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Beispiel für rechtsschiefe Daten

Der Begriff verzerren (Englisch: Schiefe) ist in der Statistik die am häufigsten verwendete Größe von Asymmetrie. Die Schiefe kann berechnet werden für a Wahrscheinlichkeitsverteilung wie ein Stichprobe.

Schiefe in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Schiefe ist die dritte standardisiertes Moment der Wahrscheinlichkeitsverteilung und wird bezeichnet mit ${Displaystil-Gamma _{1}}$:

${displaystyle gamma _{1}={frac {mu _{3}}{sigma ^{3}}}}$

Hier ist ${displaystyle mu_{3}}$ der dritte zentraler Moment und ${Displaystil-Sigma}$ das Standardabweichung. Die Schiefe kann daher auch geschrieben werden als

${displaystyle gamma _{1}={frac {{m {E}}(X-mu)^{3}}{({m {E}}(X-mu)^{2})^{3/2 }}}}$

Eine symmetrische Verteilung hat eine Schiefe ${Displaystil-Gamma _{1}=0}$. Beispiele für symmetrische Verteilungen sind die Normalverteilung, die Gleichverteilung (diskret und kontinuierlich) und der Binomialverteilung mit Aussicht auf Erfolg ${displaystyle p=1/2}$.

Eine Verteilung heißt rechts schief, wenn es rechts einen längeren und schwereren Schwanz hat als links. In dieser Verteilung ist die Median kleiner als es durchschnittlich. Diese Bezeichnung ist etwas verwirrend, da sie automatisch impliziert, dass die meisten Massen korrekt sind links des Mittelwerts (siehe Grafik). Für eine solche Verteilung ${Displaystil-Gamma _{1}>0}$. Ein Beispiel für eine rechtsschiefe Verteilung ist die Gammaverteilung. Für die ${Anzeigestil Gamma(k,heta)}$Verteilung hält das ${Displaystil-Gamma _{1}=1/{sqrt {2k}}}$.

Wenn der schwerere Schwanz links ist, heißt die Verteilung links schief. Für eine solche Verteilung ${Displaystil-Gamma _{1}<0}$. Ein Beispiel für eine linksschiefe Verteilung ist die Beta(1,0)-Verteilung mit dem Wahrscheinlichkeitsdichte${Anzeigestil f(x)=1/(1-x)(0$, und Schiefe ${Displaystil-Gamma _{1}=-0{,}94}$.

Schiefe in einer Probe

Aus dem Ergebnis lässt sich die Schiefe einer Verteilung abschätzen ${displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}}$ aus einer Stichprobe von:

${displaystyle g_{1}={frac {{sqrt {n}}sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{ar {x}})^{3}}{left(sum _ {i=1}^{n}(x_{i}-{ar {x}})^{2}ight)^{3/2}}}}$,

in welchem ${displaystyle {ar {x}}}$ ist der Stichprobenmittelwert. Weil dieser Schätzer nicht reiner Schätzer ist, das ist ${displaystyle {m {E}}g_{1}eq gamma _{1}}$, in der Praxis wird normalerweise der folgende, wenn auch unverzerrte Schätzer verwendet

${displaystyle G_{1}={frac {sqrt {n,(n-1)}}{n-2}};g_{1}}$

Andere Asymmetriemaße

Karl Pearson schlug zwei Asymmetriemaße vor, die einfacher zu berechnen sind:

• (durchschnittlich – Modus) / Standardabweichung
• 3 × (Durchschnitt – Median) / Standardabweichung

Diese Maße sind jedoch seit dem Aufkommen des Computers seltener geworden, was es einfacher machte, das übliche Maß für die Schiefe zu berechnen.