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In dem Mathematik, insbesondere innerhalb der Fourier-Analyse, ist die (kontinuierliche) Fourier-Transformation eine lineare integrale Transformation Das hier Funktion zerfällt in ein kontinuierliches Spektrum von Frequenzen. In dem mathematische Physik kann der Fourier transformieren ${displaystyle {mathcal {F}}(omega)}$ von a Signal${Anzeigestil f(t)}$ als dieses Signal in der "FrequenzbereichDie Fourier-Transformation verallgemeinert für nichtperiodische Funktionen de die Fourierreihe von a periodische Funktion. Eine Verallgemeinerung der Fourier-Transformation ist die Laplace-Transformation.

Definition

spät ${displaystyle f}$ ein Komplex lebesgue-integrierbar Funktion sein. Die Fourier-Transformation von ${displaystyle f}$ ist der komplexe Funktion${displaystyle {mathcal {F}}}$ der für alle reelle Zahl${Anzeigestil Omega}$ ist definiert durch:

${displaystyle {mathcal {F}}(omega)={frac {1}{sqrt {2pi}}}int _{-infty}^{infty}f(t)e^{-iomega t},{m {d }}t}$

(Hier ist ${Anzeigestil i}$ das imaginäre Einheit).

Bei vielen Anwendungen, ${Anzeigestil Omega}$ verstanden als Eckfrequenz und ${Anzeigestil F(omega)}$ wenn es komplexe Zahl dass die Amplitude und Phase Anzeige der Signalkomponente von ${Anzeigestil f(t)}$ dabei Frequenz.

Die Fourier-Transformation ist - bis auf ein Minuszeichen in der e-Potenz nach dem Integral - eine eigene inverse Transformation: if ${displaystyle {mathcal {F}}(omega)}$ ist wie oben definiert und ${Anzeigestil f(t)}$ Genug 'rutschig', dann

${displaystyle f(t)={frac {1}{sqrt {2pi}}}int _{-infty }^{infty }{mathcal {F}}(omega)e^{iomega t},{m {d} } Omega }$

für jede reelle Zahl ${displaystyle t}$.

Die Faktoren ${displaystyle 1/{sqrt {2pi}}}$ für die Integrale gibt es Normierungsfaktoren, die frei wählbar sind, solange ihr Produkt gleich ist ${Anzeigestil 1/2pi }$.Die oben ausgewählten Werte sind einheitlich genannt Normalisierungskonstanten; eine andere gängige wahl ist ${Anzeigestil 1}$ und ${Anzeigestil 1/2pi }$ für bzw. die Vorwärts- und Rückwärtstransformation. Als Faustregel gilt das Mathematiker bevorzugen die erste Variante (aus Symmetriegründen), während Physiker und Techniker verwenden die zweite Variante.

Auch hier ist zu beachten, dass die Fourier-Variable ${Anzeigestil Omega}$ wird manchmal durch 2 . ersetzt${Anzeigestil pi u}$, bei dem die Integration findet über die Frequenz${Anzeigestil u}$ (anstelle des Winkels); in diesem Fall sind die unitären Normierungskonstanten beide gleich 1. Eine andere willkürliche Wahl ist, ob der Exponent ${displaystyle iomega t}$ Ja ${displaystyle -iomega t}$ befindet sich in der Vorwärtstransformation; die einzige wirkliche Anforderung ist, dass die Exponenten in der Vorwärts- und inversen Transformation entgegengesetzte Vorzeichen haben.

Übersicht über Standard-Fourier-Transformationen

Nachfolgend finden Sie eine Übersicht über die wichtigsten Eigenschaften der Fourier-Transformation sowie eine Übersicht über einige gängige Fourier-Transformationspaare.

Fourierstandardtransformierte Eigenschaften

Funktion	Fourier transformiert
${Anzeigestil f(t)}$	${displaystyle {mathcal {F}}(omega)}$
${displaystyle {mathcal {F}}(-t)}$	${Anzeigestil f(omega)}$
${Anzeigestil f(t-c)}$	${displaystyle e^{-icomega }F(omega)}$
${displaystyle e^{ict}f(t)}$	${displaystyle {mathcal {F}}(omega -c)}$
${Anzeigestil cos(omega _{0}t)f(t)}$	${displaystyle {frac {{mathcal {F}}(omega -omega _{0}) {mathcal {F}}(omega-omega _{0})}{2}}}$
${displaystyle sin(omega _{0}t)f(t)}$	${displaystyle {frac {{mathcal {F}}(omega -omega _{0}) {mathcal {F}}(omega-omega _{0})}{2i}}}$
${Anzeigestil f(at)}$	${displaystyle |a|^{-1}{mathcal {F}}(a^{-1}omega )}$
${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}f(t)}$	${displaystyle iomega {mathcal {F}}(omega)}$
${displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} t^{2}}}f(t)}$	${displaystyle -omega ^{2}{mathcal {F}}(omega)}$

Standard-Fourier-transformierte Paare

Die Funktionen in der linken Spalte sind standardisiert: ${displaystyle int f(t)operatorname {d} t=1}$ und die Fourier-Transformationen ${displaystyle {mathcal {F}}(omega)}$ in der rechten Spalte werden mit multipliziert ${displaystyle {sqrt {2pi}}}$.

Funktion	Fourier transformiert
${Anzeigestil f(t)}$	${displaystyle {sqrt {2pi}}{mathcal {F}}(omega)}$
${displaystyle {frac {1}{2}}e^{-|t|}}$	${displaystyle {frac {1}{1 Omega ^{2}}}}$
${displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{-t^{2}/2}}$	${displaystyle e^{-omega ^{2}/2}}$
${Displaystyle-Operatorname {rect} (t)}$	${displaystyle operatorname {sinc} left({frac {omega }{2}}ight)={frac {2}{omega }}sin left({frac {omega }{2}}ight)}$
${displaystyle-Operatorname {trian} (t)}$	${displaystyle operatorname {sinc} ^{2}left({frac {omega }{2}}ight)}$

Vor dem ${Displaystil-Operatorname {rect} (t)}$ und ${displaystyle-Operatorname {trian} (t)}$ sehen Rechteckfunktion.

Allgemeine Funktionen

Da viele gängige Funktionen, wie z ${Anzeigestil 1}$ oder ${displaystyle t}$, haben keine Fourier-Transformation, werden oft in der Fourier-Analyse verwendet verallgemeinerte Funktionen auch als (temperierte) Verteilungen bekannt. Eine verallgemeinerte Funktion kann sein James Lighthill definiert als der Grenzwert einer Menge von Funktionen, die Fourier-Transformationen haben^[1]. Beispielsweise ${Anzeigestil-Delta(t)}$ ist die Grenze

${displaystyle delta (t)=lim _{n o infty }{{sqrt {frac {n}{pi}}}e^{-nt^{2}}}}$

Die Fourier-Transformierten dieser Menge von Funktionen sind

${displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{-omega ^{2}/4n}}$ dafür ${displaystyle n o infty }$ Annäherung an die Konstante ${displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi }}}}$

Jede Verteilung hat eine Fourier-Transformation und das ist auch eine Verteilung. Die Eigenschaften von Fourier-Transformationen, siehe erste Tabelle, gelten auch für Verteilungen.

Um viele Radikale in der rechten Spalte zu vermeiden, ${displaystyle {mathcal {F}}(omega)}$ multipliziert mit ${displaystyle {sqrt {2pi}}}$.

Verteilung	Fourier-transformierte Verteilung
${Anzeigestil f(t)}$	${displaystyle {sqrt {2pi}}{mathcal {F}}(omega)}$
${Anzeigestil-Delta(t)}$	${Anzeigestil 1}$
${displaystyle t}$	${displaystyle 2pi idelta' (omega)}$
${Anzeigestil |t|}$	${displaystyle {frac {-2}{omega ^{2}}}}$
${Anzeigestil ln |t|}$	${displaystyle {frac {-pi }{omega }}Operatorname {sgn} omega}$
${displaystyle {frac {1}{t}}}$	${displaystyle -ipi-Betreibername {sgn} omega }$
${displaystyle {frac {1}{sqrt {t}}}}$	${displaystyle {sqrt {frac {2pi }{omega }}}}$

Anwendungen

Die Fourier-Transformation wird unter anderem verwendet, um lineare Differentialgleichungen zu algebraischen Gleichungen vereinfachen. Beispiele sind die Wellengleichung in linearen Ausbreitungsmedien und das stationäre Verhalten von linearen elektrische netze wenn da spülen und/oder Kondensatoren Sorge. Eine der oben genannten Standardeigenschaften der Fourier-Transformation ist, dass eine Differentiation im Zeitbereich einer Multiplikation mit . entspricht ${Anzeigestil iomega }$ im Frequenzbereich, so dass die Differentialgleichung auf einen algebraischen Ausdruck in ${Anzeigestil iomega }$.

Eine sehr praktische Anwendung ist die Transformation von Messreihen zu äquidistanten Zeiten in ein diskretes Spektrum, das dank der Entwicklung des Schnelle Fourier-Transformation in den 1960er Jahren und das gleichzeitige Aufkommen des Digitalrechners führten zu praktisch anwendbaren Algorithmen, wobei die zu transformierenden Messreihen jedoch der Forderung unterliegen müssen, dass die Anzahl der Messungen keine Primzahl und vorzugsweise eine Potenz von 2 ist Bereiche sind:

• Protonen-NMR und allgemeiner Kernspinresonanz
• seismisch: künstliche Erzeugung von Vibrationen im Boden mit einem Stößel. Die Reflexionen dieser Schwingungen gegen tiefe Erdschichten sind Geophon Eingetragen.

In dem Informatik Fourier-Transformation wird auch mit verwendet Verfahrensgenerierung von Texturen.

Abstrakte Fourier-Transformation

Die kontinuierliche Fourier-Transformation, aber auch die Fourierreihe und der diskrete Fourier-Transformation können als unterschiedliche Manifestationen einer abstrakten Transformation im Kontext von komplexwertige Funktionen auf Lügengruppen.

Sie ${Anzeigestil G}$ ein lokal kompaktabelsLügengruppe. Dann ${Anzeigestil G}$ über eine linke Invariante borelmaat${Anzeigestil mu}$, Haargröße namens. Hinweis ${displaystyle {Hut {G}}}$ für die (Pontryagin)Doppelgruppe, das ist die Gruppe der Zeichen von ${Anzeigestil G}$ (stetige Homomorphismen zum Einheitskreis in der komplexen Ebene) mit der Punktmultiplikation.

Sie ${displaystyle f}$ ein Element von ${displaystyle L^{1}(G,mathrm {d} mu )}$, d. h. eine haarintegrierbare komplexwertige Funktion auf ${Anzeigestil G}$. Das Fourier transformiert${displaystyle {Hut {f}}}$ von ${displaystyle f}$ ist eine komplexwertige Funktion auf ${displaystyle {Hut {G}}}$, durch die Verordnung vorgegeben

${displaystyle {hat {f}}(chi)=int _{G}f(g){overline {chi (g)}}mathrm {d} mu (g), chi in {hat {G}}}$

Die Fourier-Transformation wird durch das Haarintegral von ${displaystyle f}$. Umgekehrt ist sie ${Anzeigestil F}$ eine komplexe Funktion auf ${displaystyle {Hut {G}}}$ die in Bezug auf die Haargröße integriert werden können ${Anzeigestil u}$ von ${displaystyle {Hut {G}}}$, dann die inverse Fourier-Transformation

${displaystyle {mathcal {check {F}}}(g)=int _{hat {mathcal {G}}}{mathcal {F}}(chi)chi (g)mathrm {d} u (chi),quad gin {mathematisch {G}}}$

Dies macht sich die Tatsache zunutze, dass die Doppelgruppe von ${displaystyle {Hut {G}}}$ auf kanonische Weise isomorph ist mit ${Anzeigestil G}$.

Beispiele

• Die gewöhnliche kontinuierliche Fourier-Transformation ist die abstrakte Fourier-Transformation, angewendet auf die Lügengruppe ${displaystyle (mathbb {R} , )}$. Diese Gruppe ist kanonisch isomorph zu ihrem eigenen Dual. Stetige Gruppenhomomorphismen von den reellen Zahlen zum komplexen Einheitskreis haben die Form

${displaystyle chi _{t}:xmapsto exp(itx)}$

für eine feste reelle Zahl ${displaystyle t}$. Die Multiplikation zweier solcher Zeichen entspricht der Addition von reellen Zahlen:

${displaystyle chi_{t}(x)chi_{s}(x)=chi_{t s}(x)}$

• Periodische komplexwertige Funktionen der reellen Zahlen sind eigentlich komplexe Funktionen auf dem Einheitskreis. Die duale Gruppe des Einheitskreises ist die Addition von ganzen Zahlen. Die Fourier-Reihe einer periodischen Funktion kann somit als ihre abstrakte Fourier-Transformation im obigen Sinne verstanden werden. Die Fourier-Transformation ist eine Funktion der ganzen Zahlen zu den komplexen Zahlen, die durch die Koeffizientenreihe der Fourier-Reihe gebildet werden.
• Periodische komplexwertige Funktionen mit einem oder mehreren diskreten Parametern sind eigentlich komplexe Funktionen auf einer endlichen abelschen Gruppe. Das Dual einer solchen Gruppe ist ebenfalls endlich (und isomorph zur ursprünglichen Gruppe, aber nicht kanonisch). Die diskrete Fourier-Transformation ist die abstrakte Fourier-Transformation, die auf eine solche Gruppe angewendet wird.

Siehe auch

• komplexe Zahl
• Fourier-Analyse
• die Fourierreihe
• Schnelle Fourier-Transformation
• Laplace-Transformation
• Pendelgitter

Referenz