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Das Symbol π (Pi)

Irrationale Zahlen: (3)√2√3√5φe π
${Anzeigestil pi}$ in verschiedenen Zahlensystemen ausgedrückt
Binär	11,0010 0100 0011 1111…
Dezimal	3,14159 26535 89793 23846…
Hexadezimal	3.243F 6A88 85A3 08D3…
wenn Kettenbruch	${displaystyle 3 {cfrac {1}{7 {cfrac {1}{15 {cfrac {1}{1 {cfrac {1}{292 ddots }}}}}}}}}$

Die Nummer π, manchmal geschrieben als Pi, ist ein mathematische Konstante, mit in dezimaler Schreibweise der Zahlenwert 3,141 592 653... Die Nummer ist die Verhältnis zwischen den Umfang und der Durchmesser von a Kreis.

Symbol

Das Symbol π ist der Kleinbuchstabe Pi von dem griechisches Alphabet (Entsprechend der Lateinp).Dieses Symbol wurde von englischen Mathematikern verwendet William Ouightred 1647, und Isaac Barrow bereits 1664 als Abkürzung des griechischen Wortes verwendet α (periphereia = Umriss einer runden Form).^[1] Sie gaben das Verhältnis zwischen Durchmesser und Umfang an als δ/π bei welchem δ als Abkürzung des griechischen Wortes μετρος (Durchmesser = Durchmesser) verwendet wurde.

Von einigen, π als Abkürzung des griechischen Wortes μετρον (Perimetron = Umfang) gesehen. Es gibt jedoch einen feinen Unterschied zwischen den beiden Wörtern, der unter anderem aus der folgenden Passage aus der Schrift ersichtlich wird: Commentationes Analyticae Ad Theoriam Serierum Infinitarum Pertinentes von Leonhard Euler:^[2]

...Kreisdurchmesser Axt, cuius Peripherie gleich ist est Umfang quadratisch bf ...

was bedeutet:

... Durchmesser des Kreises Axt, von denen die Umfang (von einer runden Form) entspricht dem Umfang vom Quadrat bf ...

Im Buch Eine neue Einführung in die Mathematik von William Jones ab 1706 wurde der griechische Buchstabe π zuerst verwendet, um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser zu bezeichnen, die mathematische Konstante pi. Richtig gebräuchlich wurde die Notation jedoch erst, als Leonhard Euler sie 1737 übernahm.

Heutzutage, π in praktisch jedem mathematischen und naturwissenschaftlichen Lehrbuch verwendet.

Der kleine Buchstabe π sollte nicht mit dem Großbuchstaben verwechselt werden ∏. Letzteres wird in der Mathematik in einem ganz anderen Sinne verwendet, nämlich für a Produkt einer Zahlenreihe.

Definition

Der Umfang eines Rades entspricht dem 3,141 592 6...-fachen seines Durchmessers. Dieses Verhältnis wird π (Pi).

Die Nummer π ist die Zahl, die wir erhalten, wenn wir die verwenden Umfang von a Kreis dividiere durch die Durchmesser dieses Kreises. Der Durchmesser eines Kreises lässt sich leicht mit einem Lineal messen, im Gegensatz zum Umfang, der nicht gerade ist.

Die Animation zeigt, wie πexperimentell bestimmt kann werden. Der Durchmesser des Kreises ist 1. Beim Abrollen des Kreises stellt sich heraus, dass der Umfang des Kreises mehr als das Dreifache des Durchmessers beträgt. Für jeden Kreis ist das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser gleich, und wir nennen diese Größe π.

Eigenschaften

• Die mathematische Konstante π ist ein irrationale Zahl. Dies impliziert, dass π nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen, nicht als endlicher Bruch. Das bedeutet, dass in der dezimalen Darstellung von π es gibt keine sich wiederholende Periode, wie bei einer rationalen Zahl, wenn der Bruch 22/7 ist: 3.142 857 142 857... Der Wert von π kann in Dezimal Notation kann angenähert werden, aber die Folge von Ziffern nach dem Komma enthält kein sich wiederholendes Muster.
• Ein Teil der irrationalen Zahlen ist transzendent und auch π stellt sich als das heraus. Dies bedeutet, dass diese Zahl nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung mit endlich vielen Termen geschrieben werden kann. Daraus folgt auch, dass es keine Konstruktion mit Zirkel und Lineal existiert, um eine Gerade mit der Länge zu konstruieren π hast. Ganz anders als eine Zahl wie 2, die irrational, aber nicht transzendent ist und daher konstruiert werden kann: Die Hypotenuse eines leicht konstruierbaren gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit gerader Seite 1 hat die Länge √2. Mit π sowas ist unmöglich.
• Außerdem ist ein Teil der transzendenten Zahlen a normale Zahl. Das bedeutet, dass bei der dezimalen Entwicklung der Zahl die Ziffern von 0 bis 9 genauso oft vorkommen, aber auch jede beliebige Zahlenkombination genauso oft vorkommt wie jede andere beliebige Zahlenkombination gleicher Länge. Es gibt unendlich viele Nachkommastellen von π berechnet und jeder darauf angewandte statistische Test zeigt, dass dies tatsächlich der Fall zu sein scheint. Es kann auch keinen Grund geben, warum dies nicht der Fall sein sollte. Es ist jedoch nicht rigoros bewiesen, dass π ist in der Tat eine normale Zahl.

Beweisen

Der Beweis, dass π ist irrational, ist gegeben durch Johann Heinrich Lambert im Jahr 1761. Der viel schwierigere Beweis dafür, dass π transzendent oder nicht-algebraisch folgte mehr als ein Jahrhundert später im Jahr 1882. Ferdinand von Lindemann gab diesen Beweis. In etwas technischerer Hinsicht als oben belegen diese Beweise, dass es keine Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten existiert mit π als Null. Dies macht es unmöglich, in endlich vielen Schritten vorzugehen Konstruktion mit Zirkel und Lineal Konstruiere ein Quadrat, dessen Fläche gleich der eines Kreises ist. Nur mit Zirkel und Lineal algebraische Zahlen (aber nicht alle) sind konstruiert.

Formeln, in denen π verhindert

Allgemeines

• Ansatz für n-Fakultät mit dem Stirlingsche Formel

${displaystyle n!sim {sqrt {2pi n}}left({frac {n}{e}}ight)^{n}}$

• Eulersche Formel

${displaystyle e^{ipi } 1=0}$

• Integral

${displaystyle {sqrt {pi}}=int _{-infty}^{infty}e^{-x^{2}}dx}$

• mit inverse trigonometrische Funktionen:

${displaystyle {frac {pi }{4}}=arctan(1)}$

und

${displaystyle {frac {pi }{4}}=arcsin({ frac {1}{2}}{sqrt {2}})}$

Geometrie

In dem Geometrie haben Formeln wo π tritt normalerweise mit a . auf Kreis, Ellipse oder Kugel zu machen. Die folgenden Formeln können verwendet werden, um mit dem zu berechnen Strahl, oder die Halbachsen für eine Ellipse, um die anderen Größen eines geometrischen Objekts zu berechnen.

Kreis mit Radius r

Ellipse mit Halbachsen ein und b

Kreis mit Radius r

Ecke 360° = 2 πrad

Umfang${Displaystil O=2pi r}$

Oberfläche${Displaystil A=pi r^{2}}$

Ellipse mit Halbachsen ein und b

Oberfläche ${displaystyle A=pi ab}$

Kugel mit Radius r

Inhalt${displaystyle V={frac {4}{3}}pi r^{3}}$

Oberfläche ${Displaystil A=4pi r^{2}}$

Zylinder mit Radius r und Höhe ha

Inhalt ${Displaystil V=pi r^{2}h}$

Oberfläche ${Displaystil A=2pi r^{2} 2pi rh}$

Kegel mit Masseflächenradius r und Höhe ha

Inhalt ${displaystyle V={frac {1}{3}}pi r^{2}h}$

Oberfläche ${displaystyle A=pi r(r {sqrt {h^{2} r^{2}}})}$

Zahlentheorie

Das Gelegenheit dass zwei zufällig ausgewählte ganze Zahlen relativ prim sein ist 6/π², dies folgt aus dem Zahlentheorie.

Die durchschnittliche Anzahl von Möglichkeiten, eine positive ganze Zahl als Summe zweier perfekter Quadrate, wo es auf die Reihenfolge ankommt, ist π/4.

Schätzungen und Näherungen

Mit Brüchen

• Schätzungen wurden schon früh in der Antike für die Berechnung der Umfänge und Flächen von Kreisen gemacht. Aus den Einträgen auf einer Tontafel von Babylonien aus dem 19. Jahrhundert v. Chr. lässt sich ein Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises ableiten, das einem Wert für . entspricht π von 25/8 = 3,125. Aus einer mathematischen Aufgabe im ältesten bekannten Mathematikbuch der Welt, dem Rhind Papyrus des ägyptischAhmose, aus der gefundenen Fläche und dem Durchmesser eines Kreises ein Wert für π abgeleitet von (16/9)² = 3,1604... Dieses Rechenbuch ist ungefähr so ​​alt wie die erwähnte Tontafel. In beiden Schätzungen entsprechen die ersten beiden Ziffern denen von π, die babylonische Schätzung ist ungefähr so ​​niedrig wie die ägyptische Schätzung zu hoch. Aus Beschreibungen im Bibel, 2. Chronik 4:2^[3] und 1. Könige 7:23,^[4] das sagen Solomon um 950 v. für den Bau der Tempel ließ ein großes Bronzebecken anfertigen: ein Becken aus gegossener Bronze, fünf Ellen hoch, zehn Ellen im Durchmesser und dreißig Ellen im Umfang es ist möglich, ein Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises abzuleiten, das einem Wert für entspricht π von 30/10 = 3, erheblich gröber als die Schätzungen ihrer Nachbarn vor tausend Jahren.^[5]
• Eine übliche Näherung ist der Bruch 22/7 = 3.142 857 142 857... Drei Ziffern sind gut, aber Sie müssen sich auch drei Ziffern merken. Zu Zeiten der Papierrechnung war dieser einfache Bruch jedoch sehr praktisch – und oft ausreichend genau. Dieser einfache Bruch kann auch als Schätzwert für Kopfrechnen verwendet werden. Diese Fraktion wurde bereits von Archimedes verwendet, siehe unten.
• Ein viel genauerer Bruch ist 355/113 = 3,141 592 92... Dieser Bruch wird als bezeichnet Anzahl von Metius, weil Metius diese Schätzung gefunden hat, aber der gleiche Bruch wurde elf Jahrhunderte zuvor vom chinesischen Mathematiker verwendet used Zu Chongzhi fand es.
• ${displaystyle scriptstyle pi^{4} ca. 2143/22}$ ist eine geniale Gedächtnisstütze von Srinivasa Aaiyangar Ramanujan, beschrieben als:
  Nehmen Sie die Nummer "1234".
  Drehen Sie zwei Ziffern zweimal, um die Zahl "2143" zu erhalten.
  Teilen Sie diese Zahl durch zweiundzwanzig (2143 / 22 = 97.409 09 .)09).
  Nehmen Sie vom Ergebnis das Doppelte Quadratwurzel.
  Das Ergebnis ist die Zahl: 3.141 592 652 58...
  Dieser Ansatz kann umgeschrieben werden in ${displaystyle scriptstyle pi ca. {sqrt {sqrt {97 9/22}}}}$; die Formel enthält dann nur noch 5 Stellen für eine Näherung mit 9 richtigen Stellen.
• Bis zum π-folklore gehört 3 4/28 – 1/(790 5/6) = 3,141 592 6539 ..., unter Verwendung der zehn Zahlen 0 bis 9.^[6]

Mit Grenzen

π ist der halbe Umfang des Einheitskreis und damit größer als der halbe Umfang von a regulär ${displaystyle n}$-Winkel von denen die umschriebener Kreis der Einheitskreis ist:

${displaystyle nsin left({frac {pi }{n}}ight)$.

π ist weniger als die Hälfte des Umfangs eines regulären ${displaystyle n}$Winkel, von dem die eingeschriebener Kreis der Einheitskreis ist:

${displaystyle pi$.

je größer ${displaystyle n}$, desto genauer die Aufnahme

${displaystyle nsin left({frac {pi }{n}}ight)$

In frühen Anwendungen davon wurden diese Begriffe natürlich nicht für die Unter- und Obergrenze verwendet, sondern oft im Wesentlichen die obigen Beschreibungen.

In der Grenze ist sowohl die Differenz zwischen der unteren Grenze als auch ${Anzeigestil pi}$ wenn die Differenz zwischen der oberen Schranke und ${Anzeigestil pi}$ proportional zu ${displaystyle n^{-2}}$, und wenn ${displaystyle n}$ verdoppelt, wird die Breite des Containments bald etwa viermal kleiner. Außerdem ist die Untergrenze bald immer etwa doppelt so genau wie die Obergrenze.

π ist auch der Oberfläche des Einheitskreises und damit größer als die Fläche eines Regular ${displaystyle n}$Winkel, dessen umschriebener Kreis der Einheitskreis ist. Diese Oberfläche ist für eine Weile ${displaystyle n}$ gleich der oben genannten unteren Schranke (Umfang) für die halbe Größe ${displaystyle n}$.

π ist kleiner als die Fläche eines regulären ${displaystyle n}$Winkel, dessen eingeschriebener Kreis der Einheitskreis ist. Dieser Bereich ist gleich dem Umfang.

für eine Weile ${displaystyle n}$ ist daher die Aufnahme nach Bereichen:

${displaystyle {frac {n}{2}}sin left({frac {2pi }{n}}ight)$

Hier ist die Genauigkeit der unteren Grenze für nicht zu klein ${displaystyle n}$ etwa halb so groß wie die obere Grenze und nicht doppelt so groß. Gleichzeitig ${displaystyle n}$ daher ist die Breite des Einschlusses basierend auf den Flächen ungefähr doppelt so groß wie die basierend auf dem Umfang.

Anders

• Kochański (1685) und Mascheroni (1797) näherten sich π mit geometrische Konstruktionen.

Dezimalentwicklung

Anstelle von Brüchen und Mnemonik könnten auch Dezimalzahlen in Berechnungen verwendet werden, sobald diese Darstellung von Zahlen etabliert war (wobei Simon Steven spielte eine große Rolle). Für einfache Dezimalarithmetik auf Papier ist 3,14 (drei Komma vierzehn) normalerweise gut genug, aber viel besser ist 3,1416 (letzte Stelle aufgerundet). Wenn Sie mehr Präzision benötigen, haben Taschenrechner normalerweise π als Knopf, dahinter π wird mit 8 bis 30 Dezimalstellen gespeichert. Auch in Tabellenkalkulationen und Programmiersprachen ist π oft standardmäßig integriert, mit einer mathematischen Programmiersprache wie Ahorn oder Mathematik sogar mit beliebig vielen Nachkommastellen gerechnet werden.

Wie oben erwähnt π eine irrationale Zahl und kann daher nicht genau dargestellt werden.
Die Dezimalentwicklung nach 1000 Dezimalstellen wird unten abgeschnitten:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510  58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679  82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128  48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196  44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091  45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273  72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436  78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094  33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548  07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912  98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798  60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132  00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872  14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235  42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960  51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859  50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881  71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303  59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778  18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 ...

Die ersten Millionen Nachkommastellen von π und 1/π werden von der zur Verfügung gestellt Projekt Gutenberg.

Geschichte

Einige Schätzungen, die auf alten Schriften beruhen, wurden oben bereits erwähnt. Ganz anders als eine Schätzung sind Berechnungsmethoden, die sich annähern π als Ergebnis geben.

Polygone

Kreis mit eingeschriebenen und umschriebenen Polygonen

• Der griechische Mathematiker Archimedes (Άρχιμήδης, 287–212 v. Chr.) war der erste, der das Problem mathematisch anging, daher wurde pi manchmal genannt Archimedes konstante Konstante erwähnt. Er argumentierte so: der Umfang einer eingeschriebenen regulär nein-Winkel ist immer kleiner als der Umfang des Kreises, während der Umfang eines umschriebenen neinWinkel ist immer größer. je größer nein genommen, desto genauer sind sowohl eine untere als auch eine obere Schranke für den Kreisumfang, π also bekannt. Archimedes begann mit Sechsecken, berechnete aber schließlich den Umfang der eingeschriebenen und umschriebenen 96-Winkel. So dachte Archimedes π musste zwischen 223/71 und 22/7 sitzen. Mit dem sehr ungeschickten griechischen Zahlensystem für Berechnungen ist dies ein sehr genaues Ergebnis. Der Durchschnitt der beiden kann als vernünftige Schätzung angesehen werden. Dezimal geschrieben ist, dass 3,141851...
• In den folgenden Jahrhunderten π auch in Indien und China berechnet. Um 265 benutzte auch der chinesische Mathematiker Liu Huic Polygone herum π berechnen. Er nahm einen Winkel von 3072 und kam in dezimaler Schreibweise auf 3,141 589 4...

Liu Huis Berechnung beläuft sich auf

${displaystyle { egin{ausgerichtet}pi ungefähr A_{3072}&{}=768{sqrt {2-{sqrt {2 {sqrt {2 {sqrt {2 {sqrt {2 {sqrt {2 {sqrt {2 {sqrt { 2 {Quadrat {2 1}}}}}}}}}}}}}}}}}}/&{}=3{,}1415894...Ende{ausgerichtet}}}$

• Ludolph van Ceulen die ersten 35 Nachkommastellen bei Polygonen um 1600 berechnet, obwohl er nur 32 veröffentlichte (Van den Kreis, Delft, 1596). Seine Frau ließ sie auf seinen Grabstein meißeln.^[7] Pi wurde daher manchmal als Ludolphsche Zahl oder als Ludolfsche Zahl bezeichnet.

Formeln

Die Methode von Archimedes und seinen Anhängern ist a iterativ Prozess: Archimedes musste zuerst die Ergebnisse für das Sechseck berechnen, die verwendet wurden, um Ergebnisse für das Sechseck zu berechnen, die zur Berechnung des 24-seitigen usw. benötigt wurden.

Viete war 1593 der erste, der eine wirkliche Formel aufstellte, die beliebig erweitert werden konnte, um zu einem genaueren Ergebnis zu gelangen:

${displaystyle {frac {2}{pi }}={frac {sqrt {2}}{2}}cdot {frac {sqrt {2 {sqrt {2}}}}{2}}cdot {frac {sqrt {2 {Quadrat {2 {Quadrat {2}}}}}}{2}}cdots }$

Sowohl die Methode von Archimedes als auch die Formel von Viète enthalten Wurzeln. Das Bewurzeln mit Stift und Papier ist ziemlich zeitaufwendig, daher suchten die Leute nach Formeln, die keine Wurzeln enthielten. Sie haben es in schneller Folge geschafft Wallis (1656) und Leibniz, aber ihre Formeln konvergierten so langsam zu π dass keine Zeit gespart wurde. das Unendliche Produkt von Wallis ist:

${displaystyle {frac {pi}{2}}={frac {2}{1}}cdot {frac {2}{3}}cdot {frac {4}{3}}cdot {frac {4}{5} }cdot {frac {6}{5}}cdot {frac {6}{7}}cdot {frac {8}{7}}cdot {frac {8}{9}}cdots }$

1656 gegründet56 William Broncker eine Formel für π als a Kettenbruch:

${displaystyle {frac {pi }{4}}={cfrac {1}{1 {cfrac {1^{2}}{2 {cfrac {3^{2}}{2 {cfrac {5^{2}} {2 {cfrac {7^{2}}{2 {cfrac {9^{2}}{2 Punkte }}}}}}}}}}}}}$

Serie

Leibniz war der Erste, der eine Serie für π veröffentlicht und bald wurden alle möglichen anderen Serien gefunden:

• Leibniz (1674): ${displaystyle {frac {pi }{4}}=arctan(1)={ frac {1}{1}}-{ frac {1}{3}} { frac {1}{5}}-{ frac {1 }{7}} cdots = Summe _{n=0}^{infty},{frac {(-1)^{n}}{2n 1}}}$
• (Serie 2:) ${displaystyle {frac {pi ^{2}}{12}}={frac {1}{1^{2}}}-{frac {1}{2^{2}}} {frac {1}{3 ^{2}}}-{frac {1}{4^{2}}} cdots =sum _{n=0}^{infty},{frac {(-1)^{n}}{(n 1 )^{2}}}}$
• Euler (1741): ${displaystyle {frac {pi ^{2}}{6}}={frac {1}{1^{2}}} {frac {1}{2^{2}}} {frac {1}{3^ {2}}} {frac {1}{4^{2}}} cdots =zeta (2)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}}$
• (Serie 4:) ${displaystyle {frac {pi ^{2}}{8}}=1 {frac {1}{3^{2}}} {frac {1}{5^{2}}} {frac {1}{7 ^{2}}} {frac {1}{9^{2}}} cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{(2n 1)^{2}}}}$
• (~Newton) ${displaystyle {frac {pi }{6}}=Arcsin {frac {1}{2}}}$
• Maschine (1706): ${displaystyle {frac {pi }{4}}=4arctan {frac {1}{5}}-arctan {frac {1}{239}}}$

Wie hier angemerkt, sehen die letzten beiden Formeln nicht wie eine Reihe aus, sondern a arcsinus oder Arkustangens kann immer in Serie gegossen werden (siehe dort). Die letzte Serie, die von Machin, basiert auf der Serienentwicklung ${displaystyle arctan {frac {1}{x}}={frac {1}{x}}-{frac {1}{3x^{3}}} {frac {1}{5x^{5}}}- cdot }$,^[8] erwies sich in der Ära vor den Taschenrechnern als sehr gut geeignet, um immer mehr Dezimalstellen von zu berechnen π berechnen. Maschine selbst ging auf 100 Nachkommastellen, die Slowenisch Mathematiker Jurij Vega berechnete 1789 die ersten 140 Nachkommastellen für π, von denen 126 richtig waren. Das war der Weltrekord für 50 Jahre.

Konvergenzrate

Wenn man die obigen sechs Reihen zu zehn und zu tausend Termen umrechnet, wird klar, welche Reihe am schnellsten zu π geht (konvergiert):

Die Geschwindigkeit von Konvergenz der ersten vier Serien ist daher eher gering. Ab der 5. Reihe reichen 13 Terme für eine Genauigkeit von 9 Nachkommastellen, ab der 6. Reihe 6 Terme. Bei diesen letzten beiden Reihen ist die Grenze des Quotienten zweier aufeinanderfolgender Terme im Absolutwert kleiner als 1, was eine schnelle Konvergenz garantiert.

Vor diesem Hintergrund wurden Reihen entwickelt, die noch schneller konvergieren, wie zum Beispiel:

${displaystyle {frac {1}{pi}}={frac {163cdot 8cdot 27cdot 7cdot 11cdot 19cdot 127}{640320^{3/2}}}cdot sum _{n=0}^{infty }left({frac { 13591409}{163cdot 2cdot 9cdot 7cdot 11cdot 19cdot 127}}Nacht)}$${displaystyle {frac {(6n)!}{(3n)!,{n!}^{3}}}{frac {(-1)^{n}}{640320^{3n}}}}$

Für jeden zusätzlichen Term in der Summation wird die Näherung um 14 Stellen genauer.

Moderne Methoden

Um 1973 entdeckten Eugène Salamin und Richard Brent unabhängig voneinander, dass ältere Arbeiten von Gauss, es Gauß-Legendre-Algorithmus, könnte auch verwendet werden, um π zu nähern. Bei allen bisherigen Methoden erzeugte jeder Schritt die gleiche Anzahl neuer Dezimalstellen, aber bei Brent und Salamin verdoppelte sich die Anzahl der Dezimalstellen mit jedem Schritt. Nach nur 25 Schritten sind bereits 45 Millionen richtige Dezimalstellen bekannt.

Als Fortsetzung dieser Arbeit wurden etwas kompliziertere Verfahren gefunden, bei denen pro Schritt vier- bzw. neunmal so viele Nachkommastellen richtig sind.

Die n-te Ziffer

1996 entdeckte Simon Plouffe in Zusammenarbeit mit David H. Bailey und Peter Borwein ein neues Formel vor dem π wenn unendliche Serie, auch BIP-Reihe genannt:

${displaystyle pi =sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{16^{k}}}left({frac {4}{8k 1}}-{frac {2}{8k 4} }-{frac {1}{8k 5}}-{frac {1}{8k 6}}ight)}$

Vor dem neunzehnten Jahrhundert wäre dies eine ziemlich schnelle Methode gewesen, aber das Merkwürdige ist, dass diese Formel es ermöglicht, nein-das binär oder hexadezimal Klasse von π ohne alle vorherigen Zahlen erst berechnen zu müssen.^[9]

Algorithmen

Siehe die Seite Algorithmen zur Bestimmung von pi Für mehr Informationen.

Historischer Überblick über die Ansätze

Heute rechnen π verwendet, um die Geschwindigkeit von Computern zu untersuchen. In 2009 π berechnet mit 2 699 999 990 000 Dezimalstellen von Fabrice Bellard mit einem Desktop-Computer. 2010 brach der Japaner Shigeru Kondo diesen Rekord mit einem Programm des Amerikaners Alexander J. Yee auf knapp über 10 Billionen Dezimalstellen (10 000 000 000 050).^[10]

Offene Fragen

Die dringendste offene Frage lautet: istπnormal? 'Normal' bedeutet hier, dass jede Zifferngruppe in der Erweiterung von π kommt so oft vor wie bei jeder Wahl. Wenn ja, dann würde π sollte in jeder Basis (mit jeder Basis) normal sein, nicht nur in Basis 10.

wenn π in der Tat normal ist, dann würde dies bedeuten, dass in den Dezimalstellen von π jede Zifferngruppe kommt überall vor und das beinhaltet jeden Text wie "Hamlet" von Shakespeare, nach der Umwandlung in eine numerische Reihenfolge, irgendwo in den Dezimalstellen von π tritt auf, wie im Satz von den endlos tippenden Affen.

Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000, dass die obige Formel von Bailey, Borwein und Plouffe (und andere ähnliche Formeln) bedeutet, dass die Normalität von π in Basis 2 und einige andere Konstanten können als mögliche Annahme für reduced reduziert werden Chaostheorie. Siehe Baileys Website^[9] für Details.

Wissenswertes

mit einem Vers π lerne dich zu erinnern

Mnemo-Techniken um die Zahlen zu bekommen π zum Erinnern werden humorvoll zusammen bezeichnet als Piphilologie. Das Wort ist ein offensichtliches Wortspiel Pi selbst und es sprachlich Forschungsgebiet Philologie. Es handelt sich um Texte, oft Gedichte, bei denen die Anzahl der Buchstaben in jedem Wort der fortlaufenden Zahl von entspricht π zeigt an.

Niederländisch

Ein niederländisches Beispiel (de ij zählt für einen Buchstaben):

WHOπzum ersten Mal berechnet

er stirbt nie!

Oder:

Wen du kennst, wichtige und richtige Zahl,

findet eine reichere Wahrheit,

Anchorage

Ein anderes Beispiel:

Wem stimmst du zuπ in der Antike erfunden

nie angefangen in der Tat endete bald

wenn er es gemerkt hätte

was nervt die zahlen

Und fünf weitere:

• Was, müssen Sie die Zahl berechnen?
  Das Wissen darüber würde ein besseres Studium bedeuten?
  Berechnen Sie, Gelehrte mit den Ris-Zahlen beliebige Radien und Winkel.
  Aber kann ein Schüler pi 'gekürzt' anfordern!?^[11]
• Darf das Kind das Pferd pflegen und füttern?
• Sag, es sollte dich sicherlich glücklich machen, diese Nummer geben zu können
• Eva, o Liebe, o süße Herzensdiebin, deine blauen Augen sind grausam getäuscht worden
• Woran Sie sich, wenn Sie eine dumme Gedächtnisstütze kennen, immer mit Leichtigkeit erinnern.^[12]

Englisch

Wie gerne würde ich mich heute an Pi erinnern^[13]

Darf ich eine große Dose Kaffee haben, Mama und Papa?

EIN Englisch Beispiel in Reimform:

Sir, ich ertrage/kenne einen hervorragenden Reim

in mystischer Kraft und magischer Schreibweise.

Himmlische Geister erhellen

all meine eigenen strebungen können nichts damit anfangen

Wie ich einen Drink will, natürlich alkoholisch,

nach den schweren Vorlesungen zur Quantenmechanik!^[14][15]

Französisch

In dem Französisch man kommt auf 127 Nachkommastellen. Die Wörter mit zehn Buchstaben zählen als 0:

Que j'aime a faire apprendre un nombre utile aux sages.

Glorieux Archimède, artiste ingenieux!

Toi de qui Syracuse aime encore la gloire.

Soit ton nom conservé par de Savants Grimoires.

Jadis, Geheimnis, un problème existait.

Tout l'admirable process (l'oeuvre étonnante!)

Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs:

Ô Quadratur! Vieux tourment du philosophe! Sibyllinischer Runder!

Trop longtemps vous avez défié Pythagore und ses Nachahmer!

Kommentar integrer l'espace plan kreisförmig?

Thales tu Tomberas! Platon tu desesperes!

Gerät Archimede:

Archimède inscrira dedans un hexagone:

Appreciera son aire function du rayon;

Pas trop ne s'y tiendra!

Dédoublera Chaque-Element anterior,

Toujours de l'orbe calculée approchera

Laquelle limite donne l'arc,

La longueur de cet inquiétant cercle,

Ennemi trop rebellisch!

Professeur, enseignez son problem avec zele...

Italienisch

Ave, o Roma oder Madre gagliarda di latine virtù che tanto luminoso splendore prodiga spargesti con la tua saggezza

(Übersetzung: Sei gegrüßt, o Rom, o tapfere Mutter der lateinischen Tugenden, die mit deiner Weisheit so strahlenden Glanz großmütig verbreitet)

Spanisch

Sol y Luna y Cielo verkünden al Divino Autor del Cosmo

Poesie

EIN Limerick von Harvey L. Carter^[16] (jedoch keine Mnemonik für die Zahlen von Pi):

Das ist ein Lieblingsprojekt von mir

Ein neuer Wert von pi, der zugewiesen werden soll.

Ich würde es bei 3 . reparieren

Denn es ist einfacher, siehst du

Als 3 Punkt 14159.

Musik

Unter dem Titel griechischer Tango schrieb drs. p ein dramatisches Lied, das einem Pi-Liebhaber gewidmet ist, das unter anderem auf drs. P. Auf CD kompilieren. In diesem Lied singt er die ersten acht Nachkommastellen: "So finde ich 3.14159265".

Die Nummer π von Kate Bush, enthält als sich nicht wiederholende Chor die ersten 119 gesungenen Ziffern von Pi, wobei zwei Ziffern übersprungen werden. Das Lied handelt von jemandem, der "eine völlige Verliebtheit in die Berechnung von Pi" hat.^[17]

Die Metal-Band After the Burial schrieb einen Song namens Pi (Der Merkur-Gott der Unendlichkeit). Dieser Song besteht aus einem akustischen Intro auf der Gitarre, gefolgt von einer Aufschlüsselung basierend auf den ersten 71 Dezimalstellen von Pi.

Literatur und Film

Die Zahl spielt im Buch eine wichtige Rolle Kontakt von Carl Sagan (und keiner im Film darüber gemacht). Am Ende des Buches wird eine verschlüsselte Nachricht in der unendlichen Reihe von Dezimalstellen der Zahl sehr weit hinter dem Komma entdeckt. Das zeigt, dass nicht nur intelligentes Leben Außerhalb der Erde ist es nur so Universumselbst scheint von einer höheren Intelligenz entworfen worden zu sein: Intelligentes Design.

der Spielfilm Pi beschäftigt sich mit der Zahl Pi und den sie umgebenden Mysterien. Ebenfalls Life of Pi: Schiffbruch mit Tiger enthält Verweise auf die Zahl: Die Hauptfigur heißt Pi und schreibt die Zahl in Hunderten von Dezimalstellen an eine Tafel.

π-Monument

Denkmal für π (pi) in der Pieterskerk in Leiden, by Cornelia Bakkum

In dem Peterskirche im Führen ist ein Monument für pi etabliert (siehe Bild). Der Stein enthält den Text auf dem Grabstein von Ludolph van Ceulen Stand. Der Grabstein selbst wurde im 19. Jahrhundert aus der Kirche entfernt, aber der Text wurde in einem gedruckten Reisebericht des Engländers Philip Skippon (1641-1691) dargestellt. Der Ring besteht aus zweifarbigem Kupfer, wobei das kleine Stück genau so lang ist wie der Durchmesser des Kupferrings.

π-Manie

Die Nummer π hat viele Fans und eine ihrer Aktivitäten ist das Auswendiglernen der Dezimalstellen von π. Laut der Guinness-Buch der Rekorde Rekordhalter ist der Chinese Lu Chao, der 2005 die ersten 67 890 Dezimalstellen auswendig rezitierte. Er hatte 100.000 Dezimalstellen auswendig gelernt und wollte 91.300 aufsagen, machte aber bei der 67.891. Stelle einen Fehler.^[18][19]

π-Tag

Auf 14. März 2006 war das 300-jährige Jubiläum von π als mathematisches Symbol gefeiert. Am 14. März (Monat 3, Tag 14, bezieht sich auf die ersten drei Ziffern) weltweit an verschiedenen Universitäten Pi-Tag gefeiert. Es ist auch der Geburtstag von Albert Einstein und das Jubiläum von Stephen Hawking.

πIndiana-Gesetz

Das Repräsentantenhaus der Vereinigten Staaten Indiana verabschiedete im Februar 1897 ein Gesetz, in dem π wurde mit 3.2 gleichgesetzt. Das Gesetz wurde jedoch in letzter Minute nicht vom Senat verabschiedet und trat somit nicht in Kraft.^[20][21]

Quellen

• Beukers, Fritten: Pi – die Geschichte und Mathematik der Zahlenπ, Epsilon Editions 2000 (Broschüre für Studenten)
• Boyer, C. B.: Eine Geschichte der Mathematik, New York, 1968
• Press, William H., Vetterling, William T., Teukolsky, Saul A., Flannery, Brain P. 1992 - Numerische Rezepte in C 2. Auflage, Cambridge University Press, ISBN 0-521-43108-5 (Kapitel 20 Absatz 6)
• Råde, Lennart und Westergren, Bertil (2004) - Handbuch Mathematik für Natur- und Ingenieurwissenschaften 5. Auflage, Studentenliteratur, Lund (Schweden), ISBN 91-44-03109-2 (Für geometrische Formeln, Kapitel 3)
• J. J. O'Connor und E.F. Robertson: Eine Geschichte von Pi. Mac Tutor-Projekt
• Beckmann, Peter: Eine Geschichte vonπ(Pi), 5. Auflage, The Golem Press 1982

Externe Links

• (und) J. J. O'Connor und E.F. Robertson: Eine Geschichte von Pi. Mac Tutor-Projekt
• (und) Wolfram Mathematics Seite mit Formeln für π
• (und) Pi auf Wolfram Alpha
• (und) 1.000.000 Dezimalstellen von π
• (NL) 10 oder mehr Stellen von π erinnern: eine Sammlung Mnemonik sich die ersten Ziffern merken
• (NL) Die Nummer des Kreises: ein Lehrbuch mit verschiedenen Formeln für π

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