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EIN perfekte Zahl oder perfekte Zahl ist positiv natürliche Zahl das ist gleich der Summe seiner reellen Teiler (nicht die Zahl selbst; 1 ist ein echter Teiler).
• Ist ${Anzeigestil s(n)}$ die Summe aller wahren Teiler von ${displaystyle n}$, dann ist ${displaystyle n}$ eine perfekte Zahl wie ${Anzeigestil s(n)=n}$.
• Ist ${Displaystil-Sigma (n)}$ die Summe von alle positive Teiler von ${displaystyle n}$ (also einschließlich 1 und ${displaystyle n}$ selbst), dann ${displaystyle n}$ perfekt wenn ${Anzeigestil Sigma (n) = 2n}$.

Die alten Griechen kannten nur die ersten vier perfekten Zahlen (siehe Tabelle).

Nummer	Summe der reellen Teiler	Auflösung
6	123	${Displaystil 2^{1}(2^{2}-1)}$
28	124714	${Displaystil 2^{2}(2^{3}-1)}$
496	1248163162124 248	${Displaystil 2^{4}(2^{5}-1)}$
8128	1248163264127 254 508 1016 2032 4064	${Displaystil 2^{6}(2^{7}-1)}$

Die fünfte perfekte Zahl ist ${Displaystil 2^{12}(2^{13}-1)=33.550.336}$.

Hinweis: Die Zwischenkandidatenzahlen ${Displaystil 2^{8}(2^{9}-1)=130.816}$ und ${Displaystil 2^{10}(2^{11}-1)=2.096,128}$ sind nicht perfekt. Dies kann auch demonstriert werden über Mersenne-Primzahlen, schon seit ${Displaystil 2^{9}-1=511=7cdot 73}$ und ${Displaystil 2^{11}-1=2047=23cdot 89}$ sind keine Primzahlen.

Geschichte der perfekten Zahlen

Vermutlich machte die alte Ägypter alles Studium der perfekten Zahlen. Es ist bekannt, dass Pythagoras perfekte Zahlen. Perfekte Zahlen hatten damals eine religiöse Bedeutung. In den frühen Jahren des Christentum gab es eine Theorie, dass die Zahlen 6 und 28 von Gott wurden als perfekte Zahlen gewählt: 6 ist die Anzahl der Tage, in denen Gott die Erde erschaffen hat und 28 ist die Anzahl der Tage, in denen sich der Mond um die Erde dreht. Der Heilige Augustinus (354-430) schrieb: Sechs ist keine perfekte Zahl, weil Gott die Erde in sechs Tagen erschaffen hat, aber Gott hat die Erde in sechs Tagen erschaffen, weil sechs eine perfekte Zahl ist.^[1]

Nikomachos von Gerasa rund um das Jahr erwähnt 100 in seinem Buch Einführung Arithmeticae die folgenden Sätze, ohne sie übrigens zu beweisen (es ist jetzt bekannt, dass die Sätze 1 und 3 falsch sind):^[2]

1. Es nein-hat die perfekte Zahl nein Zahlen.
2. Alle perfekten Zahlen sind gerade.
3. Perfekte Zahlen enden abwechselnd mit einer 6 oder einer 8.
4. Perfekte Zahlen können als 2 . geschrieben werden^nein−1(2^nein−1) als 2^nein−1 ist eine Primzahl (siehe auch oben).
5. Es gibt unendlich viele perfekte Zahlen.

Diese Vorschläge werden in Europa seit Jahrhunderten akzeptiert. Während des frühen Mittelalters war den Europäern die mathematische Forschung in den arabischen Ländern, einschließlich der von Ibn al-Haytham und von Ismail ibn Ibrahim ibn Phallus. Letzterer Mathematiker hat zu Beginn des 13. Jahrhunderts eine Liste von zehn perfekten Zahlen erstellt, von denen die ersten sieben zwar richtig sind, diese Liste aber erst Jahrhunderte später in Europa bekannt wurde.^[3] Der vierte Satz von Nikomachus wurde in Europa verallgemeinert zu: Perfekte Zahlen können geschrieben werden als 2^nein−1(2^nein−1) für alle ungeraden Zahlen n.

Im 1536 bewiesen Hudalrichus Regius dass diese Verallgemeinerung für nein = 11 falsch: 2¹⁰(2¹¹−1) ist keine perfekte Zahl. Er bewies auch, dass 2¹²(2¹³−1) = 33.550.336 ist die fünfte perfekte Zahl. Dies bewies sofort die Unrichtigkeit des ersten Satzes von Nikomachus: Die fünfte perfekte Zahl hat eine Länge von acht Stellen. Im 1603 gefunden Pietro Cataldic die sechste perfekte Zahl 2¹⁶(2¹⁷−1) = 8.589.869.056. Dies bewies, dass der dritte Satz von Nikomachus falsch war, da sowohl die fünfte als auch die sechste perfekte Zahl auf eine 6 enden. Cataldi fand auch die siebte perfekte Zahl 2¹⁸(2¹⁹−1) = 137.438.691.328. Cataldi behauptete, vier weitere perfekte Zahlen gefunden zu haben, aber es wurde später gezeigt, dass nur eine dieser vier Zahlen richtig war.

Mathematische Eigenschaften

• Es gibt eine Beziehung zwischen perfekten Zahlen und Mersenne-Primzahlen. Mersenne-Primzahlen sind Primzahlen des Formulars ${Displaystil 2^{n}-1}$, bei welchem ${displaystyle n}$ ist eine Primzahl.

Es gilt: wenn ${Displaystil 2^{n}-1}$ eine Primzahl ist, dann ist ${Anzeigestil {2}^{n-1}({2}^{n}-1)}$ eine perfekte Zahl.

Das Umgekehrte gilt auch: beliebig (mindestens Ein bisschen) perfekte Zahl kann geschrieben werden als ${Displaystil 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ bei welchem ${displaystyle n}$ ist eine Primzahl und ${displaystyle {2}^{n}-1}$ eine Mersenne-Primzahl.

Beispiel. Vor dem ${Anzeigestil n=3}$ ist ${Displaystil 2^{n}-1=2^{3}-1=7}$ eine Primzahl. So ist ${Displaystil 2^{n-1}(2^{n}-1)=2^{2}(2^{3}-1)=4cdot 7=28}$ eine perfekte Zahl.

• Alle gleich perfekten Zahlen sind auch sechseckige Zahl, Dreieckszahl und harmonische Teilerzahl.

• Die Summe der kehrt um der Teiler einer perfekten Zahl (mit Ausnahme von 1, einschließlich des Kehrwerts der Zahl selbst) ist immer gleich 1. Für die Zahl 6 gilt beispielsweise:

${displaystyle 1={ frac {1}{2}} { frac {1}{3}} { frac {1}{6}}={ frac {2 imes 3 2 imes 6 3 imes 6}{2 imes 3 imes 6}}={ frac {(1 2 3) imes 6}{2 imes 3 imes 6}}}$

Mehrere perfekte Zahlen

EIN mehrfache perfekte Zahl ist eine positive ganze Zahl, die ein echter Teiler der Summe aller ihrer Teiler ist (einschließlich der Zahl selbst unter diesen Teilern). Der Quotient aus der Summe der Teiler und der Zahl ist Pluralität.^[4]

"Gewöhnliche" vollkommene Zahlen haben die Pluralität 2. Zum Beispiel: für die Zahl 6, ${Anzeigestil (1 2 3 6)/6=2}$. Einige Beispiele für Zahlen mit höherer Pluralität sind:

• ${displaystyle 120={2^{3}}cdot 3cdot 5}$ hat die Mehrzahl 3; die Summe der Teiler beträgt 360.
• ${displaystyle 30.240={{2}^{5}}cdot {3^{3}}cdot 5cdot 7}$ hat eine Mehrzahl von 4; die Summe der Teiler ist ${Anzeigestil 120.960}$.
• ${displaystyle 14.182.439.040={{2}^{7}}cdot {3^{4}}cdot 5cdot 7cdot {11^{2}}cdot 17cdot 19}$ hat Pluralität 5.^[4]

Im Jahr 2014 wurden multiple perfekte Zahlen bis zu Vielfachen 11 gefunden. Es wird angenommen, dass es für jedes Vielfache größer als 2 nur eine endliche Anzahl von multiplen perfekten Zahlen gibt.^[5]

Nummer setzen ${displaystyle g}$ hat die Zerlegung in Primfaktoren:

${displaystyle g=prod olimits _{i=1}^{r}{p_{i}^{n_{i}}}}$

Darin ist ${displaystyle r}$ die Anzahl der Primfaktoren und ${displaystyle n_{i}}$ die Anzahl der Faktoren des Primfaktors ${displaystyle p_{i}}$.

wenn ${displaystyle g}$ eine mehrfache perfekte Zahl mit Pluralität ${displaystyle n}$ es muss gelten:

${displaystyle ncdot g=prod olimits _{i=1}^{r}{(Sum olimits _{j=0}^{n_{i}}{p_{i}^{j}})}}$

Beispiel. Vor dem ${Displaystil g=120=2^{3}cdot 3cdot 5}$ ist die rechte Seite gleich ${Anzeigestil (1 2 4 8)(1 3)(1 5)=15,cdot,4,cdot,6=360(=3,cdot,g)}$.

Daraus lässt sich ableiten, dass:

${displaystyle n$

Mehrere perfekte Zahlen mit Pluralität ${Anzeigestil n=3}$ muss mindestens 3 verschiedene Primfaktoren haben. Kein Produkt ${displaystyle productlimits _{i=1}^{2}{frac {p_{i}}{p_{i}-1}}}$ immerhin mit zwei verschiedenen Primzahlen größer als 3. Die größte ist ${displaystyle { frac {2}{1}}cdot { frac {3}{2}}=3}$, die nicht größer als 3 ist.
Analog ergibt sich, dass eine mehrfache perfekte Zahl mit Pluralität ${Anzeigestil n=4}$ muss mindestens 4 verschiedene Primfaktoren haben, denn ${displaystyle { frac {2}{1}}cdot { frac {3}{2}}cdot { frac {5}{4}}cdot { frac {7}{6}}}$ größer als 4 ist, während kein Produkt mit drei verschiedenen Primfaktoren größer als 4 ist.
In ähnlicher Weise stellt man fest, dass mehrere vollkommene Zahlen mit der Mehrzahl 5 mindestens 6 verschiedene Primfaktoren haben müssen; diejenigen mit einer Mehrzahl von 6 mindestens 9; diejenigen mit einer Mehrzahl von 7 sind mindestens 14 und so weiter.^[4]

Ungerade perfekte Zahlen

Es ist ein offenes Problem ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt. Sicher ist, dass eine ungerade perfekte Zahl größer als 10 . ist¹⁵⁰⁰ muss sein. Es muss auch mindestens 101 sein, sich nicht unbedingt voneinander unterscheiden Primfaktoren und einer der Primfaktoren muss größer als 10 . sein⁶².^[6]

Siehe auch

• Fast perfekte Nummer
• Defekte Nummer
• Reichlich Zahl
• Umgekehrt oder reziprok einer Zahl

Externe Links

• (und) Warteschlange: A005820, 3-perfekte Zahlen (3-mal perfekte Zahlen). On: Online-Enzyklopädie der Integer-Sequenzen
• (und) Warteschlange: A027687, 4-perfekte Zahlen (4-mal perfekte Zahlen). On: Online-Enzyklopädie der Integer-Sequenzen
• (und) Multiperfekte Zahl. Auf: MathWorld--Eine Web-Ressource von Wolfram

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