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Biene berechnen und in der Mathematik ist der durchschnittlich oder der Durchschnittswert ein Begriff, der häufig vorkommt. Das bekannteste ist es arithmetisches Mittel: das Summe von einigen Zahlen geteilt durch die Anzahl der Zahlen.

Statistiken

In dem Statistik der Begriff Durchschnitt wird oft verwendet. Hier müssen wir unterscheiden, ob es sich um das Gesamte handelt Population ist oder ist ein Stichprobe von dort.

Bevölkerungsmittelwert

In der Statistik wird der Populationsmittelwert eines Merkmals oft mit . bezeichnet griechisch Brief ${Anzeigestil mu}$. Für eine endliche Population ist der Populationsmittelwert nichts anderes als das arithmetische Mittel aller Populationswerte.

Biene zufällig einen Wert ziehen ${Anzeigestil X}$ dieser Menge aus der Bevölkerung, die Wahrscheinlichkeitsverteilung von ${Anzeigestil X}$ die Bevölkerungsverteilung, mit dem Ergebnis, dass die erwarteter Wert von ${Anzeigestil X}$ entspricht dem Bevölkerungsdurchschnitt.

Hast ${Anzeigestil X}$ eine diskrete Verteilung mit Wahrscheinlichkeitsfunktion${Anzeigestil p(x)}$, dann ist der Erwartungswert definiert durch:

${displaystyle mu = Operatorname {E} (X) = Summe _{i}x_{i}p(x_{i})}$

wenn ${Anzeigestil X}$ hat eine stetige Verteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichte${Anzeigestil f(x)}$, dann ist der Erwartungswert definiert durch:

${displaystyle mu =Operatorname {E} (X)=int xf(x),mathrm {d} x}$

Es ist jedoch oft unmöglich, den Bevölkerungsmittelwert zu bestimmen. Interessiert man sich zum Beispiel für das durchschnittliche Gewicht der Sumatra-Nashorn, dann kann man das einfach feststellen, denn es sind nur noch ca. 250 übrig. Bei Mücken ist es jedoch ganz anders. Es sind einfach zu viele, um sie alle zu erkunden. In einem solchen Fall greifen Statistiker auf a Stichprobe a berechnen schätzen aus dem Bevölkerungsdurchschnitt.

Stichprobenmittelwert

Der Stichprobenmittelwert ist das arithmetische Mittel der Stichprobe. Besteht das Probenergebnis aus dem ${displaystyle n}$ Elemente ${displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}}$, dann ist der Stichprobenmittelwert die Zahl:

${displaystyle { ar {x}}={frac {1}{n}}Summe _{i=1}^{n}x_{i}}$

Theoretisch interessieren sich die Leute nicht so sehr für die Ergebnisse, sondern für das stochastische Verhalten der Stichprobe. Die Probe besteht aus dem ${displaystyle n}$stochastische Variablen${displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}}$ und der Stichprobenmittelwert ist die Variable:

${displaystyle { ar {X}}={frac {1}{n}}Summe _{i=1}^{n}X_{i}}$

Der Stichprobenmittelwert ${displaystyle {ar {x}}}$ wird oft verwendet, um etwas über die Bevölkerung zu sagen ${Anzeigestil mu}$. Es wird dann als Realisierung des Stichprobenmittelwerts verstanden ${displaystyle {ar {X}}}$. Allerdings gibt es ein paar Haken. Wenn die Probe zufällig der Stichprobenmittelwert ist eine gute Annäherung oder Schätzung des Grundgesamtheitsmittelwerts. Dann die Beispielelemente ${displaystyle X_{i}}$ voneinander unabhängig und gleich aufgeteiltz.B. wenn ${Anzeigestil X}$, damit, vorausgesetzt ${Displaystyle-Operatorname {E} X}$ existiert:

${displaystyle operatorname {E} { ar {X}}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}operatorname {E} X_{i}=operatorname {E} X}$

Wenn zusätzlich ${displaystyle-Operatorname {var} X$, gilt auch:

${displaystyle operatorname {var} { ar {X}}={frac {1}{n^{2}}}sum _{i=1}^{n}operatorname {var} X_{i}={frac {1 }{n}}Betreibername {var} X}$

Wie gut diese Näherung ist, hängt noch von vielen Faktoren ab, wie zum Beispiel der Stichprobengröße und der zugrunde liegenden Verteilung. Bei ausreichender Anzahl von Versuchen bedeutet dies, dass für die Stichprobe a Gesetz der großen Zahlen entschlossen. Es gibt Verteilungen, die keinen Populationsmittelwert haben, weil das obige Integral nicht existiert.

Glücklicherweise können wir oft davon ausgehen, dass die zugrunde liegende Verteilung normal ist. Dann wird zusätzlich zum Erwartungswert nur noch der Speelt Standardabweichung eine Rolle, deren Wert wir auch aus der Stichprobe abschätzen können.

Arten von Durchschnitt

• Getrimmter Durchschnitt
• Gewichteter Durchschnitt
• Harmonische Mittel
• Wurzelmittelwert
• Geometrisches Mittel
• Median (Statistik)
• Modus (Statistik)
• Arithmetisches Mittel
• Gewinner-Durchschnitt
• Gleitender Durchschnitt
• Gewichteter gleitender Durchschnitt
• Kumulativer gleitender Durchschnitt