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Zum gleichnamigen Konzept aus der Kategorientheorie siehe Grenze (Kategorie Theorie).

Das Wort Grenze kommt vom lateinischen "limes", was "Grenze" bedeutet. In dem Mathematik der Begriff Grenzwert bzw. Grenzwert lässt sich an folgendem Beispiel gut demonstrieren. Die Zahlen aus dem Warteschlange 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... nähern sich immer mehr dem Grenzwert von 0. Die Zahl 0 ist somit die Grenze dieser Folge. 1, -1/2, 1/4, -1/8, ... hat jedoch auch die Grenze 0, wo der Begriff "Grenze" weniger zutreffend ist.

Begrenzung einer Zahlenreihe

Hiermit ${Anzeigestil Varepsilon }$ gibt es die nummer ${Anzeigestil S}$, so dass die Funktion für Werte von ${Anzeigestil x}$ größer als ${Anzeigestil S}$ im Intervall ${Anzeigestil (L-varepsilon,,Lvarepsilon)}$ Lügen

EIN Warteschlange Zahlen ${displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},ldots }$ hat eine Grenze ${Anzeigestil L}$, notiert als:

${displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=L}$

(das heißt, die Grenze forlimiet ${displaystyle n}$ bis unendlich von ${displaystyle x_{n}}$ ist ${Anzeigestil L}$), wenn die Zahlen der Folge beliebig nahe beieinander liegen ${Anzeigestil L}$ kommen Sie nahe Die genaue Definition lautet:

wie für jeden ${Displaystil-Varepsilon >0}$ es gibt eine nummer ${Displaystil N}$ existiert, so dass für alle ${Anzeigestil n>N}$ zählt das ${displaystyle |x_{n}-L|$.^[1]

Wenn eine Zeile ein Limit hat, heißt sie konvergent, anders abweichend.

Begrenzung einer Reihe in verschiedenen Räumen

Allgemeiner kann man eine Reihe machen ${displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},ldots }$ Berücksichtigung von Elementen in a metrischer Raum, oder allgemeiner, in a topologischer Raum${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$. Die Folge heißt konvergent, wenn es ein Element gibt ${Anzeigestil x}$ existiert in einem topologischen Raum, von dem jede beliebige kleine Umgebung einen ganzen Schwanz der Sequenz umfasst. förmlich heiß ${Anzeigestil x}$ eine Grenze der Reihe ${displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},ldots }$, wenn

${displaystyle forall Uin {mathcal {T}}:xin Uimplies existiert n_{0}in mathbb {N} :forall n>n_{0}:x_{n}in U}$

Die Anwendung der obigen Definition auf die durch einen metrischen Raum induzierte Topologie entspricht der folgenden Definition in Bezug auf die Metrik:

${displaystyle forall varepsilon >0:exists n_{0}in mathbb {N} :forall n>n_{0}:d(x_{n},x)$

In einem metrischen Raum hat eine Zeile höchstens einen Grenzwert, in einem allgemeinen topologischen Raum kann dieselbe Zeile mehrere Grenzwerte haben. In einem metrischen Raum ist die topologische Struktur vollständig durch die konvergenten Folgen festgelegt: de Schließen einer Menge besteht aus allen Zeilengrenzen dieser Menge. Dies ist auch in einem allgemeinen topologischen Raum nicht gewährleistet.

Anwendung der obigen Definition mit dem Standard von a normierter Vektorraum induzierte Metrik entspricht der folgenden Definition im Sinne der Norm:

${displaystyle forall varepsilon >0:exists n_{0}in mathbb {N} :forall n>n_{0}:|x_{n}-x|$.

Die allgemeine Topologie verallgemeinert den Begriff der Zeile zu Filter. Ein Filter ${displaystyle {mathcal {F}}}$ konvergiert zu einem Punkt ${Anzeigestil x}$ ich falle Umgebungen von ${Anzeigestil x}$ bis um ${displaystyle {mathcal {F}}}$ gehören. Dann sagen wir das auch ${Anzeigestil x}$ ein Grenze ist von ${displaystyle {mathcal {F}}}$. Die Konvergenz von Filtern bestimmt eindeutig die topologische Struktur.

Grenze einer Funktion

Auch ein Funktion (zum Beispiel von einem metrischen Raum zu einem metrischen Raum) kann irgendwann eine Grenze haben. Wie bei einer Zeile sagen wir, dass die Funktion ${displaystyle f}$ in einem Sammelpunkt${Anzeigestil a}$ von dem Domain das Limit ${Anzeigestil L}$ hat notiert als:

${displaystyle lim _{x o a}f(x)=L}$

(d. h. die Grenze, wenn ${Anzeigestil x}$ Annäherung ${Anzeigestil a}$ von ${Anzeigestil f(x)}$ gleich ${Anzeigestil L}$), wenn die Funktionswerte beliebig nahe bei close liegen ${Anzeigestil L}$ Kommen Sie für Punkte in der Nähe von dicht ${Anzeigestil a}$ Lüge. Die genaue Definition lautet:

wie für jeden ${Displaystil-Varepsilon >0}$ einer ${Anzeigestil-Delta >0}$ existiert, so dass für alle ${Anzeigestil x}$ mit ${Anzeigestil 0<|x-a|$ zählt das ${Anzeigestil |f(x)-L|$.

Beachten Sie, dass der Punkt ${Anzeigestil a}$ selbst wird explizit aus der Definition herausgelassen. Die Funktion kann im Punkt stehen ${Anzeigestil a}$ selbst einen vom Grenzwert abweichenden Wert haben oder dort gar nicht definiert sind. Beispielsweise,

${Anzeigestil f(x)=x^{2}/x}$

nicht definiert für ${Anzeigestil x=0}$, aber das ist leicht zu sehen

${displaystyle lim _{x o 0}f(x)=0}$.

Linke und rechte Grenze

Bei beispielsweise einer Funktion auf einer Menge reeller Zahlen gibt es neben dem Begriff der Grenze auch einseitige Grenzen, nämlich die rechte (auch Grenze von oben genannt) und die linke Grenze (Grenze von unten). .

Die rechte Grenze wird notiert als ${displaystyle lim_{xdownarrow a}}$ oder wenn ${displaystyle lim _{x o a^{ }}}$,

und ist definiert durch:

${displaystyle lim _{xdownarrow a}f(x)=b}$

wie für jeden ${Displaystil-Varepsilon >0}$ einer ${Anzeigestil-Delta >0}$ existiert, so dass für alle ${Anzeigestil y}$ mit ${displaystyle 0$ zählt das ${Anzeigestil |b-f(y)|$

Die linke Grenze (${displaystyle lim_{xuparrow a}}$ oder ${displaystyle lim _{x o a^{-}}}$) ist analog definiert:

${displaystyle lim _{xuparrow a}f(x)=b}$

wie für jeden ${Displaystil-Varepsilon >0}$ einer ${Anzeigestil-Delta >0}$ existiert, so dass für alle ${Anzeigestil y}$ mit ${displaystyle 0$ zählt das ${Anzeigestil |b-f(y)|$

Beachten Sie, dass die Grenze an einem Punkt im intern des Definitionsbereichs existiert genau dann, wenn der rechte und der linke Grenzwert beide existieren und gleich sind.

Grenzen in der Unendlichkeit

Im Fall einer Funktion auf einer Menge von reellen Zahlen ist beispielsweise der Grenzwert für ${Anzeigestil x}$ bis ins Unendliche definiert werden. Die Funktion ${Anzeigestil f(x)}$ hat für ${displaystyle x o infty }$ das Limit ${Anzeigestil L}$, notiert als:

${displaystyle lim _{x o infty}f(x)=L}$,

wie für jeden ${Displaystil-Varepsilon >0}$ einer ${Displaystil N}$ existiert, so dass für alle ${Anzeigestil y>N}$ zählt das ${Anzeigestil |f(y)-L|$.

Analog kann die Grenze für sein ${Anzeigestil x}$ auf minus unendlich definiert werden. Die Funktion ${Anzeigestil f(x)}$ hat für ${displaystyle x o -infty }$ das Limit ${Anzeigestil L}$, notiert als:

${displaystyle lim _{x o -infty }f(x)=L}$,

wie für jeden ${Displaystil-Varepsilon >0}$ einer ${Displaystil N}$ existiert, so dass für alle ${Anzeigestil y$ zählt das ${Anzeigestil |f(y)-L|$.

Es besteht eine Beziehung mit Grenzen von Reihen: als eine Funktion ${displaystyle f}$ hat eine Grenze für ${displaystyle x o infty }$, hat die Reihe ${Anzeigestil x_{n}=f(n)}$ die gleiche Grenze. Das Gegenteil ist nicht immer der Fall, da die Sequenz nur die Funktionswerte in den ganzen Zahlen 'schaut'; zwischen den ganzen Zahlen kann sich die Funktion natürlich noch stark "fehlverhalten".

Einige Beispiele

• ${displaystyle lim _{x o 3}x^{2}=9}$
• ${displaystyle lim _{x o infty }{frac {1}{x}}=0}$
• ${displaystyle lim _{x o 0}{frac {1}{x^{2}}}=infty }$
• ${displaystyle lim _{xdownarrow 0}{frac {sqrt {x^{2}}}{x}}=1}$
• ${displaystyle lim _{xuparrow 0}{frac {sqrt {x^{2}}}{x}}=-1}$
• Da die beiden vorherigen ungleich sind, existiert ${displaystyle lim _{x o 0}{frac {sqrt {x^{2}}}{x}}}$ nicht.
• ${displaystyle lim _{x o 0}{frac {sin x}{x}}=1}$ (dies kann mit dem berechnet werden Herrschaft von L'Hôpital)

Metrische Räume

Die obige Definition des Grenzwertes einer Funktion lässt sich leicht auf metrische Räume verallgemeinern. Eine Funktion ${displaystyle f}$ einer Teilmenge ${Anzeigestil D}$ von a metrischer Raum${displaystyle (M_{1},d_{1})}$ zu einem metrischen Raum ${Anzeigestil (M_{2},d_{2})}$ hat die grenze ${Anzeigestil L}$ wenn ${Anzeigestil x}$ zu einer Sammelpunkt${Anzeigestil a}$ von ${Anzeigestil D}$ nähert, notiert:

${displaystyle lim _{x o a}f(x)=L}$,

wie für jeden ${Displaystil-Varepsilon >0}$ einer ${Anzeigestil-Delta >0}$ existiert, so dass für alle ${Anzeigestil xin D}$ mit ${displaystyle 0$ zählt das ${displaystyle d_{2}(f(x),L)$.

Stetigkeit einer Funktion

sehen Kontinuierliche Funktion (Analyse) für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Das Kontinuität einer Funktion kann mit Grenzwerten definiert werden. Die Funktion ${displaystyle f}$ ist in einem Punkt stetig ${Anzeigestil a}$ seiner Domain als ${displaystyle lim _{x o a}f(x)}$ existiert und ist gleich ${Anzeigestil f(a)}$. Eine Funktion ${displaystyle f}$ heißt einfach stetig, wenn sie in allen Punkten ihres Gebietes stetig ist.

Unendlich als 'Limit'

Bei Reihen von reellen Zahlen und reellwertigen Funktionen kann es ohne Konvergenz, also ohne endliche Grenze, zu einem unbegrenzten Anstieg der Werte in der Reihe oder der Funktionswerte kommen. Dies bedeutet, dass für jede große Zahl die Folge ab einem bestimmten Rang oder die Funktionswerte ab einem bestimmten Punkt alle größer als diese Zahl sind. Es heißt dann, dass die Grenze ${displaystyle infty }$ ist. Analog ist die Grenze ${displaystyle -infty }$ für unendlich abnehmende Werte.

Zeilendefinitionen:

${displaystyle lim _{n o infty }a_{n}=infty }$, wie für jeden ${Displaystil N}$ einer ${displaystyle n}$ existiert, so dass für alle ${Anzeigestil k>n}$ zählt das ${displaystyle a_{k}>N}$.

${displaystyle lim _{n o infty }a_{n}=-infty }$, wie für jeden ${Displaystil N}$ einer ${displaystyle n}$ existiert, so dass für alle ${Anzeigestil k>n}$ zählt das ${displaystyle a_{k}$.

Eine Formulierung wie „die Reihe hat eine Grenze“ kann daher unklar sein. Seien Sie klarer "die Zeile hat eine endliche Grenze" und "die Zeile hat eine endliche oder nicht endliche Grenze", es sei denn, es handelt sich explizit um Zeilen in einem Raum mit einem Element der Unendlichkeit, wie z ${displaystyle {overline {mathbb {R}}}}$ (siehe unten).

Definitionen für Funktionenː

${displaystyle lim _{x o a}f(x)=infty}$ wie für jeden ${Displaystil N}$ einer ${Anzeigestil-Delta >0}$ existiert, so dass für alle ${Anzeigestil x}$ mit ${Anzeigestil 0<|x-a|$ zählt das ${Anzeigestil f(x)>N}$.

${displaystyle lim _{x o a}f(x)=-infty }$ wie für jeden ${Displaystil N}$ einer ${Anzeigestil-Delta >0}$ existiert, so dass für alle ${Anzeigestil x}$ mit ${Anzeigestil 0<|x-a|$ zählt das ${Anzeigestil f(x)$.

${displaystyle lim _{x o infty}f(x)=infty}$ wie für jeden ${Displaystil N}$ einer ${Anzeigestil M}$ existiert, so dass für alle ${Anzeigestil x>M}$ zählt das ${Anzeigestil f(x)>N}$.

${displaystyle lim _{x o infty }f(x)=-infty }$ wie für jeden ${Displaystil N}$ einer ${Anzeigestil M}$ existiert, so dass für alle ${Anzeigestil x>M}$ zählt das ${Anzeigestil f(x)$.

${displaystyle lim _{x o -infty }f(x)=infty }$ wie für jeden ${Displaystil N}$ einer ${Anzeigestil M}$ existiert, so dass für alle ${Anzeigestil x$ zählt das ${Anzeigestil f(x)>N}$.

${displaystyle lim _{x o -infty }f(x)=-infty }$ wie für jeden ${Displaystil N}$ einer ${Anzeigestil M}$ existiert, so dass für alle ${Anzeigestil x$ zählt das ${Anzeigestil f(x)$.

Topologische Räume mit Unendlichkeit als Element

Für eine Zeile in ${displaystyle {overline {mathbb {R}}}}$ oder ${displaystyle {widehat {mathbb {R}}}}$ (sehen topologische Räume mit Unendlichkeit als Element) oder eine Funktion mit Domain ${displaystyle {overline {mathbb {R}}}}$ oder ${displaystyle {widehat {mathbb {R}}}}$ und eine Reihe ${displaystyle {overline {mathbb {R}}}}$ oder ${displaystyle {widehat {mathbb {R}}}}$ fallen ein unendlicher Grenzwert und ein Grenzwert ins Unendliche unter die normalen Grenzwertkonzepte für den/die relevanten topologischen Raum(e): es sind topologische Räume, die durch eine Metrik induziert werden, das Grenzwertkonzept folgt aus dem für assoziierte metrische Räume, wo eine ganze Reihe von Definitionen ist wie oben beschrieben nicht notwendig.

Also insbesondere der Grenzwert einer Funktion ${displaystyle f}$ einer Teilmenge ${Anzeigestil D}$ von ${displaystyle {overline {mathbb {R}}}}$ zu ${displaystyle {overline {mathbb {R}}}}$, vor dem ${Anzeigestil x}$ zu einer Sammelpunkt${Anzeigestil a}$ von ${Anzeigestil D}$, wie folgt definiertː

${displaystyle lim _{x o a}f(x)=L}$

wie für jeden ${Displaystil-Varepsilon >0}$ einer ${Anzeigestil-Delta >0}$ existiert, so dass für alle ${Anzeigestil xin D}$ mit ${Anzeigestil 0$ zählt das ${Anzeigestil d(f(x),L)$,

mit ${displaystyle d}$ jede zugehörige Metrik. Hiermit kann ${Anzeigestil a}$ und ${Anzeigestil L}$ kann auch unendlich oder minus unendlich sein. Darunter fällt auch die Begrenzung einer Zeile mit ${displaystyle D={1,2,3,ldots}}$ und ${Anzeigestil a}$ unendlich.^[2]

Topologisch formuliert:

${displaystyle lim _{x o a}f(x)=L}$

wenn es für jeden da ist Umfeld${Anzeigestil M}$ von ${Anzeigestil L}$ eine Umgebung ${Anzeigestil A}$ von ${Anzeigestil a}$ existiert, so dass für alle ${displaystyle xin Dcap A}$ zählt das ${Anzeigestil f(x)in M}$.

wenn ${displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=L}$, ist die Reihe konvergent wenn ${Anzeigestil L}$ Element des betrachteten topologischen Raums, und sonst abweichend. Insbesondere wenn ${displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=infty }$, die Folge ist konvergent, wenn Folge in ${displaystyle {overline {mathbb {R}}}}$ (auch wenn alle Elemente der Folge endlich sind) und divergent, wenn Folge in ${displaystyle mathbb {R} }$.

Ebenso lässt sich zu den komplexen Zahlen unendlich eine Zahl addieren, die mit einer geeigneten Metrik die Topologie der Riemann Atmosphäre ergibt. Somit werden die Grenzen einer Funktion, wenn ein komplexes Argument ins Unendliche geht, und eine Grenze einer Zeile oder Funktion mit dem Wert unendlich, gemäß der Standarddefinition zu gewöhnlichen Grenzen.

Grenze einer Reihe von Funktionen

Auch eine Reihe von Funktionen ${displaystyle f_{1},f_{2},f_{3},ldots }$ konvergieren und eine Funktion ${displaystyle f}$ als Grenze haben. Das Funktionsanalyse unterscheidet verschiedene Konvergenzarten. Die meisten Konvergenzarten können als topologische Konvergenzen verstanden werden, wie oben mit "Grenze einer Reihe in einem topologischen Raum".

Punktweise Konvergenz

Die Fahrfunktionen ${displaystyle f_{1},f_{2},f_{3},ldots }$ konvergiert punktweise zu ${displaystyle f}$, wie für jeden ${Anzeigestil x}$ die Reihe ${displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x),ldots }$ konvergiert mit dem Grenzwert ${Anzeigestil f(x)}$.

${displaystyle f(x)=(lim_{n o infty}f_{n})(x)=lim_{no infty}(f_{n}(x))}$

Gleichmäßige Konvergenz

Die Fahrfunktionen ${displaystyle f_{1},f_{2},f_{3},ldots }$ konvergiert gleichmäßig gegen ${displaystyle f}$, wenn bei hinreichend großen Indizes im Ende der Funktionszeile die größte absolute Differenz zwischen der Grenzfunktion und einem Mitglied der Zeile beliebig klein wird:

${displaystyle lim _{n o infty }sup _{x}|f_{n}(x)-f(x)|=0}$

Dies ist die Konvergenz im metrischen Raum mit der höchste norm.

Quadratische mittlere Konvergenz

Die Fahrfunktionen ${displaystyle f_{1},f_{2},f_{3},ldots }$ konvergiert in quadratischer Mittelwert zu ${displaystyle f}$, wenn die quadratische Abweichung zwischen den Funktionen und ihrem Grenzwert beliebig klein wird:

${displaystyle lim _{n o infty }int |f_{n}(x)-f(x)|^{2},mathrm {d} x=0}$

Dies ist die Konvergenz im pseudometrischen Raum der quadratischen Mittelwertnorm.

Konvergenz in l^p-Räume

Die Grenze in l^p-Räume vor dem ${displaystyle 0$ ist für ${displaystyle pgeq 1}$ basierend auf einem Standard (der ${displaystyle p}$-die Potenzwurzel des Integrals von ${displaystyle p}$-die-Macht) und für ${Anzeigestil 0$ nur auf einer Metrik (das Integral der ${displaystyle p}$-die Macht).

Grenze einer Kurvenreihe

Weil ein parametrisierte Kurve eine Funktion ist die Grenze einer Reihe von parametrisierten Kurven ist ein Sonderfall der Grenze einer Reihe von Funktionen. Dies ist unter anderem bei raumfüllende Kurven.

Die Länge einer Grenzkurve muss nicht die Grenze der Kurvenlängen sein.

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