WikiDer > Центратор и нормализатор

Centralizer and normalizer

В математика, особенно теория групп, то централизатор (также называется коммутант[1][2]) из подмножество S из группа г это набор элементов г это ездить с каждым элементом S, а нормализатор из S это набор элементов, удовлетворяющих более слабому условию. Централизатор и нормализатор S находятся подгруппы из г, и может дать представление о структуре г.

Определения также применимы к моноиды и полугруппы.

В теория колец, то централизатор подмножества кольцо определяется относительно операции полугруппы (умножения) кольца. Централизатор подмножества кольца р это подкольцо из р. В этой статье также рассматриваются централизаторы и нормализаторы в Алгебра Ли.

В идеализатор в полугруппе или кольце есть другая конструкция, которая находится в том же духе, что и централизатор и нормализатор.

Определения

Группа и полугруппа

В централизатор подмножества S группы (или полугруппы) г определяется как[3]

Если в отношении рассматриваемой группы нет двусмысленности, г можно исключить из обозначений. Когда S = {а} это одиночка set, пишем Cг(а) вместо Cг({а}). Другое менее распространенное обозначение централизатора - Z (а), что соответствует обозначениям для центр. Используя это последнее обозначение, нужно быть осторожным, чтобы избежать путаницы между центр группы г, Z (г), а централизатор из элемент г в г, Z (г).

В нормализатор из S в группе (или полугруппе) г определяется как

Определения похожи, но не идентичны. Если г находится в централизаторе S и s в S, тогда должно быть так GS = sg, но если г находится в нормализаторе, то GS = тг для некоторых т в S, с участием т возможно отличается от s. То есть элементы централизатора S должен поточечно коммутировать с S, но элементы нормализатора S нужно только добираться с S как набор. Те же обозначения, упомянутые выше для централизаторов, применимы и к нормализаторам. Нормализатор не следует путать с нормальное закрытие.

Кольцо, алгебра над полем, кольцо Ли и алгебра Ли

Если р кольцо или алгебра над полем, и S это подмножество р, то централизатор S точно так же, как определено для групп, с р в месте г.

Если это Алгебра Ли (или Кольцо лжи) с произведением Ли [Икс,y], то централизатор подмножества S из определяется как[4]

Определение централизаторов колец Ли связано с определением колец следующим образом. Если р ассоциативное кольцо, то р можно дать кронштейн продукта [Икс,y] = хуyx. Конечно тогда ху = yx если и только если [Икс,y] = 0. Если обозначить множество р с продуктом кронштейна как Lр, то ясно кольцевой центратор из S в р равно Центратор кольца Ли из S в Lр.

Нормализатор подмножества S алгебры Ли (или кольца Ли) дан кем-то[4]

Хотя это стандартное использование термина «нормализатор» в алгебре Ли, эта конструкция на самом деле является идеализатор из набора S в . Если S аддитивная подгруппа , тогда - наибольшее подкольцо Ли (или подалгебра Ли, в зависимости от случая), в котором S является ложью идеальный.[5]

Свойства

Полугруппы

Позволять обозначим централизатор в полугруппе , т.е. потом образует подполугруппа и , т.е. коммутант - это собственный бикоммутант.

Группы

Источник:[6]

  • Централизатор и нормализатор S обе подгруппы г.
  • Ясно, Cг(S) ⊆ Nг(S). По факту, Cг(S) всегда нормальная подгруппа из Nг(S).
  • Cг(Cг(S)) содержит S, но Cг(S) не обязательно содержать S. Сдерживание происходит именно тогда, когда S абелева.
  • Если ЧАС является подгруппой г, тогда Nг(ЧАС) содержит ЧАС.
  • Если ЧАС является подгруппой г, то наибольшая подгруппа г в котором ЧАС нормально это подгруппа Nг(ЧАС).
  • Если S это подмножество г так что все элементы S коммутируют друг с другом, то самая большая подгруппа группы г чей центр содержит S это подгруппа Cг(S).
  • Подгруппа ЧАС группы г называется саморегулирующаяся подгруппа из г если Nг(ЧАС) = ЧАС.
  • Центр г точно Cг(G) и г является абелева группа если и только если Cг(G) = Z (г) = г.
  • Для одноэлементных наборов Cг(а) = Nг(а).
  • По симметрии, если S и Т два подмножества г, Т ⊆ Cг(S) если и только если S ⊆ Cг(Т).
  • Для подгруппы ЧАС группы г, то Теорема N / C заявляет, что факторная группа Nг(ЧАС)/Cг(ЧАС) является изоморфный в подгруппу Aut (ЧАС), группа автоморфизмы из ЧАС. поскольку Nг(г) = г и Cг(г) = Z (г), из теоремы N / C также следует, что г/ Z (г) изоморфна Inn (г), подгруппа Aut (г) состоящий из всех внутренние автоморфизмы из г.
  • Если мы определим групповой гомоморфизм Т : г → Гостиница (г) от Т(Икс)(г) = ТИкс(г) = xgx−1, то можно описать Nг(S) и Cг(S) с точки зрения групповое действие гостиницы (г) на г: стабилизатор S в гостинице (г) является Т(Nг(S)), а подгруппа в Inn (г) фиксация S точечно Т(Cг(S)).
  • Подгруппа ЧАС группы г как говорят C-закрытый или самобикоммутант если ЧАС = Cг(S) для некоторого подмножества S ⊆ г. Если так, то на самом деле ЧАС = Cг(Cг(ЧАС)).

Кольца и алгебры над полем

Источник:[4]

  • Централизаторы в кольцах и алгебрах над полем - это подкольца и подалгебры над полем соответственно; централизаторы в кольцах Ли и алгебрах Ли - это подкольца и подалгебры Ли соответственно.
  • Нормализатор S в кольце Ли содержит централизатор S.
  • Cр(Cр(S)) содержит S но не обязательно равно. В теорема о двойном централизаторе имеет дело с ситуациями, когда происходит равенство.
  • Если S аддитивная подгруппа кольца Ли А, тогда NА(S) - наибольшее подкольцо Ли в А в котором S является идеалом Ли.
  • Если S подкольцо Ли кольца Ли А, тогда S ⊆ NА(S).

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Кевин О'Мира; Джон Кларк; Чарльз Винсонхалер (2011). Продвинутые темы линейной алгебры: плетение матричных задач через форму Вейра. Oxford University Press. п. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.
  2. ^ Карл Генрих Хофманн; Сидни А. Моррис (2007). Теория Ли связных про-лиевских групп: теория структуры про-лиевских алгебр, пролиевых групп и связных локально компактных групп. Европейское математическое общество. п. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.
  3. ^ Якобсон (2009), стр. 41 год
  4. ^ а б c Якобсон 1979, стр.28.
  5. ^ Якобсон 1979, стр.57.
  6. ^ Айзекс 2009, Главы 1–3.

использованная литература