ с целочисленными записями, так что записи его $j$ -й столбец - коэффициенты $j$ -й генератор ядра. Тогда абелева группа изоморфна группе коядро линейной карты, определяемой $M$ . И наоборот, каждый целочисленная матрица определяет конечно порожденную абелеву группу.

Отсюда следует, что изучение конечно порожденных абелевых групп полностью эквивалентно изучению целочисленных матриц. В частности, изменение генераторной установки $А$ эквивалентно умножению $M$ слева от унимодулярная матрица (то есть обратимая целочисленная матрица, обратная которой также является целочисленной матрицей). Изменение генераторной установки ядра $M$ эквивалентно умножению $M$ справа унимодулярной матрицей.

В Нормальная форма Смита из $M$ это матрица

{ displaystyle S = UMV,}

куда $U$ и $V$ унимодулярны, и $S$ матрица такая, что все недиагональные элементы равны нулю, а ненулевые диагональные элементы ${ displaystyle d_ {1,1}, ldots, d_ {k, k}}$ первые, и ${ displaystyle d_ {j, j}}$ является делителем ${ displaystyle d_ {я, я}}$ за $я > j$ . Существование и форма нормали Смита доказывают, что конечно порожденная абелева группа $А$ это прямая сумма

{ displaystyle mathbb {Z} ^ {r} oplus mathbb {Z} / d_ {1,1} mathbb {Z} oplus cdots oplus mathbb {Z} / d_ {k, k} mathbb {Z},}

куда $р$ это количество нулевых строк в нижней части $р$ (а также классифицировать группы). Это основная теорема о конечно порожденных абелевых группах.

Существование алгоритмов для нормальной формы Смита показывает, что основная теорема о конечно порожденных абелевых группах является не только теоремой об абстрактном существовании, но обеспечивает способ вычисления выражения конечно порожденных абелевых групп в виде прямых сумм.

Бесконечные абелевы группы

Простейшая бесконечная абелева группа - это бесконечная циклическая группа ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ . Любой конечно порожденная абелева группа ${ displaystyle A}$ изоморфна прямой сумме ${ displaystyle r}$ копии ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ и конечная абелева группа, которая, в свою очередь, разложима в прямую сумму конечного числа циклические группы из основная сила заказы. Несмотря на то, что разложение не уникально, число ${ displaystyle r}$ , называется классифицировать из ${ displaystyle A}$ , а степени простых чисел, дающие порядки конечных циклических слагаемых, определены однозначно.

Напротив, классификация общих бесконечно порожденных абелевых групп далека от завершения. Делимые группы, т.е. абелевы группы ${ displaystyle A}$ в котором уравнение ${ displaystyle nx = a}$ допускает решение ${ displaystyle x in A}$ для любого натурального числа ${ displaystyle n}$ и элемент ${ displaystyle a}$ из ${ displaystyle A}$ , составляют один важный класс бесконечных абелевых групп, которые можно полностью охарактеризовать. Каждая делимая группа изоморфна прямой сумме с слагаемыми, изоморфными ${ displaystyle mathbb {Q}}$ и Прюфер группы ${ Displaystyle mathbb {Q} _ {p} / Z_ {p}}$ для различных простых чисел ${ displaystyle p}$ , а мощность множества слагаемых каждого типа определяется однозначно.^[8] Более того, если делимая группа ${ displaystyle A}$ является подгруппой абелевой группы ${ displaystyle G}$ тогда ${ displaystyle A}$ допускает прямое дополнение: подгруппа ${ displaystyle C}$ из ${ displaystyle G}$ такой, что ${ displaystyle G = A oplus C}$ . Таким образом, делимые группы инъективные модули в категория абелевых групп, и, наоборот, всякая инъективная абелева группа делима (Критерий Бэра). Абелева группа без ненулевых делимых подгрупп называется уменьшенный.

Два важных специальных класса бесконечных абелевых групп с диаметрально противоположными свойствами: торсионные группы и группы без кручения, на примере групп ${ Displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ (периодический) и ${ displaystyle mathbb {Q}}$ (без кручения).

Торсионные группы

Абелева группа называется периодический или же кручение, если каждый элемент имеет конечное порядок. Прямая сумма конечных циклических групп периодична. Хотя в целом обратное утверждение неверно, известны некоторые частные случаи. Первый и второй Теоремы Прюфера заявить, что если ${ displaystyle A}$ периодическая группа, и она либо имеет ограниченная экспонента, т.е. ${ displaystyle nA = 0}$ для некоторого натурального числа ${ displaystyle n}$ , или счетно и ${ displaystyle p}$ -высоты элементов ${ displaystyle A}$ конечны для каждого ${ displaystyle p}$ , тогда ${ displaystyle A}$ изоморфна прямой сумме конечных циклических групп.^[9] Мощность множества прямых слагаемых, изоморфных ${ Displaystyle mathbb {Z} / p ^ {m} mathbb {Z}}$ в таком разложении является инвариантом ${ displaystyle A}$ .^[10]^:6 Позже эти теоремы были включены в Критерий Куликова. В другом направлении, Гельмут Ульм нашел распространение второй теоремы Прюфера на счетные абелевы ${ displaystyle p}$ -группы с элементами бесконечной высоты: эти группы полностью классифицируются с помощью их Ульмские инварианты.

Группы без кручения и смешанные

Абелева группа называется без кручения если каждый ненулевой элемент имеет бесконечный порядок. Несколько классов абелевы группы без кручения были широко изучены:

Свободные абелевы группы, т.е. произвольные прямые суммы ${ Displaystyle mathbb {Z}}$
Моторсион и алгебраически компактный группы без кручения, такие как ${ displaystyle p}$ -адические целые числа
Стройные группы

Абелева группа, не являющаяся ни периодической, ни без кручения, называется смешанный. Если ${ displaystyle A}$ абелева группа и ${ Displaystyle Т (А)}$ это его торсионная подгруппа, то факторная группа ${ Displaystyle A / T (A)}$ без кручения. Однако в общем случае подгруппа кручения не является прямым слагаемым ${ displaystyle A}$ , так ${ displaystyle A}$ является нет изоморфен ${ Displaystyle Т (А) oplus А / Т (А)}$ . Таким образом, теория смешанных групп включает больше, чем просто объединение результатов о периодических группах и группах без кручения. Аддитивная группа ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ целых чисел без кручения ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ -модуль.^[11]^:206

Инварианты и классификация

Один из самых основных инвариантов бесконечной абелевой группы ${ displaystyle A}$ это его классифицировать: мощность максимального линейно независимый подмножество ${ displaystyle A}$ . Абелевы группы ранга 0 - это в точности периодические группы, а абелевы группы без кручения ранга 1 обязательно являются подгруппами ${ displaystyle mathbb {Q}}$ и может быть полностью описана. В более общем смысле абелева группа без кручения конечного ранга ${ displaystyle r}$ является подгруппой ${ displaystyle mathbb {Q} _ {r}}$ . С другой стороны, группа ${ displaystyle p}$ -адические целые числа ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ является абелевой группой без кручения бесконечных ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ -ранг и группы ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {p} ^ {n}}$ с разными ${ displaystyle n}$ неизоморфны, поэтому этот инвариант даже не полностью отражает свойства некоторых знакомых групп.

Все описанные выше классификационные теоремы для конечно порожденных, делимых, счетно-периодических абелевых групп без кручения и ранга 1 были получены до 1950 года и составляют основу классификации более общих бесконечных абелевых групп. Важными техническими инструментами, используемыми при классификации бесконечных абелевых групп, являются: чистый и базовый подгруппы. Введение различных инвариантов абелевых групп без кручения было одним из путей дальнейшего прогресса. Смотрите книги Ирвинг Каплански, Ласло Фукс, Филип Гриффит, и Дэвид Арнольд, а также материалы конференций по теории абелевых групп, опубликованные в Конспект лекций по математике для более свежих результатов.

Аддитивные группы колец

Аддитивная группа звенеть является абелевой группой, но не все абелевы группы являются аддитивными группами колец (с нетривиальным умножением). Некоторые важные темы в этой области исследования:

Тензорное произведение
Результаты Корнера о счетных группах без кручения
Работа Шелаха по снятию ограничений на количество элементов.

Отношение к другим математическим темам

Многие большие абелевы группы обладают естественным топология, что превращает их в топологические группы.

Совокупность всех абелевых групп вместе с гомоморфизмы между ними образует категория ${ displaystyle { textbf {Ab}}}$ , прототип абелева категория.

Ванда Шмелев (1955) доказал, что теория абелевых групп первого порядка, в отличие от своего неабелевого аналога, разрешима. Наиболее алгебраические структуры Кроме как Булевы алгебры находятся неразрешимый.

Есть еще много направлений текущих исследований:

Среди абелевых групп без кручения конечного ранга только конечно порожденный случай и ранг 1 случай хорошо изучены;
В теории абелевых групп без кручения бесконечного ранга остается много нерешенных проблем;
В то время как счетные абелевы группы кручения хорошо понятны с помощью простых представлений и инвариантов Ульма, случай счетных смешанных групп гораздо менее зрел.
Известно, что многие мягкие расширения теории абелевых групп первого порядка неразрешимы.
Конечные абелевы группы остаются предметом исследований в вычислительная теория групп.

Более того, абелевы группы бесконечного порядка приводят, как ни странно, к глубоким вопросам о теория множеств обычно считается лежащим в основе всей математики. Возьми Проблема Уайтхеда: все ли группы Уайтхеда бесконечного порядка также свободные абелевы группы? В 1970-е годы Сахарон Шелах доказал, что проблема Уайтхеда:

Неразрешим в ZFC (Аксиомы Цермело – Френкеля), условное аксиоматическая теория множеств из которого может быть выведена почти вся современная математика. Проблема Уайтхеда также является первым вопросом в обычной математике, который оказался неразрешимым в ZFC;
Неразрешимо, даже если ZFC дополняется принятием гипотеза обобщенного континуума как аксиома;
Положительно ответил, если ZFC дополнить аксиомой конструктивность (видеть утверждения верны в L).

Замечание о типографике

Среди математических прилагательные полученный из правильное имя из математикслово "абелевский" встречается редко, так как оно часто пишется со строчной буквы. а, а не в верхнем регистре А, что указывает на повсеместное распространение этой концепции в современной математике.^[12]

Смотрите также

Подгруппа коммутатора - Наименьшая нормальная подгруппа, по которой фактор коммутативен
Абелианизация - Факторизация группы по ее коммутаторной подгруппе
Диэдральная группа порядка 6 - Некоммутативная группа из 6 элементов, наименьшая неабелева группа
Элементарная абелева группа - Коммутативная группа, в которой все ненулевые элементы имеют одинаковый порядок
Понтрягинская двойственность - Двойственность для локально компактных абелевых групп

Примечания

^ Якобсон 2009, стр. 41 год
^ Роза 2012, п. 32.
^ Кокс, Д.А., Теория Галуа (Hoboken: Джон Уайли и сыновья, 2004), стр. 144–145.
^ Диксон М. Р., Курдаченко Л. А., Субботин И. Ю., Линейные группы: акцент на бесконечномерности (Милтон Парк, Абингдон-он-Темз & Оксфордшир: Тейлор и Фрэнсис, 2020), стр. 49–50.
^ Роза 2012, п. 48.
^ Роза 2012, п. 79.
^ Курцвейл, Х., & Штельмахер, Б., Теория конечных групп: введение (Нью-Йорк, Берлин, Гейдельберг: Springer Verlag, 2004), стр. 43–54.
^ Например, ${ Displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z} cong sum _ {p} mathbb {Q} _ {p} / mathbb {Z} _ {p}}$ .
^ Предположение о счетности во второй теореме Прюфера не может быть удалено: подгруппа кручения группы прямой продукт циклических групп ${ Displaystyle mathbb {Z} / p ^ {m} mathbb {Z}}$ для всех естественных ${ displaystyle m}$ не является прямой суммой циклических групп.
^ Вера, К. С., Кольца и вещи и прекрасный массив ассоциативной алгебры двадцатого века (Провиденс: Американское математическое общество, 2004), п. 6.
^ Лал, Р., Алгебра 2: линейная алгебра, теория Галуа, теория представлений, расширения групп и множитель Шура (Берлин, Гейдельберг: Springer, 2017), п. 206.
^ «Присуждена премия Абеля: Нобелевская премия по математике». Архивировано из оригинал 31 декабря 2012 г.. Получено 3 июля 2016.

внешняя ссылка

«Абелева группа», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Якобсон 2009, стр. 41 год

[2] Роза 2012, п. 32.

[3] Кокс, Д.А., Теория Галуа (Hoboken: Джон Уайли и сыновья, 2004), стр. 144–145.

[4] Диксон М. Р., Курдаченко Л. А., Субботин И. Ю., Линейные группы: акцент на бесконечномерности (Милтон Парк, Абингдон-он-Темз & Оксфордшир: Тейлор и Фрэнсис, 2020), стр. 49–50.

[5] Роза 2012, п. 48.

[6] Роза 2012, п. 79.

[7] Курцвейл, Х., & Штельмахер, Б., Теория конечных групп: введение (Нью-Йорк, Берлин, Гейдельберг: Springer Verlag, 2004), стр. 43–54.

[8] Например, ${ Displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z} cong sum _ {p} mathbb {Q} _ {p} / mathbb {Z} _ {p}}$ .

[9] Предположение о счетности во второй теореме Прюфера не может быть удалено: подгруппа кручения группы прямой продукт циклических групп ${ Displaystyle mathbb {Z} / p ^ {m} mathbb {Z}}$ для всех естественных ${ displaystyle m}$ не является прямой суммой циклических групп.

[10] Вера, К. С., Кольца и вещи и прекрасный массив ассоциативной алгебры двадцатого века (Провиденс: Американское математическое общество, 2004), п. 6.

[11] Лал, Р., Алгебра 2: линейная алгебра, теория Галуа, теория представлений, расширения групп и множитель Шура (Берлин, Гейдельберг: Springer, 2017), п. 206.

[12] «Присуждена премия Абеля: Нобелевская премия по математике». Архивировано из оригинал 31 декабря 2012 г.. Получено 3 июля 2016.

[1]

α

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

v т е Группы
Основные понятия	Подгруппа Нормальная подгруппа Подгруппа коммутатора Факторная группа Групповой гомоморфизм (Полу-) прямой продукт прямая сумма
Типы групп	Конечные группы Абелевы группы Циклические группы Бесконечная группа Простые группы Разрешаемые группы Группа симметрии Космическая группа Группа точек Группа обоев Тривиальная группа
Дискретные группы	Классификация конечных простых групп Циклическая группа Z_п Чередующаяся группа А_п Спорадические группы Группа Матье M_11..12, М_22..24 Конвей группа Co_1..3 Янко группы J₁, J₂, J₃, J₄ Группа Фишера F_22..24 Группа маленьких монстров B Группа монстров M Другие конечные группы Симметричная группа S_п Группа диэдра D_п Группа Кубик Рубика
Группы Ли	Общая линейная группа GL (n) Специальная линейная группа SL (п) Ортогональная группа На) Специальная ортогональная группа Сын) Унитарная группа ООН) Специальная унитарная группа Солнце) Симплектическая группа Sp (п) Исключительные группы Ли грамм₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Круговая группа Группа Лоренца Группа Пуанкаре Группа Quaternion
Бесконечномерные группы	Конформная группа Группа диффеоморфизмов Группа петель Квантовая группа O (∞) SU (∞) Sp (∞)
История Приложения Абстрактная алгебра

Navigation