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Zauberwürfel, ein Beispiel für die Anwendung von Gruppen in der Praxis.

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Gruppentheorie ist in der Mathematik das Studium der Gruppen, kann auch als das Studium von . beschrieben werden Symmetrien. Gruppen werden in der Mathematik häufig verwendet, um die Symmetrie von a . zu bestimmen mathematisches Objekt beschreiben. Die in einer Gruppe enthaltene Symmetrie wird durch die Eigenschaften unter den erlaubten Transformationen Ändere dich nicht.

Allgemeines

Die Gruppentheorie entstand gleichzeitig mit der Theorie der Gleichungen lösen. Lagrange war der erste, der versuchte, diese beiden Theorien zu kombinieren. Die Theorie dazu heißt Galois-Theorie, die verwendeten Gruppen heißen die Galois-Gruppen. Polynome werden nach ihrer Galois-Gruppe klassifiziert. Die Galois-Theorie basiert daher auf der Gruppentheorie.

In dem algebraische Topologie Gruppen werden verwendet, um die festen Eigenschaften (Invarianten) von topologische Räume beschreiben. Die festen Eigenschaften eines topologischen Raums ändern sich bei einer kontinuierlichen Verformung dieses Raums nicht. Beispiele für solche Invarianten sind die grundlegende Gruppe, das Homologiegruppen und der Kohomologiegruppen.

Lügengruppen, benannt nach Sophus Lüge, kann Differentialgleichung und Sorten werden verwendet. Dieser Zweig der Mathematik wird als . bezeichnet harmonische Analyse. Die harmonische Analyse kombiniert die Analyse von Funktionen und Gruppentheorie werden die Gruppen verwendet, um die Symmetrie innerhalb analytischer Größen zu beschreiben.

Das Burnsides Theorem ist eine Konsequenz der Gruppentheorie. In dem Kombinatorik dieser Satz wird zum Beispiel zum Zählen verwendet Permutationen vereinfachen.

Die Gruppentheorie hat viele Anwendungen, insbesondere in der Physik, das Chemie und der Materialwissenschaften. In dem Chemie und der Materialwissenschaften einbiegen in Raumgruppen verwendet, um die Struktur von zu bestimmen Kristalle, und Punktgruppen in die Symmetrie eintreten Moleküle oder Elementarzellen in a Kristallgitter beschreiben. In der Physik geben Gruppen die Symmetrie an, die die Kräfte zwischen den verschiedenen Elementarteilchen erfüllen müssen. Besonders Lie-Gruppen sind wichtig, sie geben die möglichen Konfigurationen von Kräften und Teilchen an. Diese Theorie führt zu dem Standardmodell.

Hauptklassen der Gruppen

sehen Gruppe (Mathematik) für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Das Spektrum der in der Gruppentheorie untersuchten Gruppen hat sich allmählich von endlichPermutationsgruppen und besondere Beispiele für Matrixgruppen zu abstrakten Gruppen, die mit a . spezifiziert werden können Präsentation durch Generatoren und Beziehungen.

Permutationsgruppen

Die erste systematisch untersuchte Klasse von Gruppen ist die Klasse der Permutationsgruppen. EIN Sammlung${Anzeigestil G}$ von Permutationen einer Sammlung ${Anzeigestil X}$, was bedeutet Bijektionen auf ${Anzeigestil X}$ , die im Betrieb geschlossen ist Funktionszusammenstellung und umgekehrt, ist eine Gruppe, die wirksam werden auf ${Anzeigestil X}$. wenn ${Anzeigestil X}$ von ${displaystyle n}$Elemente existiert und ${Anzeigestil G}$ von alle Permutationen ${Anzeigestil X}$, dann ist ${Anzeigestil G}$ das symmetrische Gruppe${Anzeigestil G}$; im Allgemeinen ist ${displaystyle S_{n}}$ ein Untergruppe der symmetrischen Gruppe von ${Anzeigestil X}$. Ein früher Bau von Arthur Cayley zeigte jede Gruppe als eine Permutationsgruppe, die auf sich selbst wirkte (${Anzeigestil X=G}$) durch die linke regelmäßige Vertretung.

In vielen Fällen ist die Struktur einer Permutationsgruppe werden anhand der Eigenschaften ihrer in Betrieb auf dem entsprechenden Set. So kann man zum Beispiel beweisen dafür ${displaystyle ngeq 5}$, das alternierende Gruppe${Displaystil A_{n}}$Singular ist, was bedeutet, dass diese Gruppe keine strengen normale Untergruppe enthält mehr. Diese Tatsache spielt eine wichtige Rolle bei der Unmöglichkeit der allgemeinen algebraischen Gradgleichung ${displaystyle ngeq 5}$ oder höher, um sich in Radikalen aufzulösen.

Matrixgruppen

Andere wichtige Klassen von Gruppen sind die Matrixgruppen oder lineare Gruppen. Hier ist ${Anzeigestil G}$ eine Sammlung bestehend aus invertierbarMatrizen von einem gegebenen Auftrag${displaystyle n}$ über einen Feld${Anzeigestil K}$, und die unter geschlossen ist Matrix-Multiplikation. So eine Gruppe funktioniert durch lineare Transformationen auf der ${displaystyle n}$-dimensional Vektorraum${Anzeigestil K^{n}}$. Dies macht Matrixgruppen konzeptionell ähnlich zu Permutationsgruppen, und die Geometrie der Transformationen kann nützlich ausgenutzt werden, um die Eigenschaften der Gruppe zu bestimmen ${Anzeigestil G}$ zu etablieren.

Transformationsgruppen

Permutations- und Matrixgruppen sind Spezialfälle von Transformationsgruppen: Gruppen, die auf eine bestimmte act handeln Platz${Anzeigestil X}$ und dadurch die Struktur dieses Raumes. Genau genommen gibt es bei Permutationsgruppen keinen Leerraum, sondern , ${Anzeigestil X}$ einziger Sammlung ohne weitere Struktur. Für Matrixgruppen, ${Anzeigestil X}$ ein Vektorraum.

Die Theorie der Transformationsgruppen bildet eine Brücke zwischen der Gruppentheorie und den Differentialgeometrie. Eine lange Forschungslinie, beginnend mit der Arbeit von Sophus Lüge und Felix Klein, Studien Gruppenbearbeitungen auf Sorten durch Homöomorphismen oder Diffeomorphismen. Die Gruppen selbst können diskret wenn kontinuierlich sein.

Abstrakte Gruppen

Die meisten der in den frühen Stadien der Entwicklung der Gruppentheorie untersuchten Gruppen waren "konkret", d Zahlen, Permutationen oder Matrizen. Erst im späten neunzehnten Jahrhundert entstand die Idee einer abstrakten Gruppe als Sammlung, die mit einem Operation die einem bestimmten Axiomensystem entsprechen muss, wirksam wurde. Eine typische Methode zum Angeben einer abstrakten Gruppe ist a through Präsentation durch Generatoren und Beziehungen,

${displaystyle G=langle S|Rangle .}$

Eine wichtige Quelle für abstrakte Gruppen ist die Konstruktion von a Faktorgruppe, oder Quotientengruppe, ${Anzeigestil G/H}$, einer Gruppe ${Anzeigestil G}$ und ein normales sub${Anzeigestil H}$. Klassengruppen von algebraische Zahlenfelder gehörten zu den frühesten Beispielen für Faktorgruppen. Sie waren von großer Bedeutung in der Zahlentheorie. wenn ${Anzeigestil G}$ eine Permutationsgruppe auf einer Menge ${Anzeigestil X}$ ist, die Faktorgruppe funktioniert ${Anzeigestil G/H}$ nicht mehr an ${Anzeigestil X}$, aber die Idee einer abstrakten Gruppe erlaubt es, keine Probleme zu verursachen.

Der Perspektivwechsel von konkreten zu abstrakten Gruppen führte dazu, dass Eigenschaften von Gruppen betrachtet wurden, die unabhängig von einer bestimmten Erkenntnis oder in moderner Terminologie invariant sind unter Isomorphismen, sowie das Studium von Klassen der Gruppen mit einer bestimmten Eigenschaft: wie endliche Gruppen, periodische Gruppen, einzelne Gruppen, lösliche Gruppen. Anstatt die Eigenschaften einzelner Gruppen zu untersuchen, ging es darum, Ergebnisse zu erzielen, die auf eine ganze Klasse von Gruppen zutreffen. Dieses neue Paradigma war von großer Bedeutung für die Weiterentwicklung der Mathematik: Sie war ein Vorbote der Entstehung der abstrakte Algebra in den Werken von David Hilbert, Emil Artin, Emmy Noether und andere Mathematiker ihrer Schule.

Topologische und algebraische Gruppen

Eine wichtige Erweiterung des Gruppenbegriffs ergibt sich, wenn ${Anzeigestil G}$ mit einer zusätzlichen Struktur versehen ist, insbesondere mit a topologischer Raum, ein differenzierbare Vielfalt, oder ein algebraische Vielfalt. Wenn die Gruppenoperationen ${displaystyle m}$ (Multiplikation) und ${Anzeigestil i}$ (Umkehrung),

${displaystyle m:Gimes G o G,(g,h)mapsto gh,quad i:G o G,gmapsto g^{-1},}$

sind mit dieser Struktur kompatibel, d.h. sie Dauer-, glatt- oder regulär (im Sinne der algebraischen Geometrie) sind Bilder, die Gruppe wird a topologische Gruppe, ein Lügengruppe, oder ein algebraische Gruppe^[1].

Durch das Vorhandensein einer zusätzlichen Struktur werden diese Gruppenformen mit anderen mathematischen Disziplinen in Beziehung gesetzt und die mathematischen Werkzeuge dieser Disziplinen verfügbar gemacht. Topologische Gruppen bilden eine natürliche Domäne für das Abstrakte harmonische Analyse, während Lügengruppen (die oft als Transformationsgruppen realisiert werden) sind die Säulen der Differentialgeometrie und einheitlich Darstellungstheorie. Bestimmte Klassifikationsfragen, die nicht allgemein gelöst werden können, können für spezielle Unterklassen von Gruppen abgerufen und gelöst werden. Auf diese Weise sind kompakte verbundene Lie-Gruppen vollständig klassifiziert. Es gibt auch eine fruchtbare Beziehung zwischen unendlich abstrakten Gruppen und topologischen Gruppen: Wenn eine Gruppe ${Anzeigestil Gamma }$ kann realisiert werden als Zeitplan in einer topologischen Gruppe ${Anzeigestil G}$, liefert die Geometrie und Analyse über ${Anzeigestil G}$ wichtige Ergebnisse zu ${Anzeigestil Gamma }$. Eine relativ neue Entwicklung in der Theorie endlicher Gruppen nutzt ihre Beziehungen zu kompakten topologischen Gruppen (profane Gruppen): ein ${displaystyle p}$-adische analytische Gruppe${Anzeigestil G}$ hat beispielsweise eine Familie von Quotientengruppen, die endlich${displaystyle p}$-Gruppen von unterschiedlicher Ordnung sind, und die Eigenschaften von ${Anzeigestil G}$ in die Eigenschaften dieser endlichen Quotienten übersetzen.

Geschichte

sehen Geschichte der Gruppentheorie für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Euler, Lagrange, legendre, Gauss, Abel und Galois lebten im achtzehnten und neunzehnten Jahrhundert nacheinander. Gegenstand ihres Studiums waren das Lösen von Gleichungen, die Zahlentheorie und die Geometrie. Diese Disziplinen sind die Grundlage der Gruppentheorie, und diese Mathematiker waren die Begründer der Gruppentheorie. Galois stellte die Verbindung zwischen Gruppen und Körpern her. Diese Theorie heißt jetzt die Galois-Theorie. Die Felder in dieser Theorie sind die Felder, die die Wurzeln des zu faktorisierenden Polynoms enthalten.

Ruffin verfolgte den gleichen Weg, untersuchte auch den Zusammenhang zwischen den Lösungen von Gleichungen und Gruppen, erweiterte dabei aber die Gruppentheorie.

Arthur Cayley und Augustin Louis Cauchy waren einer der ersten, der die Bedeutung von Gruppen erkannte. Es gibt einige wichtige Aussagen von Cauchy, unter anderem über die Anzahl der Elemente in einer Gruppe.

Joseph Alfred Serret der Theorie eine größere Bedeutung verlieh, befasst sich Kapitel IV seiner Arbeit über Algebra damit. Camille JordansTraité des Substitutionen war ein bekanntes Buch über Gruppentheorie. Das Werk von Eugen Netto (1882), wurde in (1892) von Cole im Englisch übersetzt.

Andere bekannte Namen aus dem neunzehnten Jahrhundert sind Joseph Bertrand, William Burnside, Charles Hermite, Ferdinand Georg Frobenius, Leopold Kronecker und Emile Mathieu. Eine Gruppe von Gruppen ist nach Mathieu benannt.

Von 1884 Gruppenforschung wurde systematisch durchgeführt.

Sophus Lüge begann mit der Erforschung der heute nach ihm benannten Gruppen: Lügengruppen. Das sind geometrisch kontinuierliche Gruppen. Andere waren Wilhelm Tötung, Edward Studie, Issai Schur, Ludwig Maurer und Elie Cartan. Endliche Gruppen wurden studiert von Felix Klein, wieder von Lie, Henri Poincare und Charles Emile Picard.

Mitte des 20. Jahrhunderts wurde alles versucht einzelne Gruppen zu entscheiden. Das war viel Arbeit, aber die Idee ist, dass alle singulären Gruppen bekannt sind. Auch mit Computers es werden keine neuen Einzelgruppen gefunden.

Ebenfalls Emil Artin, Emmy Noether und der norwegische Mathematiker Sylow haben mit Gruppen in Mathematik gearbeitet. Sylow bewies einige wichtige nach ihm benannte Sätze.

Beziehung zwischen Gruppen und Symmetrie

sehen Symmetriegruppe für den Hauptartikel zu diesem Thema.

EIN Symmetrie eines strukturierten oder unstrukturierten Objekt${Anzeigestil X}$ jeglicher Art ist ein Abbild des Objekts an sich, das seine Struktur bewahrt.

• Für ein Sammlung ohne zusätzliche Struktur ist eine Symmetrie a bijektiv Bild dieser Sammlung für sich. Symmetrien führen zu Permutationsgruppen.
• Wenn das Objekt eine Sammlung von . ist Punkte in der Wohnung eben ist mit begleiten metrisch Struktur oder andere metrischer Raum, ist eine Symmetrie a Isometrie, das ist ein bijektion des Objekts an sich, das den Abstand zwischen jedem Punktpaar beibehält. Die entsprechende Gruppe wird zum Isometriegruppe des aufgerufenen Objekts.
• Wenn da ist Bilder von Ecke zu Ecke, also Bilder mit dem Ecken einbehalten, was zu führt Kleinian Gruppen.
• Symmetrien sind nicht auf geometrische Objekte beschränkt, sondern existieren auch für algebraische Objekte wie Polynome. Zu jedem Polynom in einer Variablen gehört die Gruppe der Permutationen der Möhren, die sogenannte Galois-Gruppe.

Die Axiome einer Gruppe formalisieren die wesentlichen Aspekte von Symmetrien. Wenn man zwei Symmetrien eines Objekts nacheinander anwendet, entsteht eine weitere Symmetrie. Identität ist natürlich eine Symmetrie. Jede Symmetrie kann durch die inverse Symmetrie rückgängig gemacht werden. Denn Symmetrien Funktionen in einem Raum sein und Zusammensetzung der Funktionen assoziativ ist, ist auch die Assoziativität gewährleistet.

Das Fruchtsatz sagt, dass jede endliche Gruppe die Symmetriegruppe eines ungerichteten Anzahl.

Dass Symmetrien die Struktur eines Objekts erhalten, lässt sich durch eine Unterteilung in Kategorien. Bilder, die die Struktur der Kategorie bewahren, sind dann die Morphismen. Die Symmetriegruppe ist die Automorphismus-Gruppe des betreffenden Objekts.

Anwendungen der Gruppentheorie

Anwendungen der Gruppentheorie gibt es zuhauf. Fast alle Strukturen in der abstrakte Algebra sind Sonderfälle von Gruppen. Ringe kann zum Beispiel betrachtet werden als abelsche Gruppen bezüglich der Addition mit einer zweiten Operation, die der Multiplikation entspricht. Daher liegen gruppentheoretische Argumente einem Großteil der Theorie über Ringe zugrunde.

Galois-Theorie verwendet Gruppen, um die Symmetrien der Wurzeln von a . zu finden Polynom (oder genauer gesagt die Automorphismen der von diesen Wurzeln erzeugten Algebren). Das Fundamentalsatz der Galois-Theorie stellt eine Verbindung her zwischen algebraische Felderweiterungen und Gruppentheorie. Dieser fundamentale Satz liefert ein effektives Kriterium für die Löslichkeit von Polynomgleichungen hinsichtlich der Löslichkeit der entsprechenden Galois-Gruppe. Die Symmetriegruppe der Ordnung 5, ${displaystyle S_{5}}$, die somit aus allen Permutationen von 5 Elementen besteht, ist nicht lösbar, was bedeutet, dass das allgemeine Gleichung fünften Grades kann nicht in Radikale aufgelöst werden, wie dies bei Gleichungen niedrigeren Grades der Fall ist. Die Theorie, die historisch der Gruppentheorie zugrunde liegt, wird immer noch fruchtbar angewendet, um neue Ergebnisse in Bereichen wie der Klasse Feldtheorie.

Auch der algebraische Topologie verwendet die Gruppentheorie, um bestimmte . zu bestimmen unveränderlich Eigentum von topologische Räume beschreiben. Diese sogenannten "Invarianten" ändern sich nicht, wenn der Raum einer bestimmten Verformung. Das grundlegende Gruppe "zählt", wie viele Pfade sich im Wesentlichen unterscheiden. Es Vermutung von Poincaré, die 2002/2003 von perelman wurde bewährt ist eine Anwendung davon. Gegenseitige Beeinflussung ist keine Einbahnstraße. Zum Beispiel verwendet algebraische Topologie Eilenberg-MacLane Zimmer, Bereiche mit vorgeschriebenen Homotopiegruppen. Ebenso die algebraische K-Theorie im wesentlichen von Klassifizieren von Räumen von Gruppen. Lassen Sie schließlich den Begriff Torsionsuntergruppe einer unendlichen Gruppe das Erbe und der Einfluss der Topologie zur Gruppentheorie.

Ein Toroid. Die abelsche Gruppe des Torus wird aus dem Bild induziert ${displaystyle mathbb {C} oder mathbb {C} /mathbb {Z} au mathbb {Z} }$, wahr ${displaystyle au }$ ist ein Parameter.

Das Additivgruppe${displaystyle mathbb {Z} /26}$ liegt dem Schlüssel Caesars zugrunde.

In dem algebraische Geometrie und der Kryptographie Auch die Gruppentheorie wird vielfältig eingesetzt. Über Abelsche Sorten wurde oben schon besprochen. Das Vorhandensein der Gruppenoperationen führt zu zusätzlichen Informationen, die diese Sorten besonders zugänglich machen. Sie dienen oft auch als Test für neue Verdachtsmomente^[2].Der eindimensionale Fall, nämlich der elliptische Kurven, wurden eingehend untersucht und sind sowohl theoretisch als auch praktisch faszinierend.^[3]

Sehr große Gruppen erster Ordnung, die in der sogenannten "Elliptic Curve Cryptography (ECC)" konstruiert wurden, dienen als Öffentlicher Schlüssel Kryptographie. Solche kryptographischen Verfahren machen sich die Flexibilität der geometrischen Objekte, also ihrer Gruppenstrukturen, zunutze, die zusammen mit ihrer Komplexität die diskreter Logarithmus berechnen. Eines der frühesten Verschlüsselungsprotokolle, das Schlüssel von Caesar kann auch als (sehr einfache) Gruppenoperation interpretiert werden. In eine ganz andere Richtung gehen torische Sortenalgebraische Sorten der auf a torus einleben. Ringkerneinbettungen haben in letzter Zeit zu Fortschritten in der algebraische Geometrie, insbesondere die Auflösung von Singularitäten^[4]

• Das algebraische Zahlentheorie ist ein Sonderfall der Gruppentheorie. Infolgedessen ist die algebraische Zahlentheorie zu den Regeln der Gruppentheorie. Das Euler Produktformel,

${displaystyle { egin{aligned}sum _{ngeq 1}{frac {1}{n^{s}}}&=prod _{p{ ext{ prime}}}{frac {1}{1-p^{ -s}}}/end{ausgerichtet}}}$

zum Beispiel beschreibt die Tatsache das a gerade Zahl auf einzigartige Weise Primzahlen aufgelöst werden kann. Das Scheitern dieser Regel für häufigere Ringe lässt die . entstehen Klassengruppen und regelmäßige Primzahlen, die auftreten in Kummers Behandlung der Fermats letzter Satzmat.

• Das Konzept der Lügengruppe (benannt nach dem Mathematiker Sophus Lüge) ist wichtig beim Studium von Differentialgleichung und Sorten; Lügengruppen beschreiben die Symmetrien kontinuierlicher geometrischer und analytischer Strukturen. Die Analyse dieser und anderer Gruppen ist harmonische Analyse erwähnt. Haargrößen sind Integrale, die invariant sind unter Übersetzung in einer Lügengruppe und werden verwendet für Mustererkennung und andere Bildbearbeitung Techniken.^[5]
• In dem Kombinatorik werden die Konzepte PermutationGruppen und Gruppenbearbeitung weit verbreitet, um a zu zählen Sammlung Objekte vereinfachen; siehe insbesondere die Burnsides Lemma.

Der Quintenzirkel kann mit einer zyklischen Gruppenstruktur ausgestattet werden

• Ein Verständnis der Gruppentheorie ist auch in Physik, Chemie und Materialwissenschaften wichtig. In der Physik beschreiben Gruppen die Symmetrien, zu denen die Naturgesetze scheinen zu gehorchen. Physiker sind sehr an Gruppendarstellungen interessiert. Besonders in Lügengruppen, da diese Darstellungen oft den Weg zu den "möglichen" Theorien der Physik weisen. Beispiele für die Verwendung von Gruppen in der Physik sind: die Standardmodell, das Eichtheorie, das Lorentz-Gruppe und der Poincaré-Gruppe
• In dem Chemie sind Gruppen es gewohnt Kristallstrukturen, regelmäßige Polyeder und der Symmetrien von Molekülen klassifizieren. Die zugewiesenen Punktgruppen kann dann verwendet werden, um physikalische Eigenschaften zu charakterisieren (wie z Polarität und Chiralität) und spektroskopische Eigenschaften (besonders nützlich in der Raman-Spektroskopie und Infrarot-Spektroskopie) und Molekülorbitale zu konstruieren.

Wichtige Aussagen

• das Burnsides Theorem: Die Anzahl der Fahrspuren in einer Gruppe ist gleich der durchschnittlichen Anzahl der Fixpunkte aller Permutationen in einer Gruppe.
• das Cayleys Theorem: Jede Gruppe, die n Stellen hintereinander permutiert, ist isomorph jetzt sofort Permutationsgruppe.
• das Satz von Jordan und Hölder: Zwei Kompositionszeilen einer Gruppe sind äquivalent.
• das Satz von Lagrange: Die Anzahl der Elemente in a Untergruppe H der Gruppe G teilt die Anzahl der Elemente von G.
• das Sätze von Sylow: Wenn r am höchsten ist Leistung von dem Primzahl p ist so, dass ${displaystyle p^{r}}$ teilt die Anzahl der Elemente in der Gruppe G, dann hat G eine Untergruppe mitgroup ${displaystyle p^{r}}$ Elemente.

Weiterlesen

Es gibt keine umfangreiche niederländische Literatur zur Gruppentheorie. Das meiste ist, genau wie beim Thema in Wikipedia, auf Englisch. Eine ausführliche Bibliographie finden Sie im englischen Wikipedia-Artikel.