WikiDer > Q-Q-Diagramm

Ein Q-Q-Plot, in dem ein zufällig generierter, unabhängiger Standardnormalverteilungsdatensatz auf der vertikalen Achse mit einer Standardnormalverteilung auf der horizontalen Achse verglichen wird. Die Punkte liegen um y=x, was darauf hindeutet, dass die Daten tatsächlich Standardnormal sind.

EIN Q-Q-Diagramm (Abkürzung aus dem Englischen: Quantile-Quantile-Plot) ist ein Graph, in dem zwei kontinuierlich oder diskretWahrscheinlichkeitsverteilungen werden im . verglichen beschreibende Statistik. Diese Methode wurde erstmals 1968 von M. B. Wilk und R. Gnanadesikan angewendet.^[1] In einem Q-Q-Diagramm ist der Quantile beider Wahrscheinlichkeitsverteilungen gegeneinander aufgetragen; stammen beide Datensätze aus der gleichen Verteilung, liegen die Punkte auf der Geraden ${Anzeigestil y=x}$.

Andere grafische Methoden wie a Histogramm oder ein Box-Plot sind einfacher zu interpretieren als ein Q-Q-Plot, aber der Vergleich zwischen zwei Verteilungen ist in einem Q-Q-Plot deutlicher.

Definition

Gegeben zwei Datensätze ${displaystyle {x_{i}mid 1leq ileq n}}$ und ${displaystyle {y_{j}mittel 1leq jleq m}}$, nicht unbedingt gleich groß, mit begleitendem empirische Verteilungsfunktionen${Anzeigestil F(x)}$ und ${Anzeigestil G(y)}$, und Quantilfunktionen${Displaystil F^{-1}}$ und ${Displaystil G^{-1}}$. In einem Q-Q-Diagramm wird ${Anzeigestil q}$-das Quantil von ${Anzeigestil F}$ dagegen ${Anzeigestil q}$-das Quantil von ${Anzeigestil G}$ gezogen für einige Werte von ${displaystyle qin(0.1)}$. Ein Q-Q-Plot ist also eine parametrische Kurve ${displaystyle au :(0.1) oder mathbb {R} ^{2}}$.

Varianten

In einem Q-Q-Diagramm sind zwei Datensätze miteinander verglichen. Dafür gibt es folgende Möglichkeiten:^[2]

1. Die Daten werden mit einer bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung verglichen. Es wird grafisch getestet, ob die Daten aus dieser Verteilung stammen.
2. Daten aus zwei Sätzen werden verglichen, um zu sehen, ob sie aus derselben Verteilung stammen. Dazu müssen die Daten auf der Leitung sein ${Anzeigestil y=x}$ Lüge. Um welche Verteilung es sich handelt, kann nicht geschlossen werden.
3. Daten aus zwei Sammlungen werden verglichen, um zu sehen, ob sie linear abhängig sein. Dazu sind die Daten auf a lineare Linie, aber nicht unbedingt an ${Anzeigestil y=x}$.

Vor-und Nachteile

Im Vergleich zu anderen grafischen Methoden hat der Q-Q-Plot eine Reihe von Vorteilen.^[3]

• Die zu vergleichenden Datensätze müssen nicht gleich groß sein.
• Mehrere Unterschiede zwischen den Verteilungen können gleichzeitig untersucht werden, einschließlich Übersetzung, streuen, Symmetrie und das Verhalten in der Grenzen.

Es gibt auch Nachteile:

• Beim Vergleich zweier unterschiedlicher Datensätze kann nicht geschlossen werden, welche Verteilung diese letztendlich haben.
• Die Methode ist grafisch, es gibt a messen notwendig, um zum Beispiel Hypothesentests um festzustellen, ob die Hypothese richtig ist.

Methode in der Praxis

Die meisten MathematikerProgrammiersprachen bieten die Möglichkeit, Q-Q-Plots zu zeichnen, wie z R und matlab.^[4][5]

Ein Q-Q-Plot kann für kleine Datensätze auch manuell gezeichnet werden. Um zwei Datensätze zu vergleichen, ob sie aus derselben Verteilung stammen, sollte das folgende Verfahren angewendet werden.

1. Sortieren Sie alle Daten (pro Datensatz) vom kleinsten zum größten.
2. Wählen Sie eine Anzahl zu untersuchender Quantile (zB 5%, 10%, 15%, ..., 95%).
3. Berechnen Sie, welcher Wert der Daten zu diesen Quantilen gehört.
4. Plotten Sie diese Werte in einem Q-Q-Plot.

Q-Q-Diagramm zum Beispiel 1

Beispiel 1

Von einem Unbekannten radioaktiv Material ist nur bekannt Alphastrahlung Sendungen. In einem Experiment wurde die halbes Leben dieses Materials 50-mal bestimmt. Es wird erwartet, dass das Material Cäsium-131 hat eine Halbwertszeit von 9,7 Tagen. Die Wahl wird getroffen, um einen Q-Q-Plot zwischen den Daten und a . zu erstellen Poisson-Verteilung mit ${Anzeigestil Lambda =9{,}7}$.

Es ist deutlich zu erkennen, dass sich die Linie relativ zur Linie verschoben hat ${Anzeigestil y=x}$. Somit ist eine Übersetzung sichtbar, was darauf hindeutet, dass das untersuchte Material wahrscheinlich keine Cäsium-131 ist.

Beispiel 2

Q-Q-Diagramm für Beispiel 2.

Das Gewicht (in kg) von 100 erwachsenen Männern und 95 erwachsenen Frauen wurde bestimmt. Darauf aufbauend werden für beide Datensätze die 5 %, 10 %, 15 % usw. Quantile berechnet. Für beide stehen nun 19 Werte zur Verfügung, diese sind in der Tabelle unten aufgeführt.

Aus dem Q-Q-Diagramm sehen wir, dass die Datenpunkte um die Linie ${Anzeigestil y=x}$ Lüge. Somit ist das Gewicht von Männern und Frauen wahrscheinlich gleichmäßig verteilt.

Verweise

Siehe die Kategorie Q-Q-Diagramm von Wikimedia Commons für Mediendateien zu diesem Thema.