WikiDer > Интегральный домен

Integral domain

В математика, конкретно абстрактная алгебра, область целостности это ненулевой коммутативное кольцо в котором произведение любых двух ненулевых элементов отлично от нуля.^[1]^[2] Интегральные области являются обобщениями кольцо целых чисел и обеспечить естественную обстановку для учебы делимость. В области целостности каждый ненулевой элемент а имеет аннулирование собственности, то есть если а ≠ 0, равенство ab = ac подразумевает б = c.

«Интегральная область» определяется почти универсально, как указано выше, но есть некоторые вариации. В этой статье следует соглашение о том, что кольца имеют мультипликативная идентичность, обычно обозначаемый 1, но некоторые авторы не следуют этому, не требуя, чтобы области целостности имели мультипликативную идентичность.^[3]^[4] Иногда допускаются некоммутативные области целостности.^[5] В этой статье, однако, следует гораздо более обычное соглашение о сохранении термина «область целостности» для коммутативного случая и использовании «домен«для общего случая, включая некоммутативные кольца.

Некоторые источники, в частности Lang, используйте термин все кольцо для области целостности.^[6]

Некоторые конкретные виды интегральных доменов даются следующей цепочкой классные включения:

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ целостные области ⊃ целозамкнутые области ⊃ GCD домены ⊃ уникальные домены факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ Евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Определение

An область целостности в основном определяется как ненулевой коммутативное кольцо в котором произведение любых двух ненулевых элементов отлично от нуля. Это определение можно переформулировать с помощью ряда эквивалентных определений:

Область целостности - это ненулевое коммутативное кольцо без ненулевого делители нуля.
Область целостности - это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} - это главный идеал.
Область целостности - это ненулевое коммутативное кольцо, для которого каждый ненулевой элемент является отменяемый при умножении.
Область целостности - это кольцо, для которого множество ненулевых элементов является коммутативным моноид при умножении (поскольку моноид должен быть закрыто при умножении).
Область целостности - это ненулевое коммутативное кольцо, в котором для каждого ненулевого элемента р, функция, отображающая каждый элемент Икс кольца к изделию xr является инъективный. Элементы р с этим свойством называются обычный, так что это равносильно требованию, чтобы каждый ненулевой элемент кольца был регулярным.

Основное свойство областей целостности состоит в том, что каждая подкольцо из поле является областью целостности, и что, наоборот, для любой области целостности можно построить поле, которое содержит ее как подкольцо, поле дробей. Эту характеристику можно рассматривать как дополнительное эквивалентное определение:

Область целостности - это кольцо, которое (изоморфный к) подкольцо поля.

Примеры

Типичный пример - кольцо ${displaystyle mathbb {Z}}$ из всех целые числа.
Каждый поле является областью целостности. Например, поле ${displaystyle mathbb {R}}$ из всех действительные числа является областью целостности. И наоборот, каждые Артиниан область целостности - это поле. В частности, все конечные области целостности являются конечные поля (в более общем плане Маленькая теорема Веддерберна, конечный домены находятся конечные поля). Кольцо целых чисел ${displaystyle mathbb {Z}}$ предоставляет пример неартиновой бесконечной области целостности, которая не является полем, обладающей бесконечными убывающими последовательностями идеалов, таких как:

{displaystyle mathbb {Z} supset 2mathbb {Z} supset cdots supset 2 ^ {n} mathbb {Z} supset 2 ^ {n + 1} mathbb {Z} supset cdots}

Кольца многочлены являются областями целостности, если коэффициенты происходят из области целостности. Например, кольцо ${displaystyle mathbb {Z} [x]}$ всех многочленов от одной переменной с целыми коэффициентами является областью целостности; как и кольцо ${displaystyle mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ всех многочленов из п-переменные с сложный коэффициенты.

Предыдущий пример можно использовать дальше, взяв частные из простых идеалов. Например, кольцо ${displaystyle mathbb {C} [x, y] / (y ^ {2} -x (x-1) (x-2))}$ соответствует плоскости эллиптическая кривая является областью целостности. Целостность можно проверить, показав ${displaystyle y ^ {2} -x (x-1) (x-2)}$ является неприводимый многочлен.

Кольцо ${displaystyle mathbb {Z} [x] / (x ^ {2} -n) cong mathbb {Z} [{sqrt {n}}]}$ является областью целостности для любого неквадратного целого числа ${displaystyle n}$ . Если ${displaystyle n> 0}$ , то это кольцо всегда является подкольцом ${displaystyle mathbb {R}}$ , в противном случае это подкольцо ${displaystyle mathbb {C}.}$

Кольцо p-адические целые числа ${displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ является областью целостности.

Если ${displaystyle U}$ это связаны открытое подмножество из комплексная плоскость ${displaystyle mathbb {C}}$ , то кольцо ${displaystyle {mathcal {H}} (U)}$ состоящий из всех голоморфные функции является областью целостности. То же самое и с кольцами из аналитические функции на связанных открытых подмножествах аналитических коллекторы.

А обычное местное кольцо является областью целостности. Фактически, регулярное локальное кольцо - это УрФО.^[7]^[8]

Не примеры

Следующие кольца нет целостные области.

В нулевое кольцо (кольцо, в котором ${displaystyle 0 = 1}$ ).

В кольцо частного ${displaystyle mathbb {Z} / mmathbb {Z}}$ когда м это составное число. Действительно, выберите правильную факторизацию ${displaystyle m = xy}$ (означающий, что ${displaystyle x}$ и ${displaystyle y}$ не равны ${displaystyle 1}$ или же ${displaystyle m}$ ). потом ${displaystyle xot Equiv 0 {mod {m}}}$ и ${displaystyle yot Equiv 0 {mod {m}}}$ , но ${displaystyle xyequiv 0 {mod {m}}}$ .

А товар двух ненулевых коммутативных колец. В таком продукте ${displaystyle R imes S}$ , надо ${displaystyle (1,0) cdot (0,1) = (0,0)}$ .

Когда ${displaystyle n}$ квадрат, кольцо ${displaystyle mathbb {Z} [x] / (x ^ {2} -n)}$ не является областью целостности. Написать ${displaystyle n = m ^ {2}}$ , и обратите внимание, что существует факторизация ${displaystyle x ^ {2} -n = (x-m) (x + m)}$ в ${displaystyle mathbb {Z} [x]}$ . Посредством Китайская теорема об остатках, существует изоморфизм ${displaystyle mathbb {Z} [x] / (x ^ {2} -n) cong mathbb {Z} [x] / (xm) imes mathbb {Z} [x] / (x + m) cong mathbb {Z} imes mathbb {Z}.}$

В звенеть из п × п матрицы по любому ненулевое кольцо когда п ≥ 2. Если ${displaystyle M}$ и ${displaystyle N}$ - матрицы такие, что образ ${displaystyle N}$ содержится в ядре ${displaystyle M}$ , тогда ${displaystyle MN = 0}$ . Например, это происходит для ${displaystyle M = N = ({egin {smallmatrix} 0 & 1 0 & 0end {smallmatrix}})}$ .

В кольцо частного ${displaystyle k [x_ {1}, ldots, x_ {n}] / (fg)}$ для любого поля ${displaystyle k}$ и любые непостоянные многочлены ${displaystyle f, gin k [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ . Образы $ж$ и $грамм$ в этом фактор-кольце ненулевые элементы, произведение которых равно 0. Это рассуждение эквивалентно показывает, что ${displaystyle (fg)}$ это не главный идеал. Геометрическая интерпретация этого результата состоит в том, что нули из $фг$ для мужчин аффинное алгебраическое множество который не является неприводимым (то есть не алгебраическое многообразие) в целом. Единственный случай, когда это алгебраическое множество может быть неприводимым, - это когда $фг$ это сила неприводимый многочлен, определяющий то же алгебраическое множество.

Кольцо непрерывные функции на единичный интервал. Рассмотрим функции

{displaystyle f (x) = {egin {case} 1-2x & xin left [0, {frac {1} {2}} ight] 0 & xin left [{frac {1} {2}}, 1ight] end {cases}) } qquad g (x) = {egin {case} 0 & xin left [0, {frac {1} {2}} ight] 2x-1 & xin left [{frac {1} {2}}, 1ight] end {cases} }}

Ни один

{displaystyle f}

ни

{displaystyle g}

везде ноль, но

{displaystyle fg}

является.

В тензорное произведение ${displaystyle mathbb {C} otimes _ {mathbb {R}} mathbb {C}}$ . Это кольцо имеет две нетривиальные идемпотенты, ${displaystyle e_ {1} = {frac {1} {2}} (1otimes 1) - {frac {1} {2}} (iotimes i)}$ и ${displaystyle e_ {2} = {frac {1} {2}} (1otimes 1) + {frac {1} {2}} (iotimes i)}$ . Они ортогональны, что означает, что ${displaystyle e_ {1} e_ {2} = 0}$ , и поэтому ${displaystyle mathbb {C} otimes _ {mathbb {R}} mathbb {C}}$ это не домен. На самом деле существует изоморфизм ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {C} o mathbb {C} otimes _ {mathbb {R}} mathbb {C}}$ определяется ${displaystyle (z, w) mapsto zcdot e_ {1} + wcdot e_ {2}}$ . Его обратное определяется как ${displaystyle zotimes wmapsto (zw, z {overline {w}})}$ . Этот пример показывает, что волокнистый продукт неприводимых аффинных схем не обязательно должны быть неприводимыми.

Делимость, простые элементы и неприводимые элементы

В этой секции, р является областью целостности.

Данные элементы а и б из р, говорят, что а разделяет б, или это а это делитель из б, или это б это несколько из а, если существует элемент Икс в р такой, что топор = б.

В единицы из р элементы, делящие 1; это в точности обратимые элементы в р. Единицы разделяют все остальные элементы.

Если а разделяет б и б разделяет а, тогда а и б находятся связанные элементы или же соратники.^[9] Эквивалентно, а и б являются партнерами, если а = уб для некоторых единица измерения ты.

An неприводимый элемент является ненулевой неединицей, которая не может быть записана как произведение двух неединиц.

Ненулевое неединичное п это главный элемент если, когда п делит продукт ab, тогда п разделяет а или же п разделяет б. Эквивалентно элемент п проста тогда и только тогда, когда главный идеал (п) - ненулевой простой идеал.

Оба понятия неприводимых элементов и простых элементов обобщают обычное определение простые числа в ринге ${displaystyle mathbb {Z},}$ если рассматривать как простые отрицательные простые числа.

Каждый простой элемент неприводим. Обратное в целом неверно: например, в квадратичное целое число звенеть ${displaystyle mathbb {Z} left [{sqrt {-5}} ight]}$ элемент 3 является неприводимым (если его разложить на множители нетривиально, каждый из факторов должен иметь норму 3, но нет элементов нормы 3, поскольку ${displaystyle a ^ {2} + 5b ^ {2} = 3}$ не имеет целочисленных решений), но не простое (так как 3 делит ${displaystyle left (2+ {sqrt {-5}} ight) left (2- {sqrt {-5}} ight)}$ без деления на любой из факторов). В уникальной области факторизации (или, в более общем смысле, GCD домен) неприводимый элемент является простым элементом.

Пока уникальная факторизация не выдерживает ${displaystyle mathbb {Z} left [{sqrt {-5}} ight]}$ , существует уникальная факторизация идеалы. Видеть Теорема Ласкера – Нётер.

Характеристики

Коммутативное кольцо р является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал (0) р это главный идеал.
Если р коммутативное кольцо и п является идеальный в р, то кольцо частного R / P является областью целостности тогда и только тогда, когда п это главный идеал.
Позволять р - область целостности. Тогда кольца многочленов над р (в любом количестве неопределенных) являются областями целостности. Это особенно верно, если р это поле.
Свойство отмены сохраняется в любой области целостности: для любого а, б, и c в области целостности, если а ≠ 0 и ab = ac тогда б = c. Другой способ заявить об этом состоит в том, что функция Икс ↦ топор инъективен для любого ненулевого а в домене.
Свойство сокращения выполняется для идеалов в любой области целостности: если xI = xJ, то либо Икс равно нулю или я = J.
Область целостности равна пересечению ее локализации при максимальных идеалах.
An индуктивный предел областей целостности является областью целостности.
Если ${displaystyle A, B}$ являются областями целостности над алгебраически замкнутым полем k, тогда ${displaystyle Aotimes _ {k} B}$ является областью целостности. Это следствие Nullstellensatz Гильберта,^{[примечание 1]} а в алгебраической геометрии из него следует утверждение, что координатное кольцо произведения двух аффинных алгебраических многообразий над алгебраически замкнутым полем снова является областью целостности.

Поле дробей

В поле дробей K области целостности р это множество дробей а/б с а и б в р и б ≠ 0 по модулю подходящего отношения эквивалентности, снабженного обычными операциями сложения и умножения. Это «наименьшее поле, содержащее р "в том смысле, что существует инъективный гомоморфизм колец р → K такой, что любой инъективный гомоморфизм колец из р на поле факторы через K. Поле дробей кольца целых чисел ${displaystyle mathbb {Z}}$ это область рациональное число ${displaystyle mathbb {Q}.}$ Поле дробей поля есть изоморфный к самому полю.

Алгебраическая геометрия

Целые области характеризуются тем, что они уменьшенный (то есть Икс² = 0 означает Икс = 0) и несводимый (то есть есть только один минимальный простой идеал). Первое условие гарантирует, что нильрадикал кольца равно нулю, так что пересечение всех минимальных простых чисел кольца равно нулю. Последнее условие состоит в том, что кольцо имеет только одно минимальное простое число. Отсюда следует, что единственным минимальным первичным идеалом редуцированного неприводимого кольца является нулевой идеал, поэтому такие кольца являются областями целостности. Обратное очевидно: в области целостности нет ненулевых нильпотентных элементов, а нулевой идеал - это единственный минимальный простой идеал.

Это переводится как алгебраическая геометрия, на то, что координатное кольцо из аффинное алгебраическое множество является областью целостности тогда и только тогда, когда алгебраическое множество является алгебраическое многообразие.

В более общем смысле коммутативное кольцо является областью целостности тогда и только тогда, когда его спектр является интеграл аффинная схема.

Характеристика и гомоморфизмы

В характеристика области целостности либо 0, либо простое число.

Если р является областью целостности простой характеристики п, то Эндоморфизм Фробениуса ж(Икс) = Икс^п является инъективный.

Смотрите также

Норма Дедекинда – Хассе - дополнительная структура, необходимая для того, чтобы целостная область была главной
Собственность нулевого продукта

Примечания

^ Доказательство: сначала предположим А конечно порождается как k-алгебра и выберите ${displaystyle k}$ -основа ${displaystyle g_ {i}}$ из ${displaystyle B}$ . Предполагать ${extstyle sum f_ {i} otimes g_ {i} sum h_ {j} otimes g_ {j} = 0}$ (только конечное число ${displaystyle f_ {i}, h_ {j}}$ отличны от нуля). Для каждого максимального идеала ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ из ${displaystyle A}$ рассмотрим гомоморфизм колец ${displaystyle Aotimes _ {k} B o A / {mathfrak {m}} otimes _ {k} B = kotimes _ {k} Bsimeq B}$ . Тогда изображение ${extstyle sum {overline {f_ {i}}} g_ {i} sum {overline {h_ {i}}} g_ {i} = 0}$ и поэтому либо ${extstyle sum {overline {f_ {i}}} g_ {i} = 0}$ или же ${extstyle sum {overline {h_ {i}}} g_ {i} = 0}$ и, в силу линейной независимости, ${displaystyle {overline {f_ {i}}} = 0}$ для всех ${displaystyle i}$ или же ${displaystyle {overline {h_ {i}}} = 0}$ для всех ${displaystyle i}$ . С ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ произвольно, имеем ${extstyle (сумма f_ {i} A) (сумма h_ {i} A) имя оператора подмножества {Jac} (A) =}$ пересечение всех максимальных идеалов ${displaystyle = (0)}$ где последнее равенство - по Nullstellensatz. С ${displaystyle (0)}$ является первичным идеалом, отсюда следует либо ${extstyle sum f_ {i} A}$ или же ${extstyle sum h_ {i} A}$ - нулевой идеал; т.е. либо ${displaystyle f_ {i}}$ все равны нулю или ${displaystyle h_ {i}}$ все равны нулю. Ну наконец то, ${displaystyle A}$ индуктивный предел конечно порожденных k-алгебры, которые являются областями целостности и, таким образом, используя предыдущее свойство, ${displaystyle Aotimes _ {k} B = varinjlim A_ {i} otimes _ {k} B}$ является областью целостности. ${displaystyle square}$

^ Бурбаки, с. 116.
^ Даммит и Фут, стр. 228.
^ Б.Л. ван дер Варден, Алгебра Эрстер Тейл, стр. 36, Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг 1966.
^ В. Герштейн, Разделы алгебры, с. 88-90, Blaisdell Publishing Company, Лондон, 1964.
^ Дж. К. МакКоннел и Дж. К. Робсон "Некоммутативные нётеровы кольца" (Аспирантура по математике Vol. 30, АПП)
^ Страницы 91–92 из Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
^ Ауслендер, Морис; Бухсбаум, Д. А. (1959). «Уникальная факторизация в регулярных локальных кольцах». Proc. Natl. Акад. Sci. Соединенные Штаты Америки. 45 (5): 733–734. Дои:10.1073 / пнас.45.5.733. ЧВК 222624. PMID 16590434.
^ Масаёши Нагата (1958). «Общая теория алгебраической геометрии над дедекиндовыми областями. II». Амер. J. Math. Издательство Университета Джона Хопкинса. 80 (2): 382–420. Дои:10.2307/2372791. JSTOR 2372791.
^ Дурбин, Джон Р. (1993). Современная алгебра: введение (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 224. ISBN 0-471-51001-7. Элементы а и б [области целостности] называются соратники если а | б и б | а.

внешняя ссылка

«Откуда появился термин« область целостности »?».

[10] Доказательство: сначала предположим А конечно порождается как k-алгебра и выберите ${displaystyle k}$ -основа ${displaystyle g_ {i}}$ из ${displaystyle B}$ . Предполагать ${extstyle sum f_ {i} otimes g_ {i} sum h_ {j} otimes g_ {j} = 0}$ (только конечное число ${displaystyle f_ {i}, h_ {j}}$ отличны от нуля). Для каждого максимального идеала ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ из ${displaystyle A}$ рассмотрим гомоморфизм колец ${displaystyle Aotimes _ {k} B o A / {mathfrak {m}} otimes _ {k} B = kotimes _ {k} Bsimeq B}$ . Тогда изображение ${extstyle sum {overline {f_ {i}}} g_ {i} sum {overline {h_ {i}}} g_ {i} = 0}$ и поэтому либо ${extstyle sum {overline {f_ {i}}} g_ {i} = 0}$ или же ${extstyle sum {overline {h_ {i}}} g_ {i} = 0}$ и, в силу линейной независимости, ${displaystyle {overline {f_ {i}}} = 0}$ для всех ${displaystyle i}$ или же ${displaystyle {overline {h_ {i}}} = 0}$ для всех ${displaystyle i}$ . С ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ произвольно, имеем ${extstyle (сумма f_ {i} A) (сумма h_ {i} A) имя оператора подмножества {Jac} (A) =}$ пересечение всех максимальных идеалов ${displaystyle = (0)}$ где последнее равенство - по Nullstellensatz. С ${displaystyle (0)}$ является первичным идеалом, отсюда следует либо ${extstyle sum f_ {i} A}$ или же ${extstyle sum h_ {i} A}$ - нулевой идеал; т.е. либо ${displaystyle f_ {i}}$ все равны нулю или ${displaystyle h_ {i}}$ все равны нулю. Ну наконец то, ${displaystyle A}$ индуктивный предел конечно порожденных k-алгебры, которые являются областями целостности и, таким образом, используя предыдущее свойство, ${displaystyle Aotimes _ {k} B = varinjlim A_ {i} otimes _ {k} B}$ является областью целостности. ${displaystyle square}$

[1] Бурбаки, с. 116.

[2] Даммит и Фут, стр. 228.

[3] Б.Л. ван дер Варден, Алгебра Эрстер Тейл, стр. 36, Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг 1966.

[4] В. Герштейн, Разделы алгебры, с. 88-90, Blaisdell Publishing Company, Лондон, 1964.

[5] Дж. К. МакКоннел и Дж. К. Робсон "Некоммутативные нётеровы кольца" (Аспирантура по математике Vol. 30, АПП)

[6] Страницы 91–92 из Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001

[7] Ауслендер, Морис; Бухсбаум, Д. А. (1959). «Уникальная факторизация в регулярных локальных кольцах». Proc. Natl. Акад. Sci. Соединенные Штаты Америки. 45 (5): 733–734. Дои:10.1073 / пнас.45.5.733. ЧВК 222624. PMID 16590434.

[8] Масаёши Нагата (1958). «Общая теория алгебраической геометрии над дедекиндовыми областями. II». Амер. J. Math. Издательство Университета Джона Хопкинса. 80 (2): 382–420. Дои:10.2307/2372791. JSTOR 2372791.

[9] Дурбин, Джон Р. (1993). Современная алгебра: введение (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 224. ISBN 0-471-51001-7. Элементы а и б [области целостности] называются соратники если а | б и б | а.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[примечание 1]

Navigation