WikiDer > Algebraisches Zahlenfeld

In dem Galois-Theorie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein algebraisches Zahlenfeld in den Niederlanden oder algebraisches Zahlenfeld in Belgien auch kürzer Zahlenfeld oder Zahlenfeld, ein endlich, also auch algebraisch Erweiterung von dem Körper/Feld des Rationale Zahlen${displaystyle mathbb {Q} }$. Es ist eine Folge der Fundamentalsatz der Algebra, dass jeder algebraische Zahlenkörper eine Teilmenge der Menge der komplexe Zahlen ist.

Prinzip

wenn an ${displaystyle mathbb {Q} }$ das Nullen von einem oder mehreren Polynome addiert, entsteht ein algebraischer Zahlenkörper als Erweiterung von ${displaystyle mathbb {Q} }$. Von bis ${displaystyle mathbb {Q} }$ das algebraische Zahlen${displaystyle alpha _{1},ldots ,alpha _{n}}$ Addieren der Nullstellen eines oder mehrerer Polynome ergibt ein algebraisches Zahlenfeld, das geschrieben wird als ${displaystyle mathbb {Q} (alpha _{1},ldots ,alpha _{n})}$. Es macht keinen Unterschied, dass es sich um die Erweiterung von . handelt ${displaystyle mathbb {Q} }$ geht wohin algebraische Zahlen im Allgemeinen oder wo nur algebraische ganze Zahlen hinzugefügt werden, denn jede algebraische Zahl Element ist von ${displaystyle mathbb {Q} }$ mit einer hinzugefügten algebraischen Ganzzahl.

Die Menge der rationalen Zahlen ${displaystyle mathbb {Q} }$ ist ein Teilmenge eines beliebigen algebraischen Zahlenkörpers ${Anzeigestil F}$. wenn ${Anzeigestil F}$ wird verstanden als Vektorraum Über ${displaystyle mathbb {Q} }$, hast ${Anzeigestil F}$ eine endliche Abmessungen, das ist der Grad des algebraischen Zahlenkörpers ${Anzeigestil F}$ wird genannt.

Beispiel

Die Zahlen ${displaystyle alpha _{1}={sqrt[{3}]{2}}}$, eine Null von ${displaystyle f_{1}(x)=x^{3}-2,}$ und ${displaystyle alpha _{2}=-{ frac {1}{2}} { frac {1}{2}}i{sqrt {3}},}$ eine Null von ${displaystyle f_{2}(x)=x^{2} x 1,}$ sind algebraische Zahlen. Der aus aan . resultierende algebraische Zahlenkörper ${displaystyle mathbb {Q} }$ die algebraischen Zahlen ${displaystyle alpha_{1}}$ und ${displaystyle alpha_{2}}$ hinzufügen, heiß ${displaystyle mathbb {Q} (alpha _{1},alpha _{2}).}$ Der Grad der ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt[{3}]{2}},-{ frac {1}{2}} { frac {1}{2}}i{sqrt {3}})}$ ist 6.

Literatur

• (und) Serge Lang, Algebraische Zahlentheorie, Algebraische Zahlentheorie, 2. Aufl., Springer, 2000