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Eine Bijektion zwischen Kollektionen${Anzeigestil X}$ und Ja.

In dem Mathematik ist ein bijektion oder bijektives Bild ein Bild was beides injektiv wenn surjektiv ist, und daher alle Elemente von zwei Kollektionen im Eins-zu-eins-Verkehr. Bijektiv bedeutet (siehe Bild rechts), dass jedes Element in der Menge ${Anzeigestil X}$ ist mit genau einem Element aus der Menge verknüpft ${Anzeigestil Y}$ und umgekehrt jedes Element der Menge ${Anzeigestil Y}$ ist mit genau einem Element aus der Menge verknüpft ${Anzeigestil X}$.

Eine Bijektion der Sammlung ${Anzeigestil X}$ in der Kollektion ${Anzeigestil Y}$ hat ein Umkehrfunktion von ${Anzeigestil Y}$ zu ${Anzeigestil X}$. wenn ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$endliche Mengen Die Existenz einer Bijektion bedeutet, dass beide Mengen die gleiche Anzahl von Elementen haben. Vor dem unendliche Sammlungen ist es komplizierter; es führt zum Konzept von a Kardinalzahl, eine Möglichkeit, zwischen den verschiedenen Größen unendlicher Mengen zu unterscheiden.

Eine bijektive Funktion einer Menge an sich heißt a Permutation erwähnt.

Bijektive Funktionen sind für viele Bereiche der Mathematik unerlässlich, einschließlich der Definitionen von Isomorphismus, Homöomorphismus, Diffeomorphismus und Permutationsgruppe.

Der Begriff 'bijjektives Bild' wurde eingeführt von bourbakisch.

Definition

EIN bijektion zwischen zwei Kollektionen${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ (nicht unbedingt anders), ist eine Funktion oder ein Bild:

${Anzeigestil f:X oder Y}$

Das injektiv ist, so verschiedene Elemente von ${Anzeigestil X}$ Karten zu verschiedenen Elementen von verschillende ${Anzeigestil Y}$ und auch surjektiv ist, also alle Elemente in ${Anzeigestil Y}$ zu einem Element von ${Anzeigestil X}$ Links, für die gilt:

• von ${Anzeigestil f(x_{1})=f(x_{2})}$ folgt ${displaystyle x_{1}=x_{2}}$
• für alle ${Anzeigestil Yin Y}$ Ist da ein ${displaystyle xinX}$ mit ${Anzeigestil y=f(x)}$

Gleichberechtigung

In dem Mengenlehre werden zwei Kollektionen Gleichmut oder gleichpotent aufgerufen, wenn es eine Bijektion zwischen den Mengen gibt. So werden die Kollektionen ${Anzeigestil {1,2,3}}$ und ${Anzeigestil {4,8,12}}$ Gleichmut genannt, weil das Bild ${displaystyle f:{1,2,3}Eightarrow {4,8,12}}$ mit ${Anzeigestil f(x)=xcdot 4}$, ist bijektiv.

Vor dem endliche Mengen der Begriff der gleichen Macht ist daher genau derselbe wie "gleiche Anzahl von Elementen". Vor dem unendliche Sammlungen jedoch wird das Konzept der "gleichen Anzahl von Elementen" vage, aber nicht gleich oder gleichmächtig. Kantor war der erste, der Sammlungen auf diese Weise vergleicht.

Somit sind die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der ganzen Zahlen gleich stark, weil es möglich ist, eine Bijektion zwischen ihnen zu finden. Mach das folgende Bild von ${displaystyle mathbb {N} }$ zu ${displaystyle mathbb {Z} }$:

• 0 wird auf 0 angezeigt displayed
• eine gerade natürliche Zahl wird auf ihre Hälfte abgebildet: zum Beispiel: 4 wird auf 2 . abgebildet
• bei einer ungeraden natürlichen Zahl wird zuerst 1 addiert und dieses Ergebnis durch -2 geteilt: zum Beispiel: 5 wird auf -3 . abgebildet

Allgemeiner:

${displaystyle 2n,mapsto ,nquad {mbox{en}}quad 2n 1,mapsto ,-n-1}$

Dies ist eine Bijektion, da jede natürliche Zahl ein eindeutiges Bild hat und jede ganze Zahl genau einmal erreicht wird ${displaystyle mathbb {Q} }$ gleich diesen beiden ist Die Menge der reellen Zahlen ${displaystyle mathbb {R} }$ ist jedoch nicht gleich den drei vorherigen, sondern mit dan ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ für jeden ganzzahligen Wert von n größer als 0.

Beispiele und Gegenbeispiele

Beispiel 1

${Displaystil A={1,2,3}, Quad B={-7.3,10}}$

${Anzeigestil f:A oder B}$, mit ${Anzeigestil f(1)=-7, f(2)=3, f(3)=10}$

Die Funktion ${displaystyle f}$ ist eine Bijektion: 1 ist mit -7 verknüpft, 2 mit 3 und 3 mit 10. Kein Element von B bleibt und kein Element von ${Anzeigestil B}$ schaltet 2 Elemente aus ${Anzeigestil A}$ verknüpft.

Beispiel 2

${Displaystil A=[2,3], Quad B=[2,4]}$

${Anzeigestil f:A oder B}$, mit ${Anzeigestil f(x)=2x-2}$

Auch diese Funktion ${displaystyle f}$ ist eine Bijektion. Zum Beispiel ist 2.5 mit 3, 2.9 mit 3.8 und 3 mit 4 verknüpft. Eine weitere bijektive Abbildung zwischen diesen Mengen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ ist:

${Anzeigestil g(x)=x^{2}-3x 4}$

Gegenbeispiel 1

${Displaystil A={1,2,3},Quad B={-7.3,10}}$

${Anzeigestil f:A oder B}$, mit ${Anzeigestil f(1)=3, f(2)=3, f(3)=10}$

Dies ist keine Bijektion, da einerseits -7 nicht verknüpft und somit nicht surjektiv ist, und andererseits, weil 3 sowohl mit 1 als auch mit 2 verknüpft ist, nicht injektiv ist. Eine Bijektion ist sowohl injektiv als auch surjektiv, also folgt ${displaystyle f}$ ist nicht bijektiv.

Gegenbeispiel 2

${Displaystil A=[-1,1], Quad B=[0,1]}$

${Anzeigestil f:A oder B}$, mit ${Anzeigestil f(x)=x^{2}}$

Dies ist keine Bijektion. Es ist wahr, dass jedes Element von ${Anzeigestil B}$ ist mit einem Element von verknüpft ${Anzeigestil A}$, aber einige Elemente von ${Anzeigestil B}$ hängen an zwei verschiedenen Elementen von ${Anzeigestil A}$ verknüpft. Beispielsweise, ${Anzeigestil f(-1)=f(1)=1}$.

Gegenbeispiel 3

${Displaystil A=[0,1], Quad B=[0.2]}$

${Anzeigestil f:A oder B}$, mit ${Anzeigestil f(x)=x 1}$

Dies ist keine Bijektion, denn ${displaystyle f}$ ist nicht surjektiv, weil nicht alle Elemente von ${Anzeigestil B}$ mit einem Element aus verknüpft sein ${Anzeigestil A}$. Das Element 0 in ${Anzeigestil B}$ zum Beispiel ist kein Element von ${Anzeigestil A}$ das Bild. Die Funktion ${displaystyle f}$ ist injektiv, weil keine zwei Elemente existieren ${Anzeigestil A}$ mit demselben Element von . verbunden sein ${Anzeigestil B}$.

Siehe auch

• Bild
• Funktion
• Injektion
• Surjektion

Fußnoten