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EIN schauder basis ist ein Konzept aus dem Funktionsanalyse, benannt nach dem PolierenMathematikerJuliusz Schauder. Eine schauder Basis von a Banach-Raum ist ein (möglicherweise unendlich) WarteschlangeVektoren so dass jeder Vektor dieses Banachraums eine eindeutige Normkonvergenz hat Serienentwicklung relativ zu dieser Folge, so dass jeder Vektor eindeutig eine (möglicherweise unendliche) Linearkombination der Basisvektoren ist.

Für endlichdimensionale Räume stimmt dieser Begriff mit dem gewöhnlichen Begriff überein Base von a Vektorraum. Auch jedes unendlich-dimensionale trennbarhilbert zimmer hat einen Schaudersockel, der zusätzlich orthonormal ausgewählt werden kann.

Ein Banach-Raum mit einer Schauder-Basis ist notwendigerweise trennbar, aber nicht jeder trennbare Banach-Raum hat eine Schauder-Basis.

Definition

spät V ein banach raum darüber Körper (Ned) / Feld (Be)f, die reellen oder komplexen Zahlen, sind . Eine schauder Basis ist eine Folge {b_nein} von Elementen von V damit für alle v ∈ V genau eine Zeile {α_nein} von Skalaren in f ist so

${displaystyle v=sum _{n}alpha _{n}b_{n}}$

Beispiel für eine Schauderbasis

Bedenke die l²-Platz${displaystyle L^{2}([0,1];mathbb {C} )}$ der komplexwertig, quadratisch lebesgue-integrierbarFunktionen auf der Einheitsintervall (tatsächlich: Äquivalenzklassen solcher Funktionen, die fast überall sind identisch). Definiere die unendliche Reihe f₀, f₁, f₂,...,f_nein,... wie folgt.

f₀ ist der Konstante 1.

f₁ ist -1 drauf Intervall [0.1/2] und 1 im Intervall [1/2.1]. Die Mehrdeutigkeit in der Punkt 1/2 ist egal, denn dieser Punkt ist a Nullmenge Formen.

f₂ ist -1 in den Intervallen [0.1/4] und [1/2.3/4] und 1 in den Intervallen [1/4.1/2] und [3/4.1].

f_nein(X) ist -1 als 2^nein.X Abgerundet ist gerade und 1 wenn ungerade.

Diese Funktionen sind gegenseitig linear unabhängig, sie sind sogar orthogonal zu den Skalarprodukt von l²:

${displaystyle ieq jimplies int _{0}^{1}f_{i}(x){overline {f_{j}(x)}}mathrm {d} x=0}$

Außerdem sind sie normalisiert, d.h. ihre quadratische Länge (als Vektor) ist 1:

${displaystyle int _{0}^{1}|f_{i}(x)|^{2}dx=1}$

Wir zeigen nun, dass diese Folge von Vektoren eine Schauder-Basis bildet. Definiere das Koeffizienten (c_ich)_ich eines beliebigen Vektors G wie folgt:

${displaystyle c_{i}=int _{0}^{1}g(x){overline {f_{i}(x)}}mathrm {d} x, i=0,1,ldots ,n,ldots }$

wenn G das Anzeigefunktion von einem Intervall ist, dann ist es leicht zu sehen, dass

${displaystyle L^{2}{hbox{-}}lim _{n o infty }left(g-sum _{i=0}^{n}c_{i}f_{i}ight)=0}$

Daraus folgt die gleiche Schlussfolgerung wie G ein endlichlineare Kombination solcher Anzeigefunktionen. Aber solche endlichen Linearkombinationen bilden a dichtTeilmenge von l². Also alle quadratisch integrierbaren G ist gleich der Reihensumme

${displaystyle g=sum _{n=0}^{infty }left(int _{0}^{1}g(x){overline {f_{i}(x)}}mathrm {d} xight)f_{ ich}}$

Einzigartigkeit folgt aus der gegenseitigen Orthogonalität der Vektoren f_ich. Der Unterschied zweier Serien

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{i}f_{i}-sum _{n=0}^{infty }b_{i}f_{i}}$

hat das Normquadrat

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }|a_{i}-b_{i}|^{2}}$

und kann daher nur null sein, wenn eine Differenz vorhanden ist ein_ich-b_ich einzeln ist null.