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Es Mathematiker Verstehen kompakt kommt von Topologie. Es versucht, den Begriff eines "kleinen" oder "überschaubaren" topologischer Raum. EIN topologischer Raum wird kompakt benannt wie jeder von ihr offene Gehäuse ein endlichTeildeckung hast. Ist dies nicht der Fall, so ist ein solcher topologischer Raum nicht kompakt erwähnt.

Beachten Sie, dass einige Autoren mögen bourbakisch dafür der Begriff "quasi-kompakt". Sie reservieren den Begriff "kompakt" für topologische Räume, die beides enthalten Hausdorff als "quasi-kompakt".

Das Heine-Borel-Theorem zeigt, dass diese Definition für Teilmengen des euklidischer Raum${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ ist äquivalent zu Geschlossen und begrenzt. Im ${displaystyle mathbb {R} }$ zum Beispiel ist es geschlossen? Einheitsintervall${displaystyle[0,1]}$ kompakt, aber ist die Menge der ganze Zahlen${displaystyle mathbb {Z} }$ dies ist nicht (diese Teilmenge ist nicht beschränkt). Gleiches gilt auch für die halboffene Intervall${Anzeigestil(0.1)}$ (Diese Untermenge ist nicht abgeschlossen).

Das Konzept einer kompakten Teilmenge der reale Nummern kann zu kompakten Teilmengen beliebiger erweitert werden topologischer Raum und sogar zum Konzept von a kompakter Raum. Eine Teilmenge ist kompakt, wenn diese Teilmenge, ausgestattet mit a Unterraumtopologie, wird zu einem kompakten Raum.

Definition

EIN topologischer Raum${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$ wird kompakt benannt als jeder Offene Abdeckung von ${Anzeigestil X}$ hat eine endliche Unterdeckung. Das heißt, wenn

${displaystyle {U_{i}|iin I}Untermenge {mathcal {T}}}$

eine beliebige, möglicherweise unendliche Familie offene Sammlungen von ${Anzeigestil X}$ ist so dass

${displaystyle igcup _{iin I}U_{i}=X,}$

einer endlich Unterfamilie ${displaystyle Jsubset I}$ ist für was

${displaystyle igcup _{iin J}U_{i}=X.}$

Eine Teilmenge ${Anzeigestil D}$ von ${Anzeigestil X}$ heißt kompakt wie sie, ausgestattet mit dem Unterraumtopologie, bildet wiederum einen kompakten topologischen Raum. Dies entspricht der Forderung, dass für jede Familie offene Sätze von ${Anzeigestil X}$ Das ${Anzeigestil D}$ abgedeckt, gibt es eine endliche Unterfamilie, die ${Anzeigestil D}$ noch bedeckt. Also wenn

${displaystyle {U_{i}|iin I}Untermenge {mathcal {T}}}$

eine beliebige, möglicherweise unendliche Familie offene Sammlungen von ${Anzeigestil X}$ ist so dass

${displaystyle igcup _{iin I}U_{i}supseteq D,}$

dann ist da einer endlich Unterfamilie ${displaystyle Jsubset I}$ Wofür

${displaystyle igcup _{iin J}U_{i}supseteq D.}$

Eigenschaften

Eine wichtige Eigenschaft kompakter topologischer Räume ist, dass das Bild eines kompakten Raums unter a kontinuierlich Bild ist wieder kompakt. Mit anderen Worten: Kompaktheit ist a stetig-invariant. Weitere Eigenschaften sind:

• wenn ${Anzeigestil X}$ ist kompakt und ${displaystyle Ysubset X}$ ist Geschlossen, dann ist ${Anzeigestil Y}$ mit der Unterraumtopologie kompakt.
• wenn ${Anzeigestil X}$ ein Hausdorff-Raum ist und ${displaystyle Ysubset X}$ mit der Unterraumtopologie kompakt ist, dann ist ${Anzeigestil Y}$ Geschlossen.

Aus diesen Eigenschaften folgt beispielsweise, dass a bijektiv kontinuierliche Abbildung von einem kompakten Raum zu a Hausdorff-Raum immer ein Homöomorphismus ist.

Das Satz von Tychonov ist es das Produkt kompakter Räume ist wieder kompakt.

Kompakte metrische Räume

Wenn die topologische Struktur von ${Anzeigestil X}$ kommt von einer Distanzfunktion (metrisch), dann ist die Kompaktheit äquivalent zu der folgenden Eigenschaft: any Warteschlange im ${Anzeigestil X}$ hat ein konvergent Unterzeile mit Begrenzung in ${Anzeigestil X}$.

In allgemeinen (nicht-metrischen) topologischen Räumen gilt die obige Äquivalenz nicht, aber ein verallgemeinerter Satz kann auf der Grundlage des Konzepts Filter: ${Anzeigestil X}$ ist genau dann kompakt, wenn jedes Ultrafilter konvergiert.

In metrischen Räumen entspricht Kompaktheit auch der Kombination der folgenden beiden Eigenschaften:

• Ganzheit;
• totale Einschränkung: für jede kleine ${Displaystil-Varepsilon >0}$ gibt es eine abdeckung von ${Anzeigestil X}$ durch eine endliche Zahl offene Glühbirnen mit Radius ${Anzeigestil Varepsilon }$.

Dies ist eine verallgemeinerte Form von Heine-Borel-Theorem, benannt nach Heinrich Eduard Heine und Emile Borel.

"Total limitiert" heißt in manchen Lehrbüchern vorkompakt.

Kompakte Teile des euklidischen Raums

Metrische Räume sind auch Hausdorff Zimmer. Die kompakten Teile von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ mit der gewöhnlichen Metrik sind damit abgeschlossen.

Beliebiger kompakter (Unterraum von a) metrischer Raum ist begrenzt. Dies erkennt man an der offenen Abdeckung, die aus allen offenen Kugeln besteht ${Anzeigestil B(x,r)={yin X|d(x,y)$ mit festem Zentrum ${Anzeigestil x}$.

Der Satz von Heine-Borel charakterisiert die kompakten Unterräume von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ genau wie die abgeschlossenen, beschränkten Teilmengen.

Lokal kompakt

Ein topologischer Raum heißt lokal kompakt wenn jeder Punkt a Umweltbasis die aus kompakten Sätzen besteht.

Relativ kompakt

Eine Teilmenge ${Anzeigestil V}$ eines topologischen Raums ${Anzeigestil X}$ heiß relativ kompakt wie sie topologische Schließung im ${Anzeigestil X}$ kompakt. Manchmal ist der Begriff vorkompakt wird als Synonym für relativ kompakt verwendet, aber dies führt zu Verwirrung mit dem Konzept der totalen Beschränktheit.

Kompakter Antrieb

Das Operatortheorie Studien lineare Bilder zwischen topologische Vektorräume. Eine stetige lineare Abbildung heißt kompakt, wenn sie beschränkte Mengen auf relativ kompakte Mengen abbildet. Im metrisch In topologischen Vektorräumen hat das Adjektiv "begrenzt" seine gewöhnliche Bedeutung, in allgemeineren topologischen Vektorräumen gilt eine modifizierte Definition.

Verdichtung

Kompakte Räume sind normalerweise einfacher zu analysieren als nicht kompakte Räume. Daher kann es interessant sein zu wissen, dass ein gegebener Raum zumindest ein Teil eines kompakten Raums ist. Es gibt mehrere Standardtechniken zum Erweitern eines gegebenen Raums in einen kompakten Raum.

Das Alexandrov-Verdichtung oder Einpunktverdichtung fügt jedem topologischen Raum einen Punkt hinzu, zeige auf unendlich namens. Eine Sammlung heißt open in ${displaystyle Xcup {infty }}$ wenn sie eine offene Menge in der ursprünglichen Topologie von . ist ${Anzeigestil X,}$ oder wenn sein Komplement ein kompakter Teil von . ist ${Anzeigestil X}$ ist. Die Einpunktverdichtung existiert für jeden topologischen Raum ${Anzeigestil X.}$

Das Stein-Čech-Verdichtung oder Beta-Komprimierung ist auf Zimmer beschränkt ${Anzeigestil X}$ der bei der Trennungsaxiom${displaystyle T_{3.5}}$ (Tychonovs Axiom). Das umfangreiche Raumangebot ist nicht nur kompakt, sondern auch Hausdorff. Der Aufbau geht so: Sie ${Anzeigestil C}$ die Sammlung von allen kontinuierliche Funktionen von ${Anzeigestil X}$ zum geschlossenen Intervall ${displaystyle[0,1].}$ Der Raum ${Anzeigestil X}$ kann als Unterraum des unendlichen Eins verstanden werden Produktraum

${displaystyle [0,1]^{C}}$

weiter mit jedem Element ${Anzeigestil X}$ die Auswertung stetiger Funktionen in ${Anzeigestil x}$ zu assoziieren. Das topologische Schließung dieses Unterraums ist die Kompaktifizierung von ${Anzeigestil X.}$