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Es Burnsides Lemma, manchmal auch genannt Volkszählung von Burnside, es Das Lemma von Cauchy-Frobenius oder der Jobzählen erwähnt, ist ein Ergebnis in der Gruppentheorie was sich beim Zählen oft als nützlich erweist mathematische Objekte muss berücksichtigt werden Symmetrie. Die verschiedenen Namen, die mit dem Lemma verbunden sind, sind William Burnside, George Polya, Augustin Louis Cauchy und Ferdinand Georg Frobenius. Das Ergebnis wurde von Burnside nicht gefunden; er zitiert das Lemma nur in seinem Buch »Über die Theorie der Gruppen endlicher Ordnung«. Burnside schrieb das Lemma Frobenius zu.^[1]

spät ${Anzeigestil G}$ ein endlichGruppe von Transformationen von a Sammlung${Anzeigestil X}$ sein, und ${Anzeigestil X^{g}}$ für jedes ${displaystyle Gin G}$ die Sammlung von Elemente im ${Anzeigestil X}$ die invariant sind unter ${Anzeigestil g,}$ d.h. ${Displaystil X^{g}={xin Xmid gx=x}.}$ Die Bildersammlungen ${Anzeigestil Gx}$ der Elemente ${displaystyle xinX}$ unter der gruppe sind die Arbeitsplätze${Anzeigestil X/G}$ im ${Anzeigestil X}$

Es Burnsides Lemma gibt einen Ausdruck für die Anzahl der Arbeitsplätze^[2]

${displaystyle |X/G|={frac {1}{|G|}}Summe _{gin G}|X^{g}|.}$

Die Anzahl der Umlaufbahnen ist eine natürliche Zahl oder unendlich und gleich der durchschnittlich Anzahl invarianten Elemente, die eine natürliche Zahl oder unendlich ist.

Das Lemma gilt nicht für eine unendliche Gruppe, da der darin angegebene Ausdruck dann undefiniert ist. In diesem Fall ist die folgende Aussage in der Kardinalarithmetik:

${displaystyle |G||X/G|=Summe _{gin G}|X^{g}|=max _{gin G}|X^{g}|.}$

Fußnoten