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Analyse ist ein Zweig der Mathematik, entwickelt aus dem Arithmetik und der Geometrie. Die Analyse beschäftigt sich mit dem Studium Funktionen von Real und komplexe Zahlen, und mit abstrakteren Objekten, die davon inspiriert sind.

Abgrenzung

Die Analyse untersucht den Grad der Veränderung innerhalb von Funktionen, wie Neigungen und Krümmungen, sowie Probleme im Zusammenhang mit Oberfläche zu tun, wie es zu finden Schwerpunkt einer geometrischen Figur.

Die Analysis als eigener Zweig der Mathematik beginnt mit dem Differential- und Integralrechnung, parallel erfunden von Leibniz und Newton, die die Erfindung bestritten. Leibniz entwickelte diese Techniken, um geometrische Objekte zu studieren, während Newton sie brauchte, um eine solide Grundlage für seine Himmelsmechanik. Ebenfalls Karren, Descartes, Die Fermat und Huygens wichtige frühe Beiträge geleistet.

Die Differentialrechnung untersucht das Konzept von Derivat, die die Änderungsrate einer Funktion angibt. Einer der Hauptgründe für die Entwicklung von Analysen war, Tangentenproblem zu lösen, d. h. die Tangente an einem Punkt einer Kurve zu konstruieren oder deren Steigung zu berechnen. Die Integralrechnung macht das Gegenteil der Differentialrechnung: Ausgehend von der Ausgangssituation und dem Änderungsgrad wird die ursprüngliche Funktion wieder gefunden. Die Fläche einer geometrischen Figur kann als Integral ausgedrückt werden, auch wenn diese Figur krummlinig ist (die Fläche geradliniger Polygone erfordert keine Integralrechnung). Eine strenge Definition von Derivaten und Integralen verwendet Grenzen und Kontinuität.

Seit Jahrhunderten entbehrt die Analyse einer konsistenten logischen Grundlage und verwendet scheinbar widersprüchliche Konzepte wie "unendlich kleine Mengen außer 0" (unendlich klein). Erst im neunzehnten Jahrhundert haben Mathematiker wie Karl Weierstraße die Analyse in einem strengen Rahmen unabhängig von intuitiven Begriffen wie "Streben nach" und "in erster Näherung". Diese Entwicklung führte zu einer korrekten Untersuchung der Menge der reellen Zahlen und der formalen Mengenlehre an sich.

Etymologie

Die Wörter Analyse und Synthese kommen aus dem Griechischen und bedeuten so viel wie „zerlegen“ und „verschmelzen“. Für antike griechische Mathematiker waren sie die zwei Schritte in der allgemeinen Methode zur Lösung mathematischer (typischerweise geometrischer) Probleme. Biene René Descartes speichert den Begriff analytische Geometrie über die Verwendung von Zahlen (Koordinaten) und algebraischen Funktionen zur Lösung geometrischer Probleme.

Grundlegendes Konzept

sehen Grenze, Derivat und Integralrechnung für die wichtigsten Artikel zu diesen Themen.

Sie ${displaystyle f:Isubset mathbb {R} oder mathbb {R} }$ eine reelle Funktion, die zumindest in einem offenen Intervall definiert ist ${Anzeigestil I,}$ und sie ${Anzeigestil a}$ ein Element von ${Anzeigestil I.}$ Wir sagen das ${displaystyle f}$ ein Grenze hat in ${Anzeigestil a}$ wenn es eine reelle Zahl gibt ${displaystyle b}$ existiert mit der Eigenschaft, dass für beliebig kleine Intervalle um ${Anzeigestil b,}$ es gibt immer intervalle rum ${Anzeigestil a}$ existiert das von ${displaystyle f}$ innerhalb der angegebenen Intervalle um ${displaystyle b}$ sind abgebildet:

${displaystyle forall varepsilon >0,exists delta >0:fleft((a-delta ,a delta )ight)subset (b-varepsilon ,b varepsilon).}$

Schreiben Sie in diesem Fall ${displaystyle lim _{x o a}f(x)=b}$ und das sagen sie auch ${displaystyle f}$kontinuierlich ist in ${Anzeigestil u.}$

Eine Funktion ${displaystyle f}$ heiß ablenkbar im ${Anzeigestil a}$ als nächste Grenze, genannt die Derivat von ${displaystyle f}$ im ${Anzeigestil a,}$ existiert:

${displaystyle f'(a)=lim _{x o a}{frac {f(x)-f(a)}{x-a}}.}$^[1]

Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von an ${displaystyle f}$ im punkt ${Anzeigestil (a,f(a)).}$

Das Integral- einer Funktion ${displaystyle f}$ in einem Intervall ${Anzeigestil I=(a,b)}$ ist die Grenze, falls vorhanden, der Gesamtfläche beliebig dünner vertikaler Streifen unter dem Diagramm:

${displaystyle int _{x=a}^{b}f(x) dx=lim _{delta o 0}delta sum _{n=0}^{[(ba)/delta ]}f(andelta). }$

Das Fundamentalsatz der Integralrechnung stellt fest, dass Ableitungen und Integrale gewissermaßen die inverse Operation des anderen sind; etwas genauer: versteht man im obigen Ausdruck das Integral als Funktion von ${Anzeigestil b:}$

${displaystyle F(c)=int _{x=a}^{c}f(x) dx (cin (a,b))}$

dann ist diese Funktion ${Anzeigestil F}$ ableitbar und seine Ableitung in einem Punkt ${displaystyle c_{0}}$ ist wieder ${Anzeigestil f(c_{0}).}$

Geäst

Basierend auf der ursprünglichen Differential- und Integralrechnung sind viele Spezialisierungen entstanden, jede mit ihren eigenen Problemen, aber mit viel gegenseitiger Interaktion.

Komplexe Analyse

sehen Funktionstheorie für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Versteht man in der Definition der Ableitung den Bruch als Division komplexer Zahlen, so erhält man den Begriff der "komplexen Ableitbarkeit" für Funktionen einer Teilmenge von ${displaystyle mathbb {C} }$ zu ${displaystyle mathbb {C} .}$ In gewisser Weise erweist sich diese Bedingung als viel strenger als die gewöhnliche reelle Ableitbarkeit, und die komplexen Funktionen, die sie erfüllen, heißen analytische Funktionen.

Größe und Chance

sehen Maßtheorie für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Die Integralrechnung ermöglicht es, die Fläche unter einem krummlinigen Graphen zu definieren und zu berechnen und von dort aus auch dreidimensionale Volumen. In beiden Fällen basieren die Definitionen auf der Grundfläche eines Rechtecks ​​oder dem Grundvolumen eines Balkens, also dem Produkt ihrer Abmessungen.

Die Messtheorie untersucht alternative Methoden zur Messung von a Inhalt Teilmengen einer abstrakten Menge zu geben, unter der Annahme einer kleinen Anzahl von Hypothesen oder Axiomen (siehe Messen (Mathematik)). das moderne Wahrscheinlichkeit lehnt sich an Wahrscheinlichkeitsmaße, ein Sonderfall abstrakter Maßnahmen.

Differentialgleichung

sehen Differentialgleichung für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine Beziehung zwischen einer unbekannten Funktion und einer oder mehreren ihrer Ableitungsfunktionen gegeben ist. Der Hauptunterschied zwischen einer Differentialgleichung und einer traditionellen (z. B. algebraischen) Gleichung besteht darin, dass die Unbekannte keine einzelne Zahl, sondern eine Funktion ist.

Differentialgleichungen werden in fast allen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften angewendet; sogar Newtons ursprüngliche Motivation für die Erfindung von Ableitungen waren die Differentialgleichungen, die die Bewegungen der Planeten beschreiben.

Funktionsanalyse

sehen Funktionsanalyse für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Zusammenfassung moderner Funktionsanalysestudien topologische Vektorräume, aber die ursprüngliche Motivation bildeten die Vektorräume von Funktionen, in denen man nach Lösungen von Differentialgleichungen suchte. Wichtige Klassen topologischer Vektorräume sind Hilbert-Räume und allgemeiner Banach-Räume.

Topologie

sehen Topologie für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Die elementare Definition von Grenzen und Kontinuität gibt dem intuitiven Begriff der "Nähe" durch beliebig kleine Intervalle einen präzisen Inhalt. In der Topologie werden alternative und abstrakte Versionen des Nähekonzepts definiert und untersucht.

EIN metrischer Raum ist eine Sammlung ${Anzeigestil X,}$ versehen mit a Fernbedienungsfunktion

${displaystyle d:X imes X oder mathbb {R} ^{ }}$

die in ihren beiden Argumenten symmetrisch ist, den gegenseitigen Abstand 0 nur identischen Paaren zuweist und die die Dreiecksungleichung:

${Anzeigestil für alle x,y,Satz X:d(x,z)leq d(x,y) d(y,z).}$

Die Dreiecksungleichung zeigt auf abstrakter Ebene, dass eine Seite eines Dreiecks nie länger ist als die Summe der beiden anderen Seiten.

EIN topologischer Raum ist eine abstrakte Familie von Teilmengen, die einige Eigenschaften von metrischen Räumen erbt, aber nicht notwendigerweise aus einer Distanzfunktion hervorgeht.

Gekrümmte Räume

sehen Vielfalt (Mathematik) für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Eine Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, dessen Punkte lokal mit Koordinaten, obwohl es nicht notwendig ist, dass ein Koordinatensystem den gesamten Raum abdeckt. Ein lokales Koordinatensystem heißt a Karte. An Stellen, an denen sich zwei verschiedene Karten überschneiden, a Koordinatentransformation Existenz, die "gute" Eigenschaften besitzt. Je nach Wahl der "guten" Transformation ergeben sich unterschiedliche Teilbereiche der Analyse mit jeweils eigenen Sortenklassen.

Biene topologische Varietäten die Transformationen sind stetige Funktionen. Sie werden in der algebraische Topologie.

Biene differenzierbare Sorten die Transformationen sind beliebig oft ableitbar. Sie sind das zentrale Objekt der differentielle Topologie.

In dem Differentialgeometrie zu einer differenzierbaren Vielfalt kommt ein wohldefiniertes Distanzkonzept hinzu, so dass das Konzept Krümmung macht Sinn.

Fourier-Analyse

sehen Fourier-Analyse für den Hauptartikel zu diesem Thema.

In seiner Untersuchung der Wärmegleichung, ein partielle Differentialgleichung Das Wärmetransport durch Leitung beschreibt, entdeckt Joseph Fourier dass jede stetige reelle Funktion auf dem Intervall ${displaystyle [0,2pi ]}$ kann geschrieben werden als Serie bestehend aus einer Konstanten, einer Reihe von Vielfachen von Sinus und seine Harmonischen und eine Reihe von Vielfachen des Kosinus und seiner Harmonischen:

${displaystyle f(x)=a_{0} a_{1}cos(x) b_{1}sin(x) a_{2}cos(2x) b_{2}sin(2x) ldots }$

Es zeigte sich bald, dass viele lineare partielle Differentialgleichungen der Physik analysiert werden können, indem man die Anfangs- und Randbedingungen als unendliche Summe oder Integral von "elementaren" Funktionen ausdrückt, für die die Lösung in gewissem Sinne einfacher ist. Die Fourier-Analyse ist das Ergebnis dieser Erkenntnis.

Bei näherer Betrachtung scheint der Erfolg der Fourier-Analyse auf das günstige Verhalten der Faltungsprodukt zweier Funktionen, die Ableitungen bilden (siehe Faltung#Derivat). Das harmonische Analyse, der abstrakte Kontext, in dem dies geschieht, untersucht die Zerlegung von Funktionen auf lokal kompakte Gruppen versehen mit a Haargröße, also ein Volumenkonzept, das durch die Gruppenoperation invariant gelassen wird. Bei Klassikern die Fourierreihe von periodischen Funktionen ist diese Gruppe die Einheitskreis (Addition von Winkeln) und das Maß ist das gemeinsame Längenmaß am Umfang. Im Falle von Fourier-Transformationen im ${displaystyle n}$ wechselhaft schauen wir uns die Gruppe an ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ (Addition von Vektoren) mit Maß the ${displaystyle n}$-dimensionales Hypervolumen (Lebesgue-Größe).

Andere Bereiche und Anwendungen

• Nicht-Standard-Analyse, dass die hyperreale Zahlen studiert seine Funktionen und gibt eine formale Definition von unendlich kleinen und unendlich großen Zahlen (siehe Unendlich).
• Numerische Mathematik
• Analytische Zahlentheorie

Geschichte

• sehen Geschichte der Analyse

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