WikiDer > Главный идеал

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Главный идеал» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Октябрь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья включает список литературы, связанное чтение или внешние ссылки, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшить эта статья введение более точные цитаты. (Октябрь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математикав частности теория колец, а главный идеал является идеальный ${ displaystyle I}$ в кольцо ${ displaystyle R}$ который создается одним элементом ${ displaystyle a}$ из ${ displaystyle R}$ через умножение на каждый элемент ${ displaystyle R.}$ Этот термин также имеет другое, похожее значение в теория порядка, где это относится к (порядок) идеальный в посеть ${ displaystyle P}$ генерируется одним элементом ${ displaystyle x in P,}$ то есть набор всех элементов, меньших или равных ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle P.}$

В оставшейся части статьи рассматривается концепция теории колец.

Определения

• а левый главный идеал из ${ displaystyle R}$ это подмножество из ${ displaystyle R}$ формы ${ displaystyle Ra = {ra: r in R },}$
• а правильный главный идеал из ${ displaystyle R}$ является подмножеством вида ${ displaystyle aR = {ar: r in R },}$
• а двусторонний главный идеал из ${ displaystyle R}$ является подмножеством всех конечных сумм элементов вида ${ displaystyle ras}$, а именно ${ displaystyle RaR = {r_ {1} as_ {1} + ldots + r_ {n} as_ {n}: r_ {1}, s_ {1}, ldots, r_ {n}, s_ {n} in R }.}$

Хотя это определение двустороннего главного идеала может показаться более сложным, чем другие, необходимо убедиться, что идеал остается замкнутым при сложении.

Если ${ displaystyle R}$ это коммутативное кольцо с тождеством, то все три вышеупомянутых понятия одинаковы. В этом случае принято писать идеал, порожденный ${ displaystyle a}$ так как ${ displaystyle langle a rangle}$ или ${ Displaystyle (а).}$

Примеры неглавного идеала

Не все идеалы главны. Например, рассмотрим коммутативное кольцо ${ Displaystyle mathbb {C} [х, у]}$ из всех многочлены в двоем переменные ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y,}$ с участием сложный коэффициенты. Идеал ${ Displaystyle langle х, у rangle}$ Сгенерированно с помощью ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y,}$ который состоит из всех многочленов от ${ Displaystyle mathbb {C} [х, у]}$ который имеет нуль для постоянный срок, не является принципиальным. Чтобы увидеть это, предположим, что ${ displaystyle p}$ были генератором для ${ displaystyle langle x, y rangle.}$ потом ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ оба будут делиться на ${ displaystyle p,}$ что невозможно, если ${ displaystyle p}$ ненулевая константа, но ноль - единственная константа в ${ displaystyle langle x, y rangle,}$ так что у нас есть противоречие.

На ринге ${ displaystyle mathbb {Z} [{ sqrt {-3}}] = {a + b { sqrt {-3}}: a, b in mathbb {Z} },}$ числа, где ${ displaystyle a + b}$ даже образуют неглавный идеал. Этот идеал образует правильную гексагональную решетку на комплексной плоскости. Рассматривать ${ Displaystyle (а, Ь) = (2,0)}$ и ${ displaystyle (1,1).}$ Эти числа являются элементами этого идеала с той же нормой (два), но поскольку единственные единицы в кольце ${ displaystyle 1}$ и ${ displaystyle -1,}$ они не товарищи.

Связанные определения

Кольцо, в котором каждый идеал является главным, называется главный, или кольцо главных идеалов. А главная идеальная область (PID) - это область целостности в котором главный идеал. Любой PID - это уникальная область факторизации; нормальное доказательство однозначной факторизации в целые числа (так называемое основная теорема арифметики) выполняется в любом PID.

Примеры главного идеала

Основные идеалы в ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ имеют форму ${ displaystyle langle n rangle = n mathbb {Z}.}$ По факту, ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ является областью главных идеалов, что можно показать следующим образом. Предположим ${ Displaystyle I = langle n_ {1}, n_ {2}, ldots rangle}$ где ${ displaystyle n_ {1} neq 0,}$ и рассмотрим сюръективные гомоморфизмы ${ displaystyle mathbb {Z} / langle n_ {1} rangle rightarrow mathbb {Z} / langle n_ {1}, n_ {2} rangle rightarrow mathbb {Z} / langle n_ { 1}, n_ {2}, n_ {3} rangle rightarrow cdots.}$ поскольку ${ Displaystyle mathbb {Z} / langle n_ {1} rangle}$ конечно, для достаточно больших ${ displaystyle k}$ у нас есть ${ displaystyle mathbb {Z} / langle n_ {1}, n_ {2}, ldots, n_ {k} rangle = mathbb {Z} / langle n_ {1}, n_ {2}, ldots, n_ {k + 1} rangle = cdots.}$ Таким образом ${ Displaystyle I = langle n_ {1}, n_ {2}, ldots, n_ {k} rangle,}$ что подразумевает ${ displaystyle I}$ всегда конечно порожден. Поскольку идеальный ${ displaystyle langle a, b rangle}$ генерируется любыми целыми числами ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ точно ${ displaystyle langle mathop { mathrm {gcd}} (a, b) rangle,}$ индукцией по числу образующих следует, что ${ displaystyle I}$ является основным.

Однако все кольца имеют главные идеалы, а именно любой идеал, порожденный ровно одним элементом. Например, идеальный ${ Displaystyle langle х rangle}$ главный идеал ${ Displaystyle mathbb {C} [х, у],}$ и ${ Displaystyle langle { sqrt {-3}} rangle}$ главный идеал ${ displaystyle mathbb {Z} [{ sqrt {-3}}].}$ По факту, ${ Displaystyle {0 } = langle 0 rangle}$ и ${ Displaystyle R = langle 1 rangle}$ главные идеалы любого кольца ${ displaystyle R.}$

Свойства

Любые Евклидова область это PID; алгоритм, используемый для расчета наибольшие общие делители может использоваться для нахождения генератора любого идеала. Более того, любые два главных идеала в коммутативном кольце имеют наибольший общий делитель в смысле идеального умножения. В областях главных идеалов это позволяет нам вычислять наибольшие общие делители элементов кольца кольцо, с точностью до умножения на единица измерения; мы определяем ${ Displaystyle gcd (а, б)}$ быть любым генератором идеала ${ displaystyle langle a, b rangle.}$

Для Дедекиндский домен ${ displaystyle R,}$ мы также можем спросить, учитывая неглавный идеал ${ displaystyle I}$ из ${ displaystyle R,}$ есть ли какое-то расширение ${ displaystyle S}$ из ${ displaystyle R}$ такой, что идеал ${ displaystyle S}$ Сгенерированно с помощью ${ displaystyle I}$ является основным (более свободно говоря, ${ displaystyle I}$ становится основным в ${ displaystyle S}$Этот вопрос возник в связи с изучением колец алгебраические целые числа (которые являются примерами дедекиндовских доменов) в теория чисел, и привел к развитию теория поля классов от Тейджи Такаги, Эмиль Артин, Дэвид Гильберт, и многие другие.

В Теорема об основном идеале теории полей классов утверждает, что каждое целое кольцо ${ displaystyle R}$ (т.е. кольцо целых чисел некоторых числовое поле) содержится в большем целочисленном кольце ${ displaystyle S}$ который обладает свойством каждый идеал ${ displaystyle R}$ становится главным идеалом ${ displaystyle S.}$ В этой теореме мы можем взять ${ displaystyle S}$ быть кольцом целых чисел Поле классов Гильберта из ${ displaystyle R}$; то есть максимальное неразветвленный абелево расширение (то есть Расширение Галуа чья Группа Галуа является абелевский) поля дробей ${ displaystyle R,}$ и это однозначно определяется ${ displaystyle R.}$

Теорема Крулля о главном идеале заявляет, что если ${ displaystyle R}$ является нётеровым кольцом и ${ displaystyle I}$ главный, собственный идеал ${ displaystyle R,}$ тогда ${ displaystyle I}$ имеет рост максимум один.

Смотрите также

• Условие возрастающей цепочки главных идеалов

использованная литература

• Галлиан, Джозеф А. (2017). Современная абстрактная алгебра (9-е изд.). Cengage Learning. ISBN 978-1-305-65796-0.