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Das Kreis um Mittelpunkt 0 und Radius 1 im komplexe Ebene ist eine Lügengruppe mit der Operation komplexe Multiplikation.

In dem Gruppentheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein Lügengruppe ein Gruppe das ist auch ein differenzierbare Vielfalt ist, mit der Eigenschaft, dass die Gruppenbearbeitungen kompatibel sein mit differenzierbare Strukturen. Lügengruppen sind nach dem 19. Jahrhundert benannt norwegisch Mathematiker Sophus Lüge, der mit seiner Theorie der kontinuierlichen Transformationsgruppen legte den Grundstein für. Lügengruppen werden unter anderem verwendet, um kontinuierliche Symmetrien zu modellieren.

Lügengruppen repräsentieren die am weitesten entwickelte Theorie von kontinuierliche Symmetrie von mathematische Objekte und Strukturen. Als Ergebnis liegen Gruppen in vielen Teilbereichen der zeitgenössischen löschen und theoretische Physik unentbehrliche Werkzeuge werden. Lügengruppen bieten einen natürlichen Rahmen für die Analyse kontinuierlicher Symmetrien von Differentialgleichung, dies in ähnlicher Weise wie Permutationsgruppen in dem Galois-Theorie werden verwendet, um die diskreten Symmetrien von zu analysieren algebraische Gleichungen. Eine Erweiterung der Galois-Theorie auf den Fall der kontinuierlichen Symmetriegruppen war eine von Lies Hauptmotivationen.

Überblick

Lügengruppen sind glatte Sorten und kann daher mit dem Differentialrechnung, im Gegensatz zu den allgemeineren topologische Gruppen. Eine der Schlüsselideen in Sophus Lies Theorie der Lügengruppen besteht darin, die global Objekt, das Gruppe, von seinem lokal oder linearisierte Version, die Lie selbst seine "unendliche Gruppe" nannte und die seitdem als seine bekannt geworden ist Lügen-Algebra.

Lügengruppen spielen in der modernen Welt auf verschiedenen Ebenen eine wichtige Rolle Geometrie. Felix Klein argumentierte in seinem Erlanger Programm, dass man sich verschiedene "Geometrien" als "Angabe einer geeigneten Transformationsgruppe mit bestimmten geometrischen Eigenschaften" vorstellen kann. unveränderlich spät. Das euklidische Geometrie entspricht der Wahl der Gruppe E(3) von entfernten Transformationen (Isometrien) des euklidischer Raum, R³, das konform oder konforme Geometrie entspricht der Erweiterung der Gruppe um die to Ecke-wahre Gruppe, während in der projektive Geometrie interessiert sich für Eigenschaften, die invariant unter dem projektive Gruppe. Diese Idee führte später zu der Idee von a G-Struktur, wahr G ist eine Lügengruppe von "lokalen" Symmetrien von a Vielfalt. Auf einer "globalen" Ebene, wann immer eine Lügengruppe auf einem geometrisch Objekt wirksam werden, so wie ein Riemann Sorte oder ein symplektische Vielfalt, dieser Gruppenbetrieb bietet eine gewisse Steifigkeit und liefert ein fettes algebraische Struktur auf. Das Vorhandensein von kontinuierliche Symmetrien, ausgedrückt durch eine Lügengruppe, die auf eine Mannigfaltigkeit einwirkt, begrenzt ihre Geometrie und erleichtert die Analyse der Sorte. Lineare Aktionen von Lügengruppen sind von besonderem Interesse und werden in der Darstellungstheorie.

In den fünfziger Jahren des zwanzigsten Jahrhunderts Claude Chevalley erkennt, dass viele grundlegende Ergebnisse zu Lügengruppen vollständig algebraisch entwickelt werden können. Aus dieser Einsicht entstand die Theorie der algebraische Gruppen über alle Feld. Diese Theorie eröffnete neue Möglichkeiten innerhalb der abstrakte Algebra, indem für die meisten eine einheitliche Konstruktion bereitgestellt wird endliche einfache Gruppen. Das gleiche gilt für die algebraische Geometrie. Die Theorie der automorphe Formen, ein wichtiger Zweig der modernen Zahlentheorie, beschäftigt sich ausführlich mit Analoga von Lügengruppen über Adele Ringe.

Definitionen und Beispiele

EIN RealLügengruppe ist ein Gruppe, die auch endlich istdimensional Real glatte Sorte ist, auf dem a Gruppenbearbeitungen für die BetriebMultiplikation und Inverse definiert, deren Ergebnis a glatte Bilder ist (${displaystyle C^{infty }}$-Englisch: mannigfaltig, siehe auch Differentialgeometrie). Glätte der Gruppenmultiplikation

${displaystyle mu :G imes G o Gquad mu (x,y)=xy}$

bedeutet, dass μ ein gutes Bild der Produktvielfalt G × G auf G ist. Diese beiden Anforderungen lassen sich auf die einzige Bedingung reduzieren, dass

${displaystyle (x,y)mapto x^{-1}y}$

ein glattes Bild der Produktvielfalt auf G muss sein.

Erste Beispiele

• Die 2×2 Realinvertierbare Matrizen bilden eine Gruppe unter Multiplikation, die mit GL . bezeichnet wird₂(R):

${displaystyle GL_{2}(mathbb {R} )=left{A={ egin{pmatrix}a&b/c&dend{pmatrix}}:det A=ad-bceq 0ight}.}$

Dies ist eine vierdimensionale nicht kompakt echte Lügengruppe. Diese Gruppe ist inkohärent; es besteht aus zwei verbundenen Komponenten, die den positiven und negativen Werten des . entsprechen bestimmend.

• Das Rotationsmatrizen konstituieren Untergruppe, die mit SO . bezeichnet wird₂(R).

Diese Untergruppe ist für sich genommen eine Lügengruppe: genauer gesagt eine eindimensionale kompakte kohäsive Lügengruppe, die diffeomorph ist mit dem Kreis. Durch Verwendung des Drehwinkels (Drehwinkel) ${Anzeigestil Varphi }$ als Parameter kann diese Gruppe wie folgt sein parametrisiert:

${displaystyle SO_{2}(mathbb {R} )=left{{ egin{pmatrix}cos varphi &-sin varphi /sin varphi &cos varphi end{pmatrix}}:varphi in mathbb {R} /2pi mathbb {Z} ight }.}$

Die Addition der Winkel entspricht der Multiplikation der Elemente von SO₂(R), und das Nehmen des entgegengesetzten Winkels entspricht einer Umkehrung. Sowohl die Multiplikation als auch die Inversion sind also differenzierbare Abbildungen.

• Das orthogonale Gruppe ist auch ein interessantes Beispiel für eine Lügengruppe.

Alle diese obigen Beispiele von Lügengruppen fallen in die Klasse von de klassische Gruppen.

Verwandte Begriffe

EIN komplexe Lügengruppe wird auf die gleiche Weise definiert mit komplexe Sorten statt real (zum Beispiel: SL₂(C)) und genauso kann man p-adiane Lügengruppe über die p-adische Zahlen definieren. Hilberts fünftes Problem fragte sich, ob das Ersetzen differenzierbarer Sorten durch topologische oder analytische Sorten neue Beispiele hervorbringen könnte. Die Antwort auf diese Frage fiel negativ aus: 1952 Gleason, Montgomery und zippin dazu wenn G war eine topologische Mannigfaltigkeit mit stetigen Gruppenoperationen, dann genau eine analytische Struktur darauf G existieren würde, die sich in eine Lügengruppe verwandelt (siehe auch die Vermutung von Hilbert-Smith). Lässt man zu, dass die zugrunde liegende Mannigfaltigkeit unendlich dimensional ist (zum Beispiel a hilbert sorte), dann gelangt man zum Notium einer unendlichdimensionalen Lügengruppe. Es ist möglich, Analoga von vielen zu machen Lügengruppen über endlichen Körpern zu definieren, und diese geben die meisten Beispiele für endliche einfache Gruppen.

Die Sprache der Kategorientheorie liefert eine knappe Definition von Lügengruppen: eine Lügengruppe ist a Gruppenobjekt in dem Kategorie von glatte Sorten. Dies ist wichtig, weil es den Begriff einer Lügengruppe verallgemeinert auf lügen supergroups macht möglich.

Weitere Beispiele für Lügengruppen

• ${displaystyle (mathbb {R} ^{n}, )}$ ist ein abels Lügengruppe.
• ${displaystyle S^{1}=left{Satz mathbb {C} |left|zight|=1ight}}$ ist eine abelsche Lügengruppe für die Multiplikation von komplexe Zahlen und beschreibt damit den Begriff der Rotationssymmetrie im komplexe Ebene.
• wenn ${Anzeigestil G}$ und ${Anzeigestil H}$ Lügengruppen, dann existieren Standardkonstruktionen zu kartesisches Produkt${displaystyle-Gimes H}$, um sowohl eine Gruppe als auch eine glatte Sorte zu bilden, und es ist nicht schwer zu erkennen, dass dies wieder eine Lügengruppe bildet.
• Die von 0 verschiedenen komplexen Zahlen bilden eine abelsche Gruppe für die Multiplikation. Dies ist eine Lügengruppe, die isomorph ist mit ${displaystyle S^{1}imes (mathbb {R} , )}$ über Isomorphismus

${displaystyle S^{1} imes mathbb {R} oder mathbb {C} ^{*}:(z,r)mapto z.e^{r}}$

• Das allgemeine lineare Gruppe${Anzeigestil GL(n,K)}$ über einen Körper${Anzeigestil K}$ besteht aus dem Quadrat n×n-Matrizen Über ${Anzeigestil K}$ von denen die bestimmend ist verschieden von 0, d. h. die reguläre Matrizen. Das Gruppenbearbeitung ist das Produkt von Matrizen; diese Bearbeitung ist nicht kommutativ. Vor dem ${displaystyle K=mathbb {R} }$ und ${displaystyle K=mathbb {C} }$ hat er die Struktur einer Lügengruppe, mit Real Abmessungen ${displaystyle n^{2}}$ und ${Displaystil 2n^{2}}$.
• Die allgemeine lineare Gruppe hat as Center das Untergruppe, die aus dem reversiblen Vielfaches des Einheitenmatrix existiert. Das Faktorgruppe heiß projektive lineare Gruppe oder projektive allgemeine lineare Gruppe:

${Anzeigestil PGL(n,K)=GL(n,K)/Z(GL(n,K))}$

Informell sind dies die "linearen Transformationen bis auf einen Skalierungsfaktor". Die reelle projektive lineare Gruppe ist a (keine²-1)-dimensionale Lügengruppe. Die komplexe projektive lineare Gruppe ist a (2n²-2)-dimensionale Lügengruppe.

• Das orthogonale Gruppe${Anzeigestil O(n)}$ ist die Untergruppe von ${displaystyle GL(n,mathbb {R})}$, die aus dem orthogonale Matrizen existiert, dies sind Matrizen, die die invers sind ihre transponiert:

${Displaystil A.A^{T}=I}$

${Anzeigestil O(n)}$ ist inkohärent: es zerfällt in zwei zusammenhängende Komponenten, die, Drehungen und die Rotationsinversionen. Erstere haben Determinante 1, letztere haben Determinante –1. Die Rotationen bilden eine zusammenhängende Untergruppe von ${Anzeigestil O(n)}$, nämlich die spezielle orthogonale Gruppe und notiert ${Anzeigestil SO(n)}$.

${Anzeigestil SO(2)}$ ist in jeder Hinsicht (Gruppe und Sorte) äquivalent zu ${Displaystil S^{1}}$ über den folgenden Isomorphismus von Lügengruppen:

${displaystyle S^{1} o SO(2):zmapsto left({ egin{matrix}Re z&Im z/-Im z&Re z/end{matrix}}ight)}$

wahr ${displaystyle Re }$ und ${displaystyle Im}$ es Real und der imaginärer Teil einer komplexen Zahl.

• Das einheitliche Gruppe${Anzeigestil U(n)}$ ist die Untergruppe von ${displaystyle GL(n,mathbb {C})}$, die aus dem unitäre Matrizen existiert, das sind Matrizen, die die Umkehrung ihrer Einsiedler transponiere, transponiere und ersetze dann alle Zahlen durch ihre komplex konjugiert:

${displaystyle A.{overline {A}}^{T}=I}$

Die Determinante von a unitäre Matrix ist eine komplexe Zahl mit Absolutwert 1. Der Sonderfall ${Displaystil U(1)}$ ist wieder ${Displaystil S^{1}}$.

Vor dem ${Anzeigestil n>1}$ ist ${Anzeigestil U(n)}$ nicht Singular. Er hat als (verwandt) normaler sub das spezielle einheitliche Gruppe${Anzeigestil SU(n)}$, das sind die unitären Matrizen mit Determinante 1.

• Das spezielle lineare Gruppe${Anzeigestil SL(n,k)}$ über einen Körper ${Anzeigestil K}$ besteht aus dem Quadrat n×n-Matrizen über ${Anzeigestil K}$, deren Determinante 1 ist. Vor dem ${displaystyle K=mathbb {R} }$ und ${displaystyle K=mathbb {C} }$ hat es die Struktur einer Lügengruppe mit realer Dimension? nein²-1 und 2n²−2.
• Das symplektische Gruppe${Anzeigestil Sp(2n,K)}$ über einen Körper ${Anzeigestil K}$ besteht aus dem Quadrat 2n×2n-Matrizen ${Anzeigestil M}$ Über ${Anzeigestil K}$ mit der Immobilie

${displaystyle M^{T}{ egin{bmatrix}0&I_{n}/-I_{n}&0/end{bmatrix}}M={ egin{bmatrix}0&I_{n}/-I_{n}&0/end{ bmatrix}}}$

In dieser Formel bedeutet ${displaystyle M^{T}}$ das transponierte Matrix von ${Anzeigestil M}$, und ${displaystyle I_{n}}$ ist ein n×n-Einheitenmatrix.

Die symplektische Gruppe ist eine Untergruppe der speziellen linearen Gruppe ${Anzeigestil SL(2n,K)}$. Vor dem ${displaystyle K=mathbb {R} }$ und ${displaystyle K=mathbb {C} }$ ist er eine Lügengruppe mit echter Dimension ${Anzeigestil n(2n 1)}$ und ${Anzeigestil 2n (2n 1)}$.

Allgemeine Form

Wenn den Gruppenelementen keine Koordinaten zugewiesen werden müssen, kann die stetige Symmetrie auch nach dem allgemeinen Begriff modelliert werden topologische Gruppe. Jede Lügengruppe ist eine topologische Gruppe, aber nicht umgekehrt.

Frühe Geschichte

Laut der maßgeblichsten Quelle zur Frühgeschichte der Lügengruppen^[1] berücksichtigt Sophus Lüge selbst den Winter 1873-1874 als Geburtsdatum seiner Theorie der kontinuierlichen Gruppen. Hawkins schlägt jedoch vor, dass es „Lies außergewöhnliche Forschungsanstrengungen während der vierjährigen Periode vom Herbst 1869 bis zum Herbst 1873 waren, die zur Entwicklung der Theorie führten.^[1] Einige der frühen Ideen wurden in enger Zusammenarbeit mit . entwickelt Felix Klein entwickelt. Lie traf Klein von Oktober 1869 bis 1872 fast täglich: zuerst in Berlin von Ende Oktober 1869 bis Ende Februar 1870, dann in Paris bis Anfang Deutsch-Französischer Krieg und für die nächsten zwei Jahre in Göttingen und Erlangen.^[2] Lie erklärte, dass alle seine wichtigsten Ergebnisse vor 1884 erzielt wurden. In den 1870er Jahren erschienen jedoch alle seine Artikel (außer dem ersten) nur in norwegisch Zeitschriften, einige Anerkennung seiner Arbeit im Rest Europas^[3] behindert. 1884 die junge the DeutscheMathematiker, Friedrich Engel, einem Schüler von Klein, mit Lie an einer systematischen Abhandlung über die Theorie der kontinuierlichen Gruppen zu arbeiten. Aus dieser Anstrengung entstand der dreiteilige, Theorie der Transformationsgruppen, von denen Teile 1888, 1890 und 1893 veröffentlicht wurden.

Lies Ideen waren nicht vom Rest der Mathematik isoliert. Sein Interesse an der Geometrie von Differentialgleichungen wurde in der Tat von der Arbeit von Carl Jacobic, zur Theorie von partielle Differentialgleichungen erster Ordnung und auf den Gleichungen der klassische Mechanik. Viele von Jacobis Werken wurden in den 1860er Jahren veröffentlicht posthum erschien, erfreute sich in Frankreich und Deutschland enormen Interesses^[4]. Lügen Ideenkorrektur war, eine Theorie der Symmetrien von Differentialgleichungen zu entwickeln, die für die Differentialgleichungen das leisten würde, was Evariste Galois hatte getan für algebraische Gleichungen: nämlich, sie in Bezug auf die zu klassifizieren Gruppentheorie. Ein zusätzlicher Impuls, kontinuierliche Gruppen in Betracht zu ziehen, kamen von Ideen von Bernhard Riemann über die Grundlagen der Geometrie und deren Weiterentwicklung in den Händen von Klein. So kombinierte Lie in seiner neuen Theorie drei große Themen der Mathematik des 19. Jahrhunderts: die Idee der Symmetrie, wie sie von Galois durch den algebraischen Begriff von a illustrated illustriert wurde Gruppe; geometrische Theorie und die expliziten Lösungen von Differentialgleichung aus der Mechanik, ausgearbeitet von Gift und Jacobi; und drittens das neue Verständnis der Geometrie, die aus den Werken von Zupfer, Möbius, Grassmann und andere, und das gipfelte in Riemanns revolutionärer Vision zu diesem Thema.

Obwohl Sophus Lie heute zu Recht als Begründer der Theorie der kontinuierlichen Gruppen anerkannt wird, wurde ein wichtiger Schritt in der Entwicklung ihrer Strukturtheorie, der einen tiefgreifenden Einfluss auf die weitere Entwicklung der Mathematik haben sollte, vollzogen von Wilhelm Tötung. Killing veröffentlichte den ersten Artikel einer Reihe mit dem Titel: Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (Die Zusammensetzung stetiger endlicher Transformationsgruppen).^[5] Killings Arbeit wurde später verfeinert und verallgemeinert von Elie Cartan, führte zur Klassifizierung von halbeinfache Lie-Algebren, zu Cartans Theorie der symmetrische Räume, und Hermann Weyls Beschreibung von Vertretungen von kompakten und semi-single Lie-Gruppen unter Verwendung der höchste Gewichte.

Mit Weyl blühte die Frühphase der Entwicklung der Lügengruppentheorie auf, denn er klassifizierte nicht nur die irreduziblen Darstellungen halbsingulärer Lügengruppen und verband die Gruppentheorie mit den Quantenmechanik, aber er hat auch Lies Theorie selbst auf eine festere Grundlage gestellt, indem er klar zwischen Lies infinitesimale Gruppen (also Lügenalgebren) und die eigentlichen Lügengruppen, außerdem begann er mit Untersuchungen der Topologie der Lügengruppen (Borel (2001). Die Theorie der Lügengruppen war Claude Chevalley in einer systematisch in moderner mathematischer Sprache umgeschriebenen Monographie.

Lügenalgebra einer Lügengruppe

Sie ${Anzeigestil G}$ eine Lügengruppe. mit jedem Vektor${displaystyle {ilde{X}}}$ von ${displaystyle TG_{e}}$, das Berührungsraum Auf ${Anzeigestil G}$ in dem neutrales Element${displaystyle e}$, kommt ein invariantes Vektorfeld${Anzeigestil X}$ zustimmen. Der Wert von ${Anzeigestil X}$ über jedem Punkt ${displaystyle Gin G}$ erhält man durch das Differential ${displaystyle L_{g}^{*}}$ aus dem Bild "linke Komposition mit ${displaystyle g}$" ${displaystyle L_{g}:G o G:hmapsto gh}$ sich bewerben bei ${displaystyle {ilde{X}}}$:

${Anzeigestil X(g)=L_{g}^{*}(X(e))=L_{g}^{*}({ ilde {X}})}$

Das Lügenhaken${displaystyle links[X,Yight]}$ von zwei Invarianten Vektorfelder ist wieder ein invariantes Vektorfeld. Er macht das Reale Vektorraum der invarianten Vektorfelder auf ${Anzeigestil G}$ ein (nicht assoziativ) Algebra, genauer gesagt a Lügen-Algebra.

Intuitiv misst der Lügenhaken den "unendlichen Effekt zweiter Ordnung" einer kleinen Verschiebung in Richtung ${Anzeigestil X}$, gefolgt von einer kleinen Verschiebung in Richtung ${Anzeigestil Y}$, gefolgt von einer kleinen Verschiebung in Richtung ${displaystyle -X}$, gefolgt von einer kleinen Verschiebung in Richtung ${displaystyle -Y}$.

Die Lügenalgebra einer Lügengruppe erfüllt die Definitionsbedingungen von a abstrakte Lügenalgebra.

Beispiele

Die Lügenalgebra von ${displaystyle (mathbb {R} ^{n}, )}$ ist der Vektorraum ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ mit der Konstanten 0 als Produktoperation: ein sogenanntes abels Lügen Algebra.

Die Lügenalgebra von ${displaystyle GL(n,mathbb {R})}$ ist der Vektorraum des Quadrats reell ${Anzeigestil n imes n}$Matrizen, mit der Produktoperation de Ringkommutator:

${displaystyle left[A,Bight]=Acdot B-Bcdot A}$.

Die Lügenalgebra von ${Anzeigestil O(n)}$ ist das gleiche wie das von ${Anzeigestil SO(n)}$, nämlich die verzerrt quadratisch echt ${Anzeigestil n imes n}$-Matrizen:

${Anzeigestil A^{t}A=0,}$

Die Produktoperation ist wieder der Ringkommutator. Es ist nicht schwer zu verifizieren, dass der Kommutator von schiefsymmetrischen Matrizen wieder schiefsymmetrisch ist:

${displaystyle [A,B] ^{t}[A,B]=Acdot B-Bcdot A ^{t}(Acdot B-Bcdot A)=Acdot B-Bcdot A ^{t}Bcdot ^{t}A- ^{t}Acdot ^{t}B=0}$

Die Lügenalgebra von ${displaystyle SL(n,mathbb {R})}$ besteht aus dem echten ${Anzeigestil n imes n}$Matrizen mit Spur 0, das heißt ${Anzeigestilsumme _{i=1}^{n}a_{ii}=0}$. Analog für ${displaystyle SL(n,mathbb {C})}$.

Ein-Parameter-Untergruppen

EIN einparametrige Untergruppe aus einer Lügengruppe ${Anzeigestil G}$ ist ein glattes Gruppenhomomorphismus der Lügengruppe ${displaystyle (mathbb {R} , )}$ zu ${Anzeigestil G}$

${displaystyle phi :mathbb {R} oder G,phi (t_{1} t_{2})=phi (t_{1})phi (t_{2})}$

Für jeden Tangentenvektor ${displaystyle {ilde{X}}}$ in dem Berührungsraum${displaystyle TG_{e}}$ gibt es eine einzigartige glatte Gruppenhomomorphismus${displaystyle phi :(mathbb {R}, ) oder G}$ von denen die Derivat in 0 ist gleich ${displaystyle {ilde{X}}}$. Das exponentielles Bild ist das bild ${displaystyle exp }$ des Lügenalgebra von ${Anzeigestil G}$ zu ${Anzeigestil G}$ selbst, dass mit jedem invarianten Vektorfeld das Gruppenelement ${displaystyle phi(1)}$ Assoziiert.

Der Name "exponentielles Mapping" wird durch die Eigenschaft begründet

${displaystyle exp left((t_{1} t_{2})Xight)=left(exp(t_{1}X)ight)left(exp(t_{2}X)ight)}$

Die Lügenalgebra von ${Anzeigestil G}$ ist ein endlich-dimensional reellen Vektorraum und kann somit natürlich als glatte Varietät aufgefasst werden. In diesem Sinne ist die exponentielle Abbildung glatt, und lokal diffeomorph in dem Umfeld von ${Anzeigestil 0}$.

Haargröße

sehen Haargröße für den Hauptartikel zu diesem Thema.

EIN lokal kompakt Lügengruppe hat immer ein linksinvariantes Maß, das ist ein messen${Anzeigestil mu}$ auf der borelstam${displaystyle {mathcal {B}}}$ von ${Anzeigestil G}$ (das Sigma-Algebra gezeugt von der offene Sammlungen von ${Anzeigestil G}$) mit der Eigenschaft, dass

${displaystyle forall Ain {mathcal {B}},forall gin G:mu (gA)=mu (A)}$

(sowie die implizite Annahme, dass ${Anzeigestil mu}$ ist nicht konstant 0).

Diese Größe ist sigma-endlich (Ende mit a kompakt Lügengruppe) und heiß Haargröße von ${Anzeigestil G}$, benannt nach dem Ungar Alfred Haar. Sie ist einzigartig bis auf einen echten Faktor.

Natürlich gibt es auch ein rechtsinvariantes Maß${displaystyle mu_{R}}$, auch einzigartig auf a Koeffizient nach dem. wenn ${Anzeigestil G}$ nicht abels das heißt, die links- und rechtsinvarianten Maße müssen nicht mehrere getrennt sein. Es gibt jedoch eine messbare Funktion ${displaystyle Delta:G o mathbb {R}}$, Modul oder modulare Funktion genannt, mit der Eigenschaft, dass

${displaystyle forall Ain {mathcal {B}}:mu _{R}(A)=int _{A}Delta (g)dmu (g)}$

Es sind nicht nur abelsche Lügengruppen, sondern auch kompakte Lügengruppen unimodular in dem Sinne, dass ${Anzeigestil Delta }$ ist eine Konstante, d. h. rechtsinvariante Maße sind auch linksinvariant.

Die Haargröße bestimmter Lügengruppen ist die Grundlage der geometrische Maßtheorie oder zu Wahrscheinlichkeitsgeometrie, um Begriffen wie "die durchschnittliche Dicke von a konvex Figur" oder "die Wahrscheinlichkeit, dass eine willkürliche Drehung eines Kegels um seine Spitze eine gegebene Ebene schneidet".

Anhand der Haargröße definiert man auch die Faltung von zwei Funktionen auf G.

Fußnoten