WikiDer > Ранг абелевой группы

Rank of an abelian group

В математика, то классифицировать, Прюфер ранг, или же ранг без кручения из абелева группа А это мощность максимального линейно независимый подмножество.^[1] Ранг А определяет размер самого большого свободная абелева группа содержалась в А. Если А является без кручения затем он встраивается в векторное пространство над рациональное число ранга размерности А. За конечно порожденные абелевы группы, rank - сильный инвариант, и каждая такая группа определяется с точностью до изоморфизма своим рангом и торсионная подгруппа. Абелевы группы без кручения ранга 1 были полностью засекречены. Однако более сложна теория абелевых групп более высокого ранга.

Термин «ранг» имеет другое значение в контексте элементарные абелевы группы.

Определение

Подмножество {а_α} абелевой группы линейно независимый (над Z), если единственная линейная комбинация этих элементов, равная нулю, тривиальна: если

{ displaystyle sum _ { alpha} n _ { alpha} a _ { alpha} = 0, quad n _ { alpha} in mathbb {Z},}

где все, кроме конечного числа коэффициентов п_α равны нулю (так что сумма, по сути, конечна), то все слагаемые равны 0. Любые два максимальных линейно независимых множества в А имеют то же самое мощность, который называется классифицировать из А.

Ранг абелевой группы аналогичен рангу измерение из векторное пространство. Основное отличие от случая векторного пространства - наличие кручение. Элемент абелевой группы А классифицируется как кручение, если его порядок конечно. Набор всех элементов кручения представляет собой подгруппу, называемую торсионная подгруппа и обозначен Т(А). Группа называется без кручения, если в ней нет нетривиальных элементов кручения. Фактор-группа А/Т(А) - единственный максимальный фактор без кручения А и его ранг совпадает с рангом А.

Понятие ранга с аналогичными свойствами можно определить для модули по любому область целостности, случай абелевых групп, соответствующих модулям над Z. Для этого см. конечно порожденный модуль # Generic rank.

Характеристики

Ранг абелевой группы А совпадает с размером Q-векторное пространство А ⊗ Q. Если А без кручения, то каноническое отображение А → А ⊗ Q является инъективный и звание А это минимальный размер Q-векторное пространство, содержащее А как абелева подгруппа. В частности, любая промежуточная группа Z^п < А < Q^п имеет звание п.
Абелевы группы ранга 0 - это в точности периодические абелевы группы.
Группа Q рациональных чисел имеет ранг 1. Абелевы группы без кручения ранга 1 реализуются как подгруппы Q и существует их удовлетворительная классификация с точностью до изоморфизма. Напротив, не существует удовлетворительной классификации абелевых групп без кручения ранга 2.^[2]
Ранг складывается с короткие точные последовательности: если

{ Displaystyle 0 к А к В к С к 0 ;}

короткая точная последовательность абелевых групп, то rk B = rk А + rk C. Это следует из плоскостность из Q и соответствующий факт для векторных пространств.

Ранг аддитивен над произвольным прямые суммы:

{ displaystyle operatorname {rank} left ( bigoplus _ {j in J} A_ {j} right) = sum _ {j in J} operatorname {rank} (A_ {j}),}

где сумма в правой части использует кардинальная арифметика.

Группы более высокого ранга

Абелевы группы ранга выше 1 - источники интересных примеров. Например, для каждого кардинала d существуют абелевы группы без кручения ранга d которые неразложимый, т.е. не могут быть выражены как прямая сумма пары собственных подгрупп. Эти примеры демонстрируют, что абелевы группы без кручения ранга выше 1 не могут быть просто построены прямыми суммами из абелевых групп без кручения ранга 1, теория которых хорошо изучена. Более того, для любого целого числа ${ Displaystyle п geq 3}$ , существует абелева группа без кручения ранга ${ displaystyle 2n-2}$ это одновременно сумма двух неразложимых групп и сумма п неразложимые группы.^{[нужна цитата]} Следовательно, даже количество неразложимых слагаемых в группе четного ранга, большего или равного 4, точно не определено.

Другой результат о неединственности разложений прямой суммы принадлежит А.Л.С. Угол: заданные целые числа ${ Displaystyle п geq к geq 1}$ , существует абелева группа без кручения А ранга п такое, что для любого раздела ${ displaystyle n = r_ {1} + cdots + r_ {k}}$ в k естественные слагаемые, группа А прямая сумма k неразложимые подгруппы рангов ${ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, ldots, r_ {k}}$ .^{[нужна цитата]} Таким образом, последовательность рангов неразложимых слагаемых в некотором разложении в прямую сумму абелевой группы без кручения конечного ранга очень далека от того, чтобы быть инвариантом А.

Другие удивительные примеры включают группы без кручения ранга 2. А_п,м и B_п,м такой, что А^п изоморфен B^п если и только если п делится на м.

Для абелевых групп бесконечного ранга есть пример группы K и подгруппа грамм такой, что

K неразложима;
K генерируется грамм и еще один элемент; и
Каждое ненулевое прямое слагаемое грамм разложима.

Обобщение

Понятие ранга можно обобщить для любого модуля M над область целостности р, поскольку размерность превышает р₀, то поле частного, из тензорное произведение модуля с полем:

{ displaystyle { text {rank}} (M) = dim _ {R_ {0}} M otimes _ {R} R_ {0}}

Это имеет смысл, поскольку р₀ является полем и, следовательно, любым модулем (или, если быть более конкретным, векторное пространство) над ним бесплатно.

Это обобщение, поскольку любая абелева группа является модулем над целыми числами. Отсюда легко следует, что размер изделия превышает Q - мощность максимального линейно независимого подмножества, поскольку для любого элемента кручения x и любого рационального q

{ displaystyle x otimes _ { mathbf {Z}} q = 0}

Смотрите также

Ранг группы

Navigation