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In dem Statistik ist ein Perzentil eines Datensatzes einer der grundsätzlich 99 Punkte, die die bestellt Teilen Sie den Datensatz in 100 gleich große Teile. Es ${displaystyle k}$-das Perzentil ist dann eine Zahl, die die ${displaystyle k}$% kleinere Termine der ${Anzeigestil (100-k)}$% größer trennt. Das 95. Perzentil ist beispielsweise eine Zahl, bei der 95 % der Daten kleiner oder gleich und 5 % größer oder gleich ihm sind. Normalerweise ist ein Perzentil einer der Daten selbst, aber in einigen Fällen ist das Perzentil der Durchschnitt zweier aufeinanderfolgender Daten. Perzentile sind ähnlich definiert für Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Definition

spät ${displaystyle p}$ ein reelle Zahl zwischen 0 und 1 liegen.

Es ${Anzeigestil 100p}$-das Perzentil des Datensatzes bestehend aus den ${displaystyle n}$ Zahlen ${displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}}$, ist die Zahl ${displaystyle x_{p}}$ das entspricht:

• mindestens ${displaystyle pn}$ des ${displaystyle n}$ Zahlen sind nicht größer als ${displaystyle x_{p}}$
• mindestens ${Anzeigestil (1-p)n}$ des ${displaystyle n}$ Zahlen sind nicht kleiner als ${displaystyle x_{p}}$.

Es ${Anzeigestil 100p}$-das Perzentil der Wahrscheinlichkeitsverteilung der stochastische Variable${Anzeigestil X}$ ist die Zahl ${displaystyle x_{p}}$ das entspricht:

${displaystyle P(Xleq x_{p})geq p}$

und

${displaystyle P(Xgeq x_{p})geq 1-p}$

Verwandte Begriffe

Perzentile sind Quantile zu einem Prozentsatz gehören. Perzentile teilen einen Datensatz in 100 ungefähr gleiche Teile. Das 50. Perzentil wird auch als bezeichnet Median erwähnt. Das 25., 50. und 75. Perzentil wird auch zum 1., 2. bzw. 3. Perzentil Quartil erwähnt. Dezile sind die Perzentile, die zu den Prozentsätzen 10, 20, ... , 90 gehören.

Berechnung

Die obige Definition führt nicht in allen Fällen zu einer eindeutigen Bestimmung der Perzentile. Es werden unterschiedliche Berechnungsmethoden verwendet. Im Folgenden werden zehn verschiedene Methoden diskutiert. Ein Beispiel zeigt, wie vielfältig die Ergebnisse der Berechnungen sein können.

Nächstgelegene Rangnummer

Das bestellte Probe${displaystyle x_{(1)}leq x_{(2)}leq ldots leq x_{(n)}}$ besteht aus dem vom kleinsten zum größten geordneten ${displaystyle n}$ Termine. Für die ${Anzeigestil 100p}$-das Perzentil nimmt das Element im Datensatz mit der Rangnummer, das "am nächsten" ist ${displaystyle pn}$ liegt, das heißt mit ${displaystyle k=lceil pnceil }$:

${Anzeigestil x_{p}=x_{(k)}}$

Unterschiedliche Softwarepakete: unterschiedliche Perzentile

Obwohl die oben kalibrierte crf-Definition der ${displaystyle p}$-das Perzentil einen eindeutig bestimmten Wert liefert, Softwarepakete und Rechner scheinen je nach Datensatz unterschiedliche Werte für dasselbe Perzentil zu liefern. Der Perzentilrechner auf der Website (1) bietet bis zu acht verschiedene Methoden zur Berechnung von Perzentilen.

TI-83 und TI-84: Ohne Median

Etwas von der Problematik praktischer Perzentilberechnungen sehen wir in der Berechnung von Quartile durch die Taschenrechner TI-83 und TI-84, die in der Sekundarstufe weit verbreitet sind. Für den Datensatz 1, 2, ... , 9 geben diese Rechner ${Displaystil Q_{1}=2{,}5}$ und ${Displaystil Q_{3}=7{,}5}$, während nach der crf-Definition ${Displaystil x_{0{,}25}=3}$ und ${displaystyle x_{0{,}75}=7}$. Das gleiche Phänomen tritt bei allen Datensätzen mit auf ${Anzeigestil n=4i 1}$.

Dieses Problem kann durch Berechnung der Quartile gelöst werden, wobei die Medianeinschließlich sind sowohl in der linken als auch in der rechten Hälfte des Datensatzes enthalten.

In der Bedienungsanleitung des TI-83 steht, dass ${displaystyle Q_{1}}$ das Median ist von den punkten dazwischen ${displaystyle X_{ ext{min}}}$ und ${displaystyle mathrm {Med}}$, und das ${displaystyle Q_{3}}$ ist der Median der Punkte zwischen ${displaystyle mathrm {Med}}$ und ${displaystyle X_{ ext{max}}}$. ungerade ${displaystyle n}$ der Median ist jedoch weder in der linken noch in der rechten Hälfte enthalten. Es werden jedoch der kleinste und der größte Wert in der Zeile berücksichtigt. Die Beziehung zwischen den kalibrierten Perzentilen und ${displaystyle Q_{1}}$ und ${displaystyle Q_{3}}$ ist schwach. Im Datensatz 1, 2, ... , 11 fallen beispielsweise drei Punkte aus dem Datensatz: 3, 6 und 9, die Mediane einer ungeraden Anzahl von Zahlen sind. Als Ergebnis links von ${displaystyle Q_{1}}$ nur 18,2 % der Zahlen und nicht 25 %. Wir sehen, dass aufgrund bestimmter Wahlen Perzentilpunkte (in diesem Fall Quartile) anders berechnet werden als nach der oben diskutierten kalibrierten crf-Methode.

Referenzpunkte

In Softwarepaketen werden verschiedene Methoden verwendet, um Perzentile von nicht klassifizierten Daten zu berechnen. Dass unterschiedliche Berechnungen gewählt werden, hat mit einer Besonderheit der crf-Definition zu tun. Alle ${displaystyle p}$-die Perzentile, mit ${Anzeigestil k/n$ sind nach dieser Definition ${displaystyle x_{p}=x_{k 1}}$. Für viele Prozente ${displaystyle p}$ die Perzentile fallen daher mit demselben Datenpunkt zusammen. Dies ist eine Folge der diskreten Natur eines endlichen Datensatzes. Wenn der Datensatz eine Stichprobe aus einer kontinuierlichen Stochastik ist und ein Perzentil des Datensatzes eine Schätzung des Perzentils der Grundgesamtheit ist, dann ist eine solche Koinzidenz von Perzentilen unerwünscht. Deshalb werden Perzentile oft durch lineare Interpolation berechnet. Tatsächlich wird dann der diskontinuierliche crf-Graphen durch einen kontinuierlichen ersetzt Polygon. Man kann jedoch unterschiedlich vorgehen, wobei unterschiedliche Methoden auch unterschiedliche Werte für das gleiche Perzentil liefern können.

Um verschiedene Methoden zur Berechnung von Perzentilen zu unterscheiden, verwenden wir einen Bezugspunkt, eine Zahl, wie z ${displaystyle np}$, die abgeleitet ist von ${displaystyle p}$ und ${displaystyle n}$. Wir unterscheiden vom relevanten Bezugspunkt das ganze Teil ${displaystyle k}$ und der Bruch ${displaystyle f}$, so dass ${displaystyle mathrm {Referenzpunkt} =k f}$. Siehe auch die Webseiten (1) und (2).

Methode A

Mit dieser Methode, ${Anzeigestil np=k f}$.

Untermethode A1: ${displaystyle { egin{cases}f=0 o x_{p}={ frac {1}{2}}(x_{k} x_{k 1})/f>0 o x_{p}=x_{k 1 }/end{cases}}}$ (oben kalibrierte crf-Methode)

Untermethode A2: ${displaystyle { egin{cases}f=0 oder x_{p}=x_{k}/f>0 oder x_{p}=x_{k 1}/end{cases}}}$ (Variante der kalibrierten CRF-Methode, ohne Durchschnitt)

Untermethode A3: ${displaystyle x_{p}=(1-f)cdot x_{k} fcdot x_{k 1}}$ (gewichteter Durchschnitt)

Methode B

Mit dieser Methode, ${Anzeigestil (n 1) p = k f}$.

Untermethode B1: ${displaystyle x_{p}=(1-f)cdot x_{k} fcdot x_{k 1}}$ (PERCENTIL.EXC in Microsoft Excel 2013)

Untermethode B2: ${displaystyle { egin{cases}f=0 o x_{p}=x_{k}/f>0 o x_{p}=fcdot x_{k} (1-f)cdot x_{k 1}/end{cases }}}$ (gewichteter Durchschnitt)

Untermethode B3: ${displaystyle { egin{cases}f=0 oder x_{p}=x_{k}/0$ (Excel 2007 und ältere Versionen)

Methode C

Mit dieser Methode, ${displaystyle np { frac {1}{2}}=k f}$.

${displaystyle np { frac {1}{2}}=k f o x_{p}=x_{k}}$ (nächster Datenpunkt, keine lineare Interpolation)

Das Runden dieser Methode erfolgt auf die übliche Weise, aber um statistische Verzerrungen zu vermeiden, rund bis eben hier empfohlen.

Methode D

Mit dieser Methode, ${Anzeigestil (n-1)p=kf}$.

${displaystyle { egin{cases}f=0 oder x_{p}=x_{k 1}/f>0 oder x_{p}=x_{k 1} fcdot (x_{k 2}-x_{k 1}) /end{cases}}}$

Methode E

Mit dieser Methode, ${Anzeigestil (n-1)p 1=k f}$.

${displaystyle x_{p}=(1-f)cdot x_{k} fcdot x_{k 1}}$ (PERCENTILE.INC in Microsoft Excel 2013)

Beispiel

Gegeben sei der folgende Datensatz mit 13 geordneten Zahlen:

Rangnummer	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Termine	1	2	3	5	8	13	21	34	35	45	58	66	77

Mit den neun besprochenen Methoden und dem TI-83 berechnen wir die drei Quartile und das 40. Perzentil:

Methode:	A1	A2	A3	B1	B2	B3	C	d	E	TI-83
${displaystyle x_{0{,}25}}$	5	5	3,5	4	4	4	3	5	5	4
${displaystyle x_{0{,}40}}$	13	13	9	11	10	13	8	12	12	-
${displaystyle x_{0{,}50}}$	21	21	17	21	21	21	21	21	21	21
${displaystyle x_{0{,}75}}$	45	45	42,5	51,5	51,5	51,5	45	45	45	51,5

Wir sehen, dass je nach Berechnungsmethode für den obigen Datensatz das 40. Perzentil zwischen 8 und 13 variieren kann. Bemerkenswerterweise liefert Methode A3 einen Median, der nicht der mittlere Datenpunkt ist.

Microsoft Excel: Inklusive und exklusive Perzentile

Die 2013-Version von Excel kennt sowohl Methode B1 als auch Methode E zur Berechnung von Perzentilpunkten. Der Unterschied zwischen den Rängen von a exklusiv berechnetes Perzentil und a einschließlich berechnetes Perzentil ist: ${displaystyle R_{ ext{EXC}}-R_{ ext{INC}}=2p-1}$. Das inklusive berechnete Perzentil liegt daher näher am Median als das exklusive berechnete Perzentil, jedoch nimmt die Differenz mit der Entfernung vom Median zu. Je größer dieser Abstand ist, desto stärker zieht der Median auf das Perzentil.

Nehmen wir das Perzentil als Beispiel ${displaystyle x_{0{,}25}}$ des Datensatzes im Beispiel. Der Rang des Ersten Quartil nach der exklusiven Methode (B1) ist 3,5 und das entsprechende erste Quartil ist somit 4. Die Rangnummer des ersten Quartils nach der inklusiven Methode (E) ist 4 und das entsprechende erste Quartil ist 5. Die inklusiven Quartile sind halbrangig näher am Median als an den exklusiven Quartilen.

Warnung

Wie aus dem Obigen ersichtlich ist, berechnen Softwarepakete Perzentile von nicht klassifizierten Daten mit verschiedenen Methoden. Man kann also nicht sagen, dass der Perzentilwert, den ein Paket erzeugt, „das“ Perzentil ist. Der Benutzer des Pakets sollte die Methode kennen, mit der die Berechnung durchgeführt wird. Statistiksoftware kann nicht blind verwendet werden.

Perzentile stetiger Zufallsvariablen

wenn ${displaystyle f}$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer stetigen Zufallsvariablen ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil F}$ die entsprechende Verteilungsfunktion, dann erhalten wir für ${Anzeigestil 0$ es ${displaystyle p}$Perzentil ${displaystyle x_{p}}$ berechne über die Umkehrung der Verteilungsfunktion: ${displaystyle F(x_{p})=int limit _{-infty}^{x_{p}}{f(u)mathrm {d} u}=po x_{p}=F^{ ext{inv}} (p)}$. Die Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wird in einen linken Teil mit Fläche ${displaystyle p}$ und ein rechter Teil mit Fläche ${Anzeigestil 1-p}$.

Statistiksoftware und die Grafikrechner enthalten Rechenroutinen zur Berechnung von Werten der Inversen der Verteilungsfunktion verschiedener stetiger Zufallsvariablen und damit der ${displaystyle p}$Perzentil.

Beispiel

Das 40. Perzentil der Standardnormalverteilung ist ${displaystyle x_{0{,}40}=-0{,}2533}$.

Perzentile diskreter Zufallsvariablen

Bei der Berechnung von Perzentilen diskreter Zufallsvariablen gehen wir genauso vor wie bei der Berechnung von Perzentilen nicht gruppierter Daten. wenn ${Anzeigestil F}$ ist die Verteilungsfunktion der diskreten Zufallsvariablen ${Anzeigestil X}$, folgt aus der Definition des Perzentils für nicht gruppierte Daten:

${displaystyle { egin{cases}P(Xleq x_{p})geq po F(x_{p} 0)geq p/P(Xgeq x_{p})geq 1-po P(X$

wenn ${displaystyle x_{k}}$ und ${displaystyle x_{k 1}}$ zwei aufeinanderfolgende Werte sind von ${Anzeigestil X}$, und ${Anzeigestil F(x_{k})$, dann ist ${displaystyle x_{p}-x_{k 1}}$. Wenn andererseits ${Anzeigestil p=F(x_{p})}$, kann eine beliebige Zahl im Intervall sein ${Anzeigestil [x_{k},x_{k 1}]}$ das Perzentil ${displaystyle x_{p}}$ sein. In diesem Fall könnte man das Perzentil gleich der Mitte des Intervalls wählen: ${displaystyle x_{p}={ frac {1}{2}}(x_{k} x_{k 1})}$.

Perzentile gruppierter Daten

Sind die ${displaystyle n}$ Daten verteilt über ${displaystyle m}$ Klassen ${Anzeigestil [x_{k},x_{k 1}),}$, ist ${displaystyle f_{k}}$ die Häufigkeit der ${displaystyle k}$-die Klasse, sein ${Anzeigestil F_{k}=F(x_{k}-0)}$ und ${Anzeigestil F_{k 1}=F(x_{k 1}-0)}$ die kumulativen Häufigkeiten am linken und rechten Rand des ${displaystyle k}$-die Klasse und ist ${displaystyle F_{k}leq np$, dann schaffen wir es ${displaystyle p}$- Berechnen Sie das Perzentil durch Anwendung der linearen Interpolation:${displaystyle x_{p}=x_{k} {frac {1}{f_{k}}}(x_{k 1}-x_{k})(pn-F_{k})}$

Beispiel

Dies ist ein Beispiel, das auf der Website (2) zu finden ist. Sieben Schüler bewerten ihren Lehrer auf einer Skala von 1 bis 5. Wenn die Punktzahlen 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4 betragen, beträgt der Median der nicht gruppierten Daten 3; Wenn die Punktzahlen 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 betragen, ist der Median der nicht gruppierten Daten 4. Man kann sich fragen, ob der Unterschied zwischen diesen beiden Medianen realistisch ist. Auf der anderen Seite, wenn wir die Werte auf zwei Klassen aufteilen, finden wir die Mediane 3,375 und 3,675. Angesichts der zwei Reihen von Scores scheinen dies „fairere“ Mediane zu sein.

Auch hier sehen wir, dass unsere Wahl einer bestimmten Methode die Antwort bestimmt, die wir erhalten.

Externe Links

• wessa.net
• Langford, E, "Quartile in der elementaren Statistik", Zeitschrift für statistische Bildung Band 14, Nummer 3 (2006)