WikiDer > Stirlings Formel

Das Stirlingsche Formel ist ein Ansatz für die Fakultät von großen Zahlen. Die Formel lautet:

${displaystyle n!approx {sqrt {2pi n}};left({frac {n}{e}}ight)^{n}}$

Dies bedeutet grob, dass die rechte Seite für ausreichend große ${displaystyle n}$ gilt als Näherung für ${displaystyle n!}$. Um genau zu sein:

${displaystyle lim _{n o infty }{n! ungefähr {sqrt {2pi n}};left({frac {n}{e}}ight)^{n}}=1}$

Die Formel ergibt sich aus den ersten drei Termen aus der Entwicklung:

${displaystyle ln(n!)=nln(n)-n { frac {1}{2}}ln(2pi n) {1 über 12n}-{1 über 360n^{3}} {1 über 1260n^{5 }}-{1 über 1680n^{7}} ldots }$

Die Formel kommt auch nur mit den ersten beiden Termen vor:

${displaystyle ln(n!)sim n;ln(n)-n}$,

was asymptotisch auf dasselbe hinausläuft.

Die Formel wurde entdeckt von Das Moivre in etwas anderer Form, nämlich:

${displaystyle n!sim c;{sqrt {n}};left({frac {n}{e}}ight)^{n}}$

James Stirling, nach dem die Formel benannt ist, zeigte, dass die Konstante ${Anzeigestil c}$ gleich ${displaystyle {sqrt {2pi}}}$.

Einige Werte

Die folgende Tabelle listet einige Werte von zum Vergleich auf ${displaystyle n}$ die entsprechenden Mengen sind aufgeführt.

nein	ln(nein!)	nein ln(nein) − nein	falsch
10	15,1	13,0	13,9%
30	74,7	72,0	3,6%
50	148,5	145,6	1,9%
100	363,7	360,5	0,9%
1000	5912,1	5907,8	0,1%
10000	82108,9	82103,4	< 0,01%

Anwendungen

In der Praxis ist die Formel für viele Anwendungen in der statistischen Physik wichtig, die Thermodynamik und in der Chemie (Thermochemie).