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Periodische Funktion, die rote Linie repräsentiert die Periode.

In dem Mathematik ist ein periodische Funktion ein Funktion mit der Eigenschaft, dass nach einer gewissen Intervall die Funktion beginnt sich zu wiederholen. Es kann also eine reelle Zahl geben ${Anzeigestil c>0}$ gefunden werden, für die gilt, dass ${Anzeigestil f(xc)=f(x)}$ für alle ${Anzeigestil x}$. Der kleinste Wert für ${Anzeigestil c}$ heißt die Periode der Funktion.

Definition

Das Funktion${displaystyle fcolon mathbb {R} oder mathbb {R} }$ heiß periodisch wenn es eine Zahl gibt ${Anzeigestil c>0}$ existiert mit der Eigenschaft, dass für alle ${displaystyle xin mathbb {R} }$ zählt das ${Anzeigestil f(xc)=f(x)}$.

Der kleinste streng positive Wert von ${Anzeigestil c}$ für die diese Eigenschaft gilt, die Zeitspanne${Anzeigestil T}$ der periodischen Funktion. Eine periodische Funktion mit Periode ${Anzeigestil T}$ wiederholt sich in jedem Längenintervall ${Anzeigestil T}$. Natürlich alles ganz Vielfaches des Zeitraums die obige Wiederholungseigenschaft.

Beispiele

Für die Sinus gilt:

${Anzeigestil sin(x 2pi)=sin(x)}$

für alle Zahlen ${Anzeigestil x}$, und es gibt keine kleinere streng positive Zahl als ${Displaystil 2pi }$ für die diese Eigenschaft auch gilt. Die Periode des Sinus ist also ${Displaystil 2pi }$.

Für die Tangente gilt:

${displaystyle an(x pi)= an(x)}$

für alle Zahlen ${Anzeigestil x}$, und es gibt keine kleinere streng positive Zahl als ${Anzeigestil pi}$ für die diese Eigenschaft auch gilt. Die Tangensperiode ist also ${Anzeigestil pi}$.