WikiDer > Поле дробей

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частного • Кольцо продукта • Свободное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${displaystyle mathbb {Z}}$ • Терминальное кольцо ${displaystyle 0 = mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • Кольцо Jordan • Полукруглый • Полуполе
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Интегральный домен • Целостно закрытый домен • GCD домен • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо серии power Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентная теория чисел • Степень трансцендентности п-адический теория чисел и десятичные дроби • Прямой лимит/Обратный предел • Нулевое кольцо ${displaystyle mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю пп ${displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ • Прюфер п-звенеть ${displaystyle mathbb {Z} (p ^ {infty})}$ • Основание-п круг кольцо ${displaystyle mathbb {T}}$ • Основание-п целые числа ${displaystyle mathbb {Z}}$ • п-adic рациональные ${displaystyle mathbb {Z} [1 / p]}$ • Основание-п действительные числа ${displaystyle mathbb {R}}$ • п-адические целые числа ${displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ • п-адические числа ${displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ • п-адический соленоид ${displaystyle mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В абстрактная алгебра, то поле дробей из область целостности самый маленький поле в котором это может быть встроенный.

Элементы поля дробей области целостности ${displaystyle R}$ - классы эквивалентности (см. конструкцию ниже), записанные как

${displaystyle {frac {a} {b}}}$

с

${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ в ${displaystyle R}$ и ${displaystyle beq 0}$.

Поле дробей ${displaystyle R}$ иногда обозначается как ${displaystyle operatorname {Frac} (R)}$ или же ${displaystyle operatorname {Quot} (R)}$.

Математики называют эту конструкцию полем дробей, поле дроби, поле частных, или же поле частного. Все четыре используются часто. Выражение «поле частного» иногда может быть перепутано с коэффициентом кольца по идеалу, что является совершенно другим понятием.

Примеры

• Поле дробей кольца целые числа это область рациональные, ${displaystyle mathbb {Q} = имя оператора {Frac} (mathbb {Z})}$.
• Позволять ${displaystyle R: = {a + bmathrm {i} mid a, bin mathbb {Z}}}$ быть кольцом Гауссовские целые числа. потом ${displaystyle operatorname {Frac} (R) = {c + dmathrm {i} mid c, din mathbb {Q}}}$, Поле Гауссовские рациональные числа.
• Поле дробей поля канонически изоморфный к самому полю.
• Учитывая поле ${displaystyle K}$, поле дробей кольцо многочленов в одном неопределенном ${displaystyle K [X]}$ (которая является областью целостности), называется поле рациональных функций или же поле рациональных дробей^[1][2][3] и обозначается ${displaystyle K (X)}$.

Строительство

Позволять ${displaystyle R}$ быть любым область целостности.

За ${displaystyle n, din R}$ с ${displaystyle deq 0}$,

то дробная часть

${displaystyle {frac {n} {d}}}$

обозначает класс эквивалентности пар

${displaystyle (n, d)}$,

куда ${displaystyle (n, d)}$ эквивалентно ${displaystyle (m, b)}$ если и только если ${displaystyle nb = md}$.

(Определение эквивалентности моделируется на свойстве рациональных чисел, что ${displaystyle {frac {n} {d}} = {frac {m} {b}}}$ если и только если ${displaystyle nb = md}$.)

В поле дробей ${displaystyle operatorname {Frac} (R)}$ определяется как множество всех таких дробей ${displaystyle {frac {n} {d}}}$.

Сумма ${displaystyle {frac {n} {d}}}$ и ${displaystyle {frac {m} {b}}}$ определяется как

${displaystyle {frac {nb + md} {db}}}$,

и продукт ${displaystyle {frac {n} {d}}}$ и ${displaystyle {frac {m} {b}}}$ определяется как

${displaystyle {frac {nm} {db}}}$

(проверяется, правильно ли они определены).

Вложение ${displaystyle R}$ в ${displaystyle operatorname {Frac} (R)}$ отображает каждый ${displaystyle n}$ в ${displaystyle R}$ во фракцию ${displaystyle {frac {en} {e}}}$ для любого ненулевого ${displaystyle ein R}$ (класс эквивалентности не зависит от выбора ${displaystyle e}$). Это по образцу идентичности ${displaystyle {frac {n} {1}} = n}$.

Поле дробей ${displaystyle R}$ характеризуется следующими универсальная собственность:

если ${displaystyle h: Rightarrow F}$ является инъективный кольцевой гомоморфизм из ${displaystyle R}$ в поле ${displaystyle F}$,

то существует единственный кольцевой гомоморфизм ${displaystyle g: operatorname {Frac} (R) ightarrow F}$ который расширяет ${displaystyle h}$.

Существует категоричный интерпретация этой конструкции. Позволять ${displaystyle C}$ - категория областей целостности и инъективных отображений колец. В функтор из ${displaystyle C}$ в категорию полей, которая переводит каждую область целостности в ее поле дробей, а каждый гомоморфизм в индуцированное отображение полей (которое существует благодаря универсальному свойству) является левый смежный из функтор включения из разряда полей в ${displaystyle C}$. Таким образом, категория полей (которая является полной подкатегорией) является отражающая подкатегория из ${displaystyle C}$.

А мультипликативная идентичность не требуется для роли области целостности; эту конструкцию можно применить к любому ненулевой коммутативный rng ${displaystyle R}$ без ненулевого делители нуля. Вложение дается формулой ${displaystyle rmapsto {frac {rs} {s}}}$ для любого ненулевого ${displaystyle sin R}$.^[4]

Обобщения

Локализация

Для любого коммутативное кольцо ${displaystyle R}$ и любой мультипликативный набор ${displaystyle S}$ в ${displaystyle R}$,

то локализация ${displaystyle S}$^{${displaystyle -1}$}${displaystyle R}$ это коммутативное кольцо состоящий из фракции

${displaystyle {frac {r} {s}}}$

с

${displaystyle rin R}$ и ${displaystyle sin S}$,

где сейчас ${displaystyle (r, s)}$ эквивалентно ${displaystyle (r ', s')}$ тогда и только тогда, когда существует ${displaystyle tin S}$ такой, что ${displaystyle t (rs'-r's) = 0}$.

Следует отметить два особых случая этого:

• Если ${displaystyle S}$ является дополнением к главный идеал ${displaystyle P}$, тогда ${displaystyle S}$^{${displaystyle -1}$}${displaystyle R}$ также обозначается ${displaystyle R_ {P}}$.

Когда ${displaystyle R}$ является область целостности и ${displaystyle P}$ - нулевой идеал, ${displaystyle R_ {P}}$ это поле дробей ${displaystyle R}$.

• Если ${displaystyle S}$ это набор не-делители нуля в ${displaystyle R}$, тогда ${displaystyle S}$^{${displaystyle -1}$}${displaystyle R}$ называется кольцо полного частного.

В кольцо полного частного из область целостности это его поле дробей, но кольцо полного частного определяется для любого коммутативное кольцо.

Обратите внимание, что это разрешено для ${displaystyle S}$ содержать 0, но в этом случае ${displaystyle S}$^{${displaystyle -1}$}${displaystyle R}$ будет тривиальное кольцо.

Полуполе фракций

В полуполе дробей из коммутативное полукольцо без делители нуля самый маленький полуполе в котором это может быть встроенный.

Элементы полуполя частных коммутативной полукольцо ${displaystyle R}$ находятся классы эквивалентности написано как

${displaystyle {frac {a} {b}}}$

с

${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ в ${displaystyle R}$.

Смотрите также

• Состояние руды; это условие, которое необходимо учитывать в некоммутативном случае.
• Проективная прямая над кольцом; альтернативная структура, не ограниченная целостными областями.

Рекомендации