WikiDer > Permutationsgruppe

In dem Gruppentheorie, Teil von dem Mathematik, ist ein Permutationsgruppe ein Gruppe${Anzeigestil G}$, deren Elemente Permutationen gegeben sein Warteschlange${Anzeigestil M}$. Die Gruppenoperation in einer Permutationsgruppe ist die Komposition der Permutationen. Es gibt zwischen den Elemente von a Sammlung per definitionem nein Auftrag, also können wir nicht wirklich über die Permutation der Elemente einer Menge sprechen. Wenn wir von der Permutationsgruppe einer Menge sprechen, bedeutet die Menge die Reihe von Elementen, auf die die Permutationsgruppe wirkt.

Die Gruppe aller Permutationen einer Folge ${Anzeigestil M}$ heißt der symmetrische Gruppe von ${Anzeigestil M}$. Dies kann geschrieben werden als ${displaystyle mathrm {Sym} (M)}$.

Um die Permutationsgruppen einer endlichen Folge zu studieren ${Anzeigestil M}$ mit ${displaystyle n}$ Elemente können für ${Anzeigestil M}$ die Reihe ${displaystyle {1,2,ldots,n}}$ genommen werden. Es gibt viele Beispiele, wo für ${Anzeigestil M}$ das Scheitelpunkte von a regelmäßiges Vieleck oder von a regelmäßiges Polyeder genommen werden.

Handelt es sich nur um die Gruppenstruktur, so ist für eine endliche Folge nur die Anzahl der Elemente wichtig. In diesem Fall oder wenn die Folge aus dem Kontext klar ist, wird die symmetrische Gruppe von ${displaystyle n}$ Elemente, die mit gekennzeichnet sind ${displaystyle S_{n}}$. Da jede Permutationsgruppe die ${displaystyle n}$ Elemente einer Reihe ${Anzeigestil M}$ Permuten kann jede Permutationsgruppe als a Untergruppe der symmetrischen Gruppe ${displaystyle S_{n}}$.

Die Theorie der Permutationsgruppen hat Anwendungen im Studium von Symmetrien, das Kombinatorik und viele andere Zweige der Mathematik, das Physik und der Chemie.

Die Eigenschaften einer Permutationsgruppe

Wie andere Gruppen muss eine Permutationsgruppe die Gruppenaxiome erfüllen: Die Permutation, die die Identität darstellt, muss Element der Gruppe sein, von jeder Permutation muss die inverse Permutation Element sein und die Permutationsgruppe muss unter dem . abgeschlossen sein Komposition seiner Elemente.

Laut der Cayleys Theorem ist irgendeine Gruppe isomorph mit einer Permutationsgruppe.

Transitivität ist ein Konzept aus dem Gruppentheorie. Eine Permutationsgruppe ${Anzeigestil G}$ heißt transitiv, wenn für jede Kombination ${Anzeigestil (a_{i},a_{j})}$, beide Element von ${Anzeigestil M}$, eine Permutation ${displaystyle Gin G}$ ist, damit ${Anzeigestil g(a_{i})=a_{j}}$.

Beispiele

Permutationen werden oft in zyklischer Form geschrieben, als Produkt disjunkter Zyklen. Für die Sammlung ${Anzeigestil M={1,2,3,4}}$ wird die Permutation ${displaystyle g}$ mit ${Anzeigestil g(1)=2, g(2)=4, g(4)=1}$ und ${Anzeigestil g(3)=3}$ geschrieben als ${Anzeigestil (1 2 4)(3)}$, oder auch als ${Anzeigestil (1 2 4)}$, da 3 unverändert bleibt.

Aus der Kollektion ${Anzeigestil M={1,2,3,4}}$ die folgenden Permutationen sind gegeben:

• ${Anzeigestil e=(1)(2)(3)(4)=()}$, die triviale Permutation, de identisches Bild, wodurch jedes Element an seinem eigenen Platz bleibt.
• ${Anzeigestil a=(1 2)(3)(4)=(1 2)}$, die nur die Elemente 1 und 2 vertauscht.
• ${Anzeigestil b=(1)(2)(3 4)=(3 4)}$, die nur die Elemente 3 und 4 vertauscht.
• ${Anzeigestil ab=(1 2)(3 4)}$, die Verbindung der beiden vorherigen Permutationen, die sowohl 1 und 2 als auch 3 und 4 vertauscht.

Das Zauberwürfel ist ein Modell einer Permutationsgruppe. Jede Drehung eines der Flugzeuge des Würfels ist ein Element in der Permutationsgruppe des Zauberwürfels, sie bilden die Stromerzeuger der Permutationsgruppe des Zauberwürfels. Nicht alle erdenklichen Würfelpositionen können durch die erlaubten Drehungen des Würfels erreicht werden.

Isomorphismus

wenn ${Anzeigestil G}$ und ${Anzeigestil H}$ zwei Permutationsgruppen auf derselben Menge ${Anzeigestil M}$ sind, sagen sie ${Anzeigestil G}$ und ${Anzeigestil H}$ wenn Permutationsgruppen isomorph sind wenn es a . gibt bijektion oder Permutation ${Anzeigestil f:M oder M}$ existiert, so dass ${displaystyle gmapsto h_{g}=f^{-1}circ gcirc f}$ eine Bijektion ist dazwischen ${Anzeigestil G}$ und ${Displaystil H.}$ Dies bedeutet, dass für jedes Element ${displaystyle Gin G}$ ein einzigartiges ${displaystyle h_{g}in H}$ existiert für was ${displaystyle (gcirc f)(x)=(fcirc h_{g})(x)}$ für alle ${displaystyle xin M.}$ Das bedeutet dasselbe ${Anzeigestil G}$ und ${Anzeigestil H}$ einander konjugiert sind wie Untergruppen von ${displaystyle mathrm {Sym} (M)}$. ${Anzeigestil G}$ und ${Anzeigestil H}$ sind in diesem Fall auch isomorph als Gruppen.

Literatur

• P Stevenhagen. Algebra 1, 2017. Kapitel 2