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Es Grahams Nummer, benannt nach dem MathematikerRonald Graham, ist eine unvorstellbar große natürliche Zahl. Es wurde weithin als die größte Zahl anerkannt, die jemals in einer ernsthaften Studie aufgezeichnet wurde mathematisch Beweismittel verwendet wurden und als solche in die Guinness-Buch der Rekorde. Inzwischen gibt es einige andere Zahlen, die von praktischem Nutzen sind und größer sind als Grahams Zahl, aber Grahams Zahl war die erste, die anderen bekannten großen Zahlen weit überlegen war.^[1] und hat seinen mythischen Status behalten.

Grahams Zahl ist so groß, dass sogar gigantische Zahlen wie googol oder googolplex davon völlig in den Schatten gestellt. Grahams Zahl ist zu groß um wissenschaftliche Schreibweise auch mit mehreren aufeinanderfolgenden Exponenten ausgedrückt werden. Die Zahl sollte als Element von a . dargestellt werden Warteschlange Zahlen definiert mit Knuths Aufwärtspfeil-Notation. Verwenden von elementare Zahlentheorie es ist jedoch möglich zu berechnen, wie das Ende der Zahl aussieht. Die letzten zehn Ziffern von Grahams Nummer sind ...2464195387.

Grahams Problem

Die Grahamsche Zahl ist eine obere Grenze für die Lösung eines Problems aus dem Teilgebiet der Mathematik, das als bekannt ist Ramsey-Theorie. Die Problemstellung lautet wie folgt:

Stellen Sie sich vor nein-dimensional Hyperwürfel vorne und verbinden Sie jedes Paar Knoten zusammen damit ein komplettes Anzahl auf 2^nein Knoten erstellt werden. Dann malen Sie jede Seite in diesem Diagramm in einer von zwei Farben. Was ist der kleinste Wert von nein für die jedes der möglichen Gemälde mindestens ein vollständiges enthält planarer Teilgraph von vier Knoten mit allen Seiten der gleichen Farbe?

Eine Lösung für dieses Problem ist noch nicht bekannt. Es kann bewiesen werden, dass die Grahamsche Zahl eine theoretische Obergrenze dieses Problems ist. 1971 haben Graham und Rothschild das bewiesen nein ≥ 6 muss sein. Jahrelang glaubten einige Experten, dass nein = 6, was einen starken Kontrast zu Grahams Zahl, einer nachgewiesenen Obergrenze, darstellt. Im Jahr 2001 bewiesen Geoff Exoo aber das nein ≥ 11, und im Jahr 2008 Jerome Barkley das nein ≥ 13 muss sein.^[2]

Grahams Zahlendefinition

Wie bereits erwähnt, kann Grahams Zahl nur in der geschrieben werden Aufwärtspfeil-Notation. Um die Grahamsche Zahl zu bezeichnen, definieren wir die folgende Folge:

${displaystyle { start{matrix}G_{0}=4end{matrix}}}$

${displaystyle G_{1}=3underbrace {uparrow uparrow uparrow uparrow } _{G_{0}=4}3}$

${displaystyle G_{2}=3underbrace {uparrow uparrow uparrow cdots uparrow} _{G_{1}}3}$

${displaystyle G_{n}=3underbrace {uparrow uparrow uparrow uparrow uparrow uparrow cdots uparrow} _{G_{(n-1)}}3}$

In dieser Reihe ist Grahams Zahl gleich ${Displaystil G_{64}}$.

Erläuterung

Grahams Zahl ist so unvorstellbar groß, dass sogar G₁ schon nicht im wissenschaftliche Schreibweise oder mehrere exponentielle Notation aufgeschrieben werden kann. Siehe die folgende Ausarbeitung, um dies zu veranschaulichen:

${displaystyle 3uparrow 3=3^{3}=27}$

${displaystyle 3uparrow uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987}$

${displaystyle 3uparrow uparrow uparrow 3=3uparrow uparrow 7625597484987=Unterband {3^{3^{3^{3^{cdots ^{3}}}}}} _{7625597484987}}$ oder 3³ und dann immer wieder, was 7.625.597.484.985 mal ist, wobei die berechnete Zahl als Exponent für die Basis 3 verwendet wird.

Dies ist eine Zahl, die weit über das menschliche Verständnis hinausgeht, um ein Vielfaches größer als beispielsweise 10^googolplex. Und es ist nicht einmal G₁.

Nennen Sie die vorangehende Zahl f. Dann gilt das
${displaystyle G_{1}=3uparrow uparrow uparrow 3uparrow uparrow uparrow 3=3uparrow uparrow uparrow F=Unterband {3uparrow uparrow 3uparrow uparrow Punkte uparrow uparrow 3} _{Fmathrm {,copy{ddot {e}}n,van,} 3} }$

Dann nach 63 rekursiv Schritte, in denen immer ${displaystyle G_{i}}$ wird als Anzahl der Aufwärtspfeile in . verwendet ${displaystyle G_{i 1}}$, erhielt die Graham-Nummer.

Siehe auch

• Große Zahlen

Externe Links

• (und) Grahams Nummer auf MathWorld
• (und) Von 1.000.000 bis Grahams Zahl auf Warte, aber warum