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Im Mathematik ist ein algebraische Zahl ein Real oder komplexe Zahl das a Null Punkte gehört zu a Polynom mit ganz Koeffizienten. Das Polynom hat also die Form

${displaystyle f(x)=a_{n}x^{n} a_{n-1}x^{n-1} ldots a_{2}x^{2} a_{1}x a_{0}}$

in welchem ${Anzeigestil n>0}$, alle ${displaystyle a_{i}}$ sind ganze Zahlen und ${displaystyle a_{n}}$ ist nicht gleich 0.

Das Polynom ${Anzeigestil f(x)}$ ist auch mit erlaubt rational Koeffizienten gewählt werden, ist eine Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten auch die Nullstelle eines Polynoms mit ganzen Zahlen.

Wenn eine Zahl geometrisch dargestellt werden kann mit a Konstruktion mit Zirkel und Lineal, dann ist es definitiv algebraisch. Das Gegenteil ist nicht der Fall: ${displaystyle {sqrt[{3}]{2}}}$ und der Sinus von 10° sind algebraische Zahlen, aber auch klassische Beispiele für nicht konstruierbare Zahlen. Diese beiden Beispiele entsprechen der Verdopplung des Volumens eines Würfels und der Division des Winkels durch 30°.

Beziehung zu rationalen Zahlen

Alle Rationale Zahlen sind algebraisch, weil eine rationale Zahl ${displaystyle p/q}$, mit ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$ ganze Zahlen, ist eine Lösung der Gleichung

${Anzeigestil qx-p=0.}$

Auch alle Wurzeln rationaler Zahlen sind algebraisch, denn a ${displaystyle n}$-die Potenzwurzel einer rationalen Zahl ${displaystyle p/q}$ ist eine Lösung der Gleichung

${Anzeigestil qx^{n}-p=0.}$

Viele algebraische Zahlen können aus den ganzen Zahlen konstruiert werden, indem man die Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Quadratwurzel. Dies gilt jedoch nicht für alle algebraischen Zahlen. Ein Gegenbeispiel bilden die Lösungen der folgenden Gleichung fünften Grades.

${Anzeigestil x^{5} x 1=0}$.

Die Lösungen dieser Gleichung sind eindeutig algebraisch, können aber nicht mit dem Wurzeln der Zahlen geschrieben sein. Das entspricht der Satz von Abel-Ruffini. Das Gegenteil ist der Fall: Alle Zahlen, die mit Quadratwurzeln platziert werden können, sind algebraische Zahlen.

Beispiel 1

Die sechs komplexen Nullstellen von ${Anzeigestil x^{7}-1}$ kann nicht mit Wurzeln geschrieben werden.

Beispiel 2

Die beiden Nullen von ${Anzeigestil x^{2} x 1}$ kann mit Wurzelformen geschrieben werden. Die Nullen sind ${displaystyle { frac {1}{2}}(-1 i{sqrt {3}})}$ und ${displaystyle { frac {1}{2}}(-1-i{sqrt {3}})}$. Sie unterscheiden sich in der imaginärer Teil von Schild.

Zahlenfelder

Zahlen, die mit Quadratwurzeln geschrieben werden können

ein besonderes Sammlung innerhalb der algebraischen Zahlen sind die Zahlen, die mit Wurzeln geschrieben werden können. Darüber hinaus kann Quadratwurzeln und Wurzeln einer höheren Potenz verwendet und die Quadratwurzel von a negative Zahl bleibe. Beispielsweise

${displaystyle { frac {1}{2}}(1 i{sqrt {3}})}$

ist eine algebraische Zahl, die mit Wurzelformen und den Grundoperationen geschrieben werden kann.

Algebraische Zahlenfelder

Name ${displaystyle mathbb {A} }$ die Menge aller algebraischen Zahlen. ${displaystyle mathbb {A} }$ ist algebraisch geschlossen, also die Nullstellen eines Polynoms mit Koeffizienten in ${displaystyle mathbb {A} }$, auch in ${displaystyle mathbb {A} }$ Lüge. Die Umkehrungen der algebraischen Zahlen, Linearkombinationen und Produkte algebraischer Zahlen sind selbst algebraisch.

${displaystyle mathbb {A} }$ ist ein Teilkörper des komplexe Zahlen${displaystyle mathbb {C} }$, ist aber kleiner als ${displaystyle mathbb {C} }$. Als Folge der Fundamentalsatz der Algebra sind alle algebraischen Zahlen im komplexe Ebene.

${displaystyle mathbb {Q} Teilmenge mathbb {A} Teilmenge mathbb {C} }$

${displaystyle mathbb {A} }$ heißt algebraischer Abschluss von ${displaystyle mathbb {Q} }$. Hinweis ${displaystyle {overline {mathbb {Q}}}=mathbb {A} }$. ${displaystyle mathbb {A} }$ ist genau wie ${displaystyle mathbb {Q} }$ zählbar. ${displaystyle mathbb {C} }$ ist der algebraische Abschluss der reellen Zahlen ${displaystyle mathbb {R} }$.

wenn an ${displaystyle mathbb {Q} }$ eine oder mehrere algebraische Zahlen hinzugefügt werden, ergibt die Erweiterung a algebraisches Zahlenfeld, notiert als ${displaystyle mathbb {Q} (alpha _{1},ldots ,alpha _{n})}$.

Transzendente Zahlen

Reelle oder komplexe Zahlen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendente Zahlen. Die Zahl der algebraischen Zahlen ist abzählbar unendlich, weil die Anzahl der Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten und die Anzahl der Nullen pro Polynom abzählbar ist. Es gibt unzählbar viele transzendente Zahlen.

Algebraische ganze Zahlen

Das algebraische ganze Zahlen sind die Zahlen, die die Nullstelle eines monischen (oder monischen) Polynoms sind. Ein monisches Polynom ist ein Polynom, dessen Koeffizient der höchsten Potenz 1:

${displaystyle f(x)=x^{n} a_{n-1}x^{n-1} a_{n-2}x^{n-2} ldots a_{0}}$.