WikiDer > Группа монстров - Википедия

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В районе абстрактная алгебра известный как теория групп, то группа монстров M (также известный как Монстр Фишера – Грисса, или дружелюбный гигант) самый большой спорадическая простая группа, имея порядок

   2⁴⁶ · 3²⁰ · 5⁹ · 7⁶ · 11² · 13³ · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71

= 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000

≈ 8×10⁵³.

В конечный простые группы были полностью классифицированный. Каждая такая группа принадлежит к одной из 18 счетно бесконечный семьи, или одна из 26 спорадических групп, которые не следуют такой систематической схеме. Группа монстров состоит из 20 спорадических групп (включая себя) как подкомпоненты. Роберт Грисс, который доказал существование монстра в 1982 году, назвал эти 20 групп счастливая семья, а остальные шесть исключений парии.

Трудно дать хорошее конструктивное определение монстру из-за его сложности. Мартин Гарднер написал популярный отчет о группе монстров в июне 1980 г. Колонка "Математические игры" в Scientific American.

История

Монстра предсказал Бернд Фишер (не опубликовано, около 1973 г.) и Роберт Грисс (1976) как простую группу, содержащую двойная крышка Фишера группа маленьких монстров как централизатор из инволюция. В течение нескольких месяцев Грисс нашел порядок M с помощью Формула порядка Томпсона, а Фишер, Конвей, Нортон и Томпсон открыли другие группы в качестве подфакторов, включая многие из известных спорадических групп и две новые группы: Группа Томпсона и Группа Харада – Нортон. В таблица символов Массив монстра размером 194 на 194 был рассчитан в 1979 году Фишером и Дональдом Ливингстоном с использованием компьютерных программ, написанных Майклом Торном. В 1970-х годах не было ясно, существует ли монстр на самом деле. Грисс (1982) построил M как группа автоморфизмов из Алгебра грисса, 196,884-мерная коммутативная неассоциативная алгебра над действительными числами; он впервые объявил о своем строительстве в Анн-Арбор 14 января 1980 года. В своей статье 1982 года он назвал монстра Дружелюбным Гигантом, но это название не было принято. Джон Конвей (1985) и Жак Титс (1983, 1984) впоследствии упростил эту конструкцию.

Конструкция Грисса показала, что монстр существует. Томпсон (1979) показал, что его единственность (как простая группа, удовлетворяющая определенным условиям, вытекающим из классификации конечных простых групп), следует из существования 196 883-мерного верное представление. Доказательство существования такого представления было объявлено Нортон (1985), хотя подробностей он никогда не публиковал. Грисс, Мейерфранкенфельд и Сегев (1989) дали первое полное опубликованное доказательство уникальности монстра (точнее, они показали, что группа с теми же централизаторами инволюций, что и монстр, изоморфна монстру).

Это чудовище стало кульминацией развития спорадических простых групп и может быть построено из любых двух из трех подкомпонентов: Группа Фишера Fi₂₄, детское чудовище и Конвей группа Co₁.

В Множитель Шура и группа внешних автоморфизмов монстра оба банальный.

Представления

Минимальная степень верный комплексное представление составляет 196 883, что является результатом трех крупнейших простые делители порядка M. Наименьшее точное линейное представление любого поля имеет размерность 196 882 над полем с двумя элементами, только на один меньше размерности наименьшего точного комплексного представления.

Наименьшее точное представление перестановки монстра - on2⁴ · 3⁷ · 5³ · 7⁴ · 11 · 13² · 29 · 41 · 59 · 71 (около 10²⁰)точки.

Монстра можно реализовать как Группа Галуа над рациональное число (Томпсон 1984, п. 443), и как Группа Гурвиц.^[1]

Это чудовище необычно среди простых групп тем, что не известно простого способа изобразить его элементы. Это связано не столько с его размерами, сколько с отсутствием «маленьких» представлений. Например, простые группы A₁₀₀ и SL₂₀(2) намного больше, но их легко вычислить, поскольку они имеют «маленькую» перестановку или линейные представления. Чередующиеся группы имеют представления перестановок, которые «малы» по сравнению с размером группы, и все конечные простые группы лиева типа имеют линейные представления, которые «малы» по сравнению с размером группы. Все спорадические группы, кроме монстра, также имеют линейные представления, достаточно малые, чтобы с ними легко работать на компьютере (следующий самый сложный случай после монстра - это маленький монстр с представлением размерности 4370).

Компьютерная конструкция

Роберт А. Уилсон обнаружил явно (с помощью компьютера) две обратимые матрицы 196,882 на 196,882 (с элементами в поле порядка 2) которые вместе генерировать группа монстров умножением матриц; это на одно измерение ниже, чем 196 883-мерное представление в характеристике 0. Выполнение вычислений с этими матрицами возможно, но слишком дорого с точки зрения времени и места для хранения, чтобы быть полезным, поскольку каждая такая матрица занимает более четырех с половиной гигабайт.^{[нужна цитата]}

Уилсон утверждает, что лучшее описание монстра - это сказать: «Это группа автоморфизмов из монстр вершинная алгебраОднако это не очень помогает, потому что никто не нашел «действительно простой и естественной конструкции алгебры вершин монстров».^[2]

Уилсон с соавторами нашли способ выполнения вычислений с монстром, который значительно быстрее. Позволять V быть 196 882-мерным векторным пространством над полем с двумя элементами. Большая подгруппа ЧАС (желательно максимальная подгруппа) монстра, в котором легко производить вычисления. Подгруппа ЧАС выбрано 3¹⁺¹².2.Suz.2, где Suz - Группа Сузуки. Элементы монстра хранятся в виде слов в элементах ЧАС и дополнительный генератор Т. Достаточно быстро вычислить действие одного из этих слов на вектор в V. Используя это действие, можно выполнять вычисления (например, порядок элемента монстра). Уилсон выставил векторы ты и v совместным стабилизатором которого является тривиальная группа. Таким образом (например) можно вычислить порядок элемента грамм монстра, найдя самый маленький я > 0 такой, что грамм^яты = ты и грамм^яv = v.

Эта и подобные конструкции (в разных характеристики) были использованы для поиска некоторых его нелокальных максимальных подгрупп.

Самогон

Группа монстров - одна из двух основных составляющих чудовищный самогон гипотеза Конвея и Нортона (1979), которая связывает дискретную и недискретную математику и была окончательно доказана Ричард Борчердс в 1992 г.

В этом случае группа монстров видна как группа автоморфизмов модуль монстра, а алгебра вершинных операторов, бесконечномерная алгебра, содержащая алгебру Грисса, и действует на монстр алгебра Ли, а обобщенная алгебра Каца – Муди.

Многие математики, включая Конвея, считали монстра красивым и по-прежнему загадочным объектом.^[3] Кануэй сказал о группе монстров: «Никогда не было никакого объяснения того, почему она там, и очевидно, что это не просто совпадение. У нее слишком много интригующих свойств, чтобы все это могло быть просто случайностью».^[4] Саймон П. Нортон, эксперт по свойствам группы монстров, сказал: «Я могу объяснить, что такое Чудовищный Самогон в одном предложении, это голос Бога».^[5]

McKay's E₈ наблюдение

Также существуют связи между монстром и расширенным Диаграммы Дынкина ${ displaystyle { tilde {E}} _ {8},}$ особенно между узлами диаграммы и определенными классами сопряженности в монстре, известным как McKay's E₈ наблюдение.^[6][7][8] Затем это распространяется на связь между расширенными диаграммами ${ displaystyle { tilde {E}} _ {6}, { tilde {E}} _ {7}, { tilde {E}} _ {8}}$ и группы 3.Fi₂₄′, 2.B и M, где это (3/2/1-кратные центральные расширения) Группа Фишера, группа маленьких монстров, и монстр. Эти спорадические группы связаны с центраторами элементов типа 1A, 2A и 3A в монстре, а порядок расширения соответствует симметрии диаграммы. Видеть Классификация ADE: троицы для дальнейших подключений (из Переписка Маккея типа), в том числе (для монстра) с довольно небольшой простой группой PSL(2,11) и 120 плоскостей тритангенса канонической шестигранной кривой рода 4, известной как Кривая Принесения.

Максимальные подгруппы

Диаграмма из 26 спорадических простых групп, показывающая отношения между частями.

У монстра не менее 44 классов сопряженности максимальных подгруппы. Неабелевы простые группы из примерно 60 изоморфизм типы находятся как подгруппы или как частные от подгрупп. Самый большой переменная группа представлен A₁₂Монстр содержит 20 из 26 спорадические группы как подфакторы. Эта диаграмма основана на диаграмме из книги Симметрия и чудовище к Марк Ронан, показывает, как они подходят друг другу. Линии означают включение в качестве подфотора нижней группы верхней. Обведенные символы обозначают группы, не входящие в более крупные спорадические группы. Для ясности лишние включения не показаны.

Сорок четыре класса максимальных подгрупп монстра даны в следующем списке, который (по состоянию на 2016 г.) считается полным, за исключением, возможно, почти простых подгрупп с неабелевыми простыми цоколи вида L₂(13), U₃(4) или U₃(8).^[9][10][11] Однако таблицы максимальных подгрупп часто содержат незначительные ошибки, и, в частности, по крайней мере две из подгрупп в списке ниже были ошибочно исключены из некоторых предыдущих списков.

Смотрите также

• Суперсингулярное простое число, простые числа, которые делят порядок монстра

Рекомендации

Источники

внешняя ссылка

• Что такое… Монстр? к Ричард Э. Борчердс, Уведомления Американское математическое общество, Октябрь 2002 1077
• MathWorld: группа монстров
• Атлас представлений конечных групп: Группа монстров
• Scientific American, июнь 1980 г. Выпуск: Поимка монстра: математическая группа со смехотворным количеством элементов